第 2 节 体 积
旋转体的体积
平行截面面积为已知的
立体的体积
旋转体 就是由一个平面图形绕这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台
一,旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax ?
在 ],[ ba 上任取小区
间 ],[ dxxx ?,
取以 dx 为底的窄边梯形 绕 x 轴 旋转而成的薄
片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([??
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)(xfy ?
y
例 1 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计
算圆锥体的体积,
r解
h
P
xhry ?
取积分变量为 x,],0[ hx ?
在 ],0[ h 上任取小区间 ],[ dxxx ?,
xo
直线 方程为OP
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的
体积为
dxxhrdV
2
??
?
??
???
圆锥体的体积
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
a? ao
y
x
例 2 求星形线
3
2
3
2
3
2
ayx ?? )0( ?a 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积,
解,3
2
3
2
3
2 xay ???
3
3
2
3
2
2
???
?
???
? ??? xay
],[ aax ??
旋转体的体积
dxxaV
a
a
3
3
2
3
2
???
?
???
?
??? ?
?,1 0 5
32 3a??
类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? 及 y 轴所围成
的曲边梯形 绕 y 轴 旋转一周而成的立体，体积
为
x
y
o
)( yx ??c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
例 3 求摆线 )s in( ttax ??, )c o s1( tay ?? 的
一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋
转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220? ? ??
? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
? ? ????? 20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a??
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图 O ABC 与 O BC
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dyyxV ay )(22
0 2?
? ? dyyxa )(22
0 1?
? ?
o
y
xa?2
A
BCa2 )(2 yxx ?
)(1 yxx ?
? ?? ???? 2 22 s in)s in( td tatta
? ? ???? 0 22 s in)s in( td tatta
? ? ??? 20 23 s in)s in( td ttta,6 33 a??
如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
y 轴旋转一周而成的立体，体积为
dxxfxV bay |)(|2 ???
证明,根据所要证结果只需得
出以 x作为积分变量时的体积
元素 dV=(?)dx
使用元素法可知,
)(])[( 22 xfxdxxVdV ????? ?
2))(()(2 dxxfxdxxf ?? ??
补充
o a b
)( xfy ?
x x+dx
x
y
利用这个公式，可知上例中
dxxfxV ay )(2 20?? ??
? ? ?????? 20 )]s in([)c o s1()s in(2 ttadtatta
? ? ???? 20 23 )c o s1)(s in(2 dtttta
.5 32a??
dxxxf )(2 ?? （第二项为 dx的高阶无穷小）
所以可以求得体积为,
?? bay dxxxfV )(2 ?
例 4 求由曲线 24 xy ?? 及 0?y 所围成的图形
绕直线 3?x 旋转构成旋转体的体积,
解 取积分变量为 y,]4,0[?y
体积元素为
dyQMPMdV ][ 22 ????
dyyy ])43()43([ 22 ????????
,412 dyy???
dyyV ? ???? 40 412,64??
3
dyP Q M
xo a bx dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这
个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴
的截面面积,)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV ?,)(?? ba dxxAV立体体积
二,平行截面面积为已知的立体的体积
例 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体所得立体
的体积,
R
R?
x
yo
解
?
取坐标系如图
底圆方程为
222 Ryx ??
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?t a n)(2
1 22 ?? ?
?,t a n3
2 3 ?R?
例 6 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解 取坐标系如图
底圆方程为
,222 Ryx ?? x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV RR?? ?? 22.21 2 hR??
绕 x 轴旋转一周
绕 y 轴旋转一周
绕非轴直线旋转一周
（ 一般平行坐标轴 ）
旋转体的体积 ?
?
?
?
?
小 结
平行截面面积为已知的立体的体积
旋转体的体积公式,dxxfV ba 2)]([? ??
实际上是平行截面面积为已知的立体体积公式：
.)(?? ba dxxAV
的特殊情况。
注
意
注意到当立体为旋转体时，垂直于旋转轴的截面面积
)()( 2 xfxA ??
求曲线 4?xy, 1?y, 0?x 所围成
的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
思
考
题
x
y
o?
?? ?
?
1
4
y
xy 交点 ),1,4(
立体体积, dyxV y ? ????
1
2
dyy? ????
