第六节 定积分的近似计算
问题的提出
矩形法
梯形法
抛物线法
计算定积分的方法：
求原函数；
利用牛顿－莱布尼茨公式得结果．
问题：
被积函数的原函数不能用初等函数表示；
被积函数难于用公式表示，而是用图形或表
格给出的；
被积函数虽然能用公式表示，但计算其原
函数很困难．
一、问题的提出
建立定积分的近似计算方
法．
矩形法、梯形法、抛物线法．
分的近似值．面积，就得到所给定积
出相应的曲边梯形的的面积，只要近似地算
在数值上表示曲边梯形)0)(()( ?? xfdxxf
b
a
解决办法：
常用方法：
思路：
窄矩形的高，如图
作为值取小区间左端点的函数
等分，将区间用分点
),,1,0(
],[,,,10
niy
nbabxxxa
i
n
?
?
?
??
o x
y )(xfy ?
0xa? 1x 1?nx bxn?
0y 1y 1?n
y
ny )1(
)(
1
1
1
1
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?
?
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
i
b
a
y
n
ab
xydxxf
则有
二、矩形法
的高，如图
作为窄矩形取右端点的函数值 ),,2,1( niy i ??
)2(
)(
1
1
?
??
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
i
b
a
y
n
ab
xydxxf
称为矩形法公式．,)2()1(
o x
y )(xfy ?
0xa? 1x 1?nx bxn?
0y 1y 1?n
y
ny
则有
梯形法就是在每个小
区间上，以窄梯形的
面积近似代替窄曲边
梯形的面积，如图 o x
y )(xfy ?
0xa? 1x 1?nx bxn?
1y 1?ny
ny
0y
)3(])(
2
1
[
)(
2
1
)(
2
1
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2
1
)(
1210
1
2110
?
?
?????
?
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????
???????
nn
nn
b
a
yyyyy
n
ab
xyy
xyyxyydxxf
?
?
三、梯形法
例１
的近似值．
积分用矩形法和梯形法计算 ? ?
1
0
2
dxe x
解,,ix设分点为把区间十等分
相应的函数值为 )10,,1,0(2 ??? ? iey ixi
)10,,1,0( ??i
i
ix
iy
0 1 2 3 4 5
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
00000.1 99005,96079.0 91393.0 85214.0 77880.0
列表,
i
ix
iy
106 7 8 9
16.0 7.0 8.0 9.0
69768.0 61263.0 52729.0 44486.0 36788.0
10
01)(
910
1
0
2 ??????? ? yyydxe x ?.7 7 7 8 2.0?
10
01)(
1021
1
0
2 ??????? ? yyydxe x ?.7 1 4 6 1.0?
利用矩形法公式（１），得
利用矩形法公式（２），得
))(21[10 01 92110010 2 yyyyydxe x ??????? ? ?
实际上是前面两值的平均值，
)7 1 4 6 1.07 7 7 8 2.0(2110 2 ??? ? ? dxe x
.7 4 6 2 1.0?
利用梯形法公式（３），得
到定积分的近似值．原来的曲线弧，从而得
段弧来近似代替轴的二次抛物线上的一行于
许多小段，用对称轴平抛物线法是将曲线分为
y
),2,1,0(
) ),((),(
,,,
10
ni
xfyyxM
n
bxxxa
iiiii
n
?
?
?
?
??
点为这些分点对应曲线上的
（偶数）等分，把区间分成
用分点
o x
y )(xfy ?
0xa? 1x 1?nx bxn?
1y 1?ny
ny
0y
2y
四、抛物线法
因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,
}.,,{,},,,{},,,{
,
2
12432210 nnn
i
MMMMMMMMM
n
M
???
组互相衔接的分成故可将这些曲线上的点
.
,,,],[
)
2
,,2,1(},,{
2
2
1222222
21222
线弧
近似代替曲的二次抛物线
用经过点上应的子区间
所对在每组
rqxpxyM
MMxx
n
kMMM
k
kkkk
kkk
???
?
???
??
?
边梯形的面积．
为曲边的曲的抛物线
上过三点［计算在
rqxpxyyhM
yMyhMhh
????
????
2
22
1100
),,(
),,0(),,(],
可由下列方程组确定：抛物线方程中的 rqp,,
?
?
?
?
?
???
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???
.
,
,
2
2
1
2
0
rqhphy
ry
rqhphy
.22 2102 yyyph ???由此得
于是所求面积为
?? ??? h h dxrqxpxA )( 2
rhph 232 3 ?? )62(31 2 rphh ??
),4(31 210 yyyh ???
有关．及底边所在的区间长度标
的纵坐只与显然，曲边梯形的面积
hyyy
MMM
2,,
,,
210
210 ???
