第五节 高阶线性微分方程
小结、思考题
降阶法与常数变易法
线性微分方程的解的结构
概念的引入
例, 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初
始速度 00 ?v,物体便离开平衡位置,并在平衡位置
附近作上下振动, 试确定物体的振动规律 )( txx ?,
解 受力分析;.1 cxf ??恢复力;.2 dtdxR ???阻力
x
x
o
一、概念的引入
,maF ??,2
2
dt
dxcx
dt
xdm ?????
02 22
2
??? xkdtdxndt xd 物体自由振动的微分方程
,s in ptHF ?若受到铅直干扰力
pthxkdtdxndt xd s i n2 22
2
???强迫振动的方程
tLCEudtdudt udLc mccc ??? s i n2 202
2
???
串联电路的振荡方程
二阶线性微分方程
)()()(2
2
xfyxQdxdyxPdx yd ???
时，当 0)( ?xf 二阶线性齐次微分方程
时，当 0)( ?xf 二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ?????? ?? ?
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个
解,那末 2211 yCyCy ?? 也是 ( 1 ) 的解, （ 21,CC 是常
数）
一定是通解吗？2211 yCyCy ??
)1(0)()( ?????? yxQyxPy
1.二阶齐次方程解的结构,
问题
二、线性微分方程的解的结构
xx 22 sin,co s1,
xxx eee 2,?,线性无关
线性相关
时，当 ),( ?????x
定义：设
n
yyy,,,
21
? 为定义在区间 I 内的 n
个函数．如果存在 n 个不全为零的常数，使得
当 x 在该区间内有恒等式成立
0
2211
????
nn
ykykyk ?,
那么称这
n
个函数在区间 I 内 线性相关,否则
称 线性无关
定义
例如
特别地,
若在 I 上有 常数，?
)(
)(
2
1
xy
xy
则函数 )(1 xy 与 )(2 xy 在 I 上 线性无关,
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 ( 1 ) 的两个线
性无关的特解,那么 2211 yCyCy ?? 就是方程 (1)
的通解,
,0???? yy,s i n,c o s 21 xyxy ??,t a n
1
2 常数且 ?? x
y
y
.s i nc o s 21 xCxCy ??
例如
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy ??????
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通
解,那么
*
yYy ?? 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
2.二阶非齐次线性方程的解的结构,
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函
数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy ???????
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy ??????
)()()(
2
xfyxQyxPy ??????
的特解,那么
*
2
*
1
yy ? 就是原方程的特解,
解的叠加原理
的一个非零特解，是方程设 )1(1y
12 )( yxuy ?令 代入 (1)式,得
,0))()(())(2( 111111 ????????????? uyxQyxPyuyxPyuy
,uv ??令
则有,0))(2( 111 ????? vyxPyvy
,0))(2( 111 ??????? uyxPyuy即
1.齐次线性方程求线性无关特解 ------降阶法
三、降阶法与常数变易法
解得,1 )(2
1
?? ? dxxPe
yv dxeyu
dxxP??? ?? )(
2
1
1
,1 )(2
1
12 dxeyyy
dxxP??? ??
齐次方程通解为
.1 )(2
1
1211 dxeyyCyCy
dxxP?????
0))(2( 111 ????? vyxPyvy 的一阶方程v
刘维尔公式
降阶法
设对应齐次方程通解为 2211 yCyCy ?? (3)
设非齐次方程通解为 2211 )()( yxcyxcy ??
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy ?????????
设 0)()( 2211 ???? yxcyxc
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy ??????????????
(4)
2.非齐次线性方程通解求法 ------常数变易法
得代入方程将 ),2(,,yyy ???
)())()()((
))()()(()()(
2222
11112211
xfyxQyxPyxc
yxQyxPyxcyxcyxc
???????
???????????
)()()( 2211 xfyxcyxc ?????? (5)
(4),(5)联立方程组 ??
?
??????
????
)()()(
0)()(
2211
2211
xfyxcyxc
yxcyxc
,0)(
21
21 ?
??? yy
yyxw系数行列式?
,)( )()( 21 xw xfyxc ????,)( )()( 12 xw xfyxc ??
积分可得,)( )()( 211 ? ??? dxxw xfyCxc
,)( )()( 122 ??? dxxw xfyCxc
非齐次方程通解为
.)( )()( )( 12212211 ?? ???? dxxw xfyydxxw xfyyyCyCy
.11 11 的通解求方程 ????????? xyxyxxy
解,01 111 ????? xxx?
对应齐方一特解为,1 xey ? 由刘维尔公式
? ?? ?? dxeeey dxx
x
x
x 1
22
1,x?
对应齐方通解为,21 xeCxCY ??
例
,)()( 21 xexcxxcy ??设原方程的通解为
应满足方程组,)()( 21 xcxc ??
?
?
?
?????
????
1)()(
0)()(
21
21
xxcexc
xcexcx
x
x
解得
?
?
?
??
???
? xxexc
xc
)(
1)(
2
1
22 )( Cexexc xx ???? ??，11 )( Cxxc ???
原方程的通解为,1221 ????? xxeCxCy x
主要内容 线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
降阶法与常数变易法；
补充内容 可观察出一个特解 0)()( ?????? yxQyxPy
,0)()()1( ?? xxQxP若 ;xy ?特解
,0)()(1)2( ??? xQxP若 ;xey ?特解
,0)()(1)3( ??? xQxP若,xey ??特解
小 结