1 2
16
??
??
?
??
????
1
16
y,16??
1?y
思考题解答
旋转体的体积
平行截面面积为已知的
立体的体积
旋转体 就是由一个平面图形绕这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台
一,旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax ?
在 ],[ ba 上任取小区
间 ],[ dxxx ?,
取以 dx 为底的窄边梯形 绕 x 轴 旋转而成的薄
片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([??
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)(xfy ?
y
例 1 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计
算圆锥体的体积,
r解
h
P
xhry ?
取积分变量为 x,],0[ hx ?
在 ],0[ h 上任取小区间 ],[ dxxx ?,
xo
直线 方程为OP
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的
体积为
dxxhrdV
2
??
?
??
???
圆锥体的体积
dxxhrV h
2
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.3
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P
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y
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例 2 求星形线
3
2
3
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构成旋转体的体积,
解,3
2
3
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2 xay ???
3
3
2
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2
???
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???
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],[ aax ??
旋转体的体积
dxxaV
a
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3
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2
3
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???
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?,1 0 5
32 3a??
类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? 及 y 轴所围成
的曲边梯形 绕 y 轴 旋转一周而成的立体，体积
为
x
y
o
)( yx ??c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
例 3 求摆线 )s in( ttax ??, )c o s1( tay ?? 的
一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋
转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220? ? ??
? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
? ? ????? 20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a??
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图 O ABC 与 O BC
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dyyxV ay )(22
0 2?
? ? dyyxa )(22
0 1?
? ?
o
y
xa?2
A
BCa2 )(2 yxx ?
)(1 yxx ?
? ?? ???? 2 22 s in)s in( td tatta
? ? ???? 0 22 s in)s in( td tatta
? ? ??? 20 23 s in)s in( td ttta,6 33 a??
如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
y 轴旋转一周而成的立体，体积为
dxxfxV bay |)(|2 ???
证明,根据所要证结果只需得
出以 x作为积分变量时的体积
元素 dV=(?)dx
使用元素法可知,
)(])[( 22 xfxdxxVdV ????? ?
2))(()(2 dxxfxdxxf ?? ??
补充
o a b
)( xfy ?
x x+dx
x
y
利用这个公式，可知上例中
dxxfxV ay )(2 20?? ??
? ? ?????? 20 )]s in([)c o s1()s in(2 ttadtatta
? ? ???? 20 23 )c o s1)(s in(2 dtttta
.5 32a??
dxxxf )(2 ?? （第二项为 dx的高阶无穷小）
所以可以求得体积为,
?? bay dxxxfV )(2 ?
例 4 求由曲线 24 xy ?? 及 0?y 所围成的图形
绕直线 3?x 旋转构成旋转体的体积,
解 取积分变量为 y,]4,0[?y
体积元素为
dyQMPMdV ][ 22 ????
dyyy ])43()43([ 22 ????????
,412 dyy???
dyyV ? ???? 40 412,64??
3
dyP Q M
xo a bx dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这
个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴
的截面面积,)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV ?,)(?? ba dxxAV立体体积
二,平行截面面积为已知的立体的体积
例 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体所得立体
的体积,
R
R?
x
yo
解
?
取坐标系如图
底圆方程为
222 Ryx ??
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?t a n)(2
1 22 ?? ?
?,t a n3
2 3 ?R?
例 6 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解 取坐标系如图
底圆方程为
,222 Ryx ?? x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV RR?? ?? 22.21 2 hR??
绕 x 轴旋转一周
绕 y 轴旋转一周
绕非轴直线旋转一周
（ 一般平行坐标轴 ）
旋转体的体积 ?
?
?
?
?
小 结
平行截面面积为已知的立体的体积
旋转体的体积公式,dxxfV ba 2)]([? ??
实际上是平行截面面积为已知的立体体积公式：
.)(?? ba dxxAV
的特殊情况。
注
意
注意到当立体为旋转体时，垂直于旋转轴的截面面积
)()( 2 xfxA ??
求曲线 4?xy, 1?y, 0?x 所围成
的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
思
考
题
x
y
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1
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y
xy 交点 ),1,4(
立体体积, dyxV y ? ????
1
2
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?
??
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1
16
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1?y
思考题解答