组曲边梯形的面积为由此可知 2n
),4(
3
1
),4(
3
1
),4(
3
1
12
2
43222101
nnnn
yyyhA
yyyhAyyyhA
???
??????
??
??????
.n abh ??其中
)4()].(4
)(2)[(
3
)(
131
2420
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n
nn
b
a
yyy
yyyyy
n
ab
dxxf
?
?
例２ 对如图所示的图形测量所得的数据如下表
所示,用抛物线法计算该图形的面积,A
0 1 2 3 4 51? 6站号
y高 0 305.2 865.4 974.6 568.8 559.9 011.10 183.10
7 8 9 10 11 12 13站号
y高 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10
14 15 16 17 18 2019站号
y高 400.10 416.9 015.8 083.6 909.3 814.1 0
y
xo
1A 2A
米．站之间的距离为站到而
．）为两站之间的距离（站距
米，相邻站之间的距离为站到这里，
501
359.72018.147
18.147200
?
??
解
来近似表示，即轴构成的三角形的面积
的交点的连线与坐标它可以用曲线同坐标轴
表示．站这一段的面积用站到从 101 A?
3 0 5.25211 ???A ).(763,平方米?
3
)](2
)(4)[(
1842
195312002
x
yyy
yyyyyyA
?
????
???????
?
?
).(8 3 9.1 1 9 4 平方米?
839.1 1 9 4768.521 ????? AAA ).(6 0 2.1 2 0 0 平方米?
根据抛物线公式 (4)，得
矩形法、梯形法、抛物线法
注意：对于以上三种方法当 取得越大时近
似程度就越好．
n
小 结
求定积分近似值的方法：
问题的提出
矩形法
梯形法
抛物线法
计算定积分的方法：
求原函数；
利用牛顿－莱布尼茨公式得结果．
问题：
被积函数的原函数不能用初等函数表示；
被积函数难于用公式表示，而是用图形或表
格给出的；
被积函数虽然能用公式表示，但计算其原
函数很困难．
一、问题的提出
建立定积分的近似计算方
法．
矩形法、梯形法、抛物线法．
分的近似值．面积，就得到所给定积
出相应的曲边梯形的的面积，只要近似地算
在数值上表示曲边梯形)0)(()( ?? xfdxxf
b
a
解决办法：
常用方法：
思路：
窄矩形的高，如图
作为值取小区间左端点的函数
等分，将区间用分点
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则有
二、矩形法
的高，如图
作为窄矩形取右端点的函数值 ),,2,1( niy i ??
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称为矩形法公式．,)2()1(
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梯形法就是在每个小
区间上，以窄梯形的
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三、梯形法
例１
的近似值．
积分用矩形法和梯形法计算 ? ?
1
0
2
dxe x
解,,ix设分点为把区间十等分
相应的函数值为 )10,,1,0(2 ??? ? iey ixi
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0 1 2 3 4 5
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列表,
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106 7 8 9
16.0 7.0 8.0 9.0
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利用矩形法公式（１），得
利用矩形法公式（２），得
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实际上是前面两值的平均值，
)7 1 4 6 1.07 7 7 8 2.0(2110 2 ??? ? ? dxe x
.7 4 6 2 1.0?
利用梯形法公式（３），得
到定积分的近似值．原来的曲线弧，从而得
段弧来近似代替轴的二次抛物线上的一行于
许多小段，用对称轴平抛物线法是将曲线分为
y
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因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,
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组互相衔接的分成故可将这些曲线上的点
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线弧
近似代替曲的二次抛物线
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边梯形的面积．
为曲边的曲的抛物线
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于是所求面积为
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有关．及底边所在的区间长度标
的纵坐只与显然，曲边梯形的面积
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组曲边梯形的面积为由此可知 2n
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例２ 对如图所示的图形测量所得的数据如下表
所示,用抛物线法计算该图形的面积,A
0 1 2 3 4 51? 6站号
y高 0 305.2 865.4 974.6 568.8 559.9 011.10 183.10
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y高 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10 200.10
14 15 16 17 18 2019站号
y高 400.10 416.9 015.8 083.6 909.3 814.1 0
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1A 2A
米．站之间的距离为站到而
．）为两站之间的距离（站距
米，相邻站之间的距离为站到这里，
501
359.72018.147
18.147200
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解
来近似表示，即轴构成的三角形的面积
的交点的连线与坐标它可以用曲线同坐标轴
表示．站这一段的面积用站到从 101 A?
3 0 5.25211 ???A ).(763,平方米?
3
)](2
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1842
195312002
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839.1 1 9 4768.521 ????? AAA ).(6 0 2.1 2 0 0 平方米?
根据抛物线公式 (4)，得
矩形法、梯形法、抛物线法
注意：对于以上三种方法当 取得越大时近
似程度就越好．
n
小 结
求定积分近似值的方法：
