第 8节 无穷小的比较
等价无穷小代换法
无穷小的比较
例如,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x ?
.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx ?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,;32 要快得多比 xx;s i n 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0??,不存在
观
察
各
极
限
一、无穷小的比较
);(
,,0lim)1(
???
???
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? CC;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
.),0,0(l i m)3( 阶的无穷小的是就说如果 kkCCk ???? ???
)(,?? O?记作
例 1
解
.t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx ?
4
3
0
t a n4lim
x
xx
x ?
3
0
)t a n(l im4 x x
x ?
?,4?
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx ?
例 2,si nt a n,0 的阶数关于求时当 xxxx ??
解 30 s i nt a nlim x xxx ??? )c o s1t a n(li m 2
0 x
x
x
x
x
???
?,2
1?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx ??
,0 时当 ?x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式,
,1lim ????,0lim ?? ???? ),( ????? o即
).( ????? o于是有
例如,),(s i n xoxx ?? ).(211co s 22 xoxx ???
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2xxxexx
xxxx
xxxx
x ???
xnxn 1~11 ??
常用等价无穷小,
定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 则存在且设
证 ??lim )lim( ?? ??? ?? ??? ???
?
? ??
? ?
? ??
? ?
?? limlimlim,lim
??
???
二、等价无穷小替换
?
? x
x
x 5s i n
2ta n
0
l i m
5
2
5
2l i m
0 ?? x
x
x
xxxx 5~5s i n2~2t a n例 1
0
33
2
0
lim
33
2s i n
0
lim ?
??
?
?? xx
x
xxx
x
x例 2
0
lim
?x 2
2
c o s
lim
)c o s1(s i n
)1(c o s
2
2
4
02
4s i n
?
?
?
?
??
??
? x
x
xx
xx
ex
x
x
例 3
0
lim
?x 1l i m1a r c t a n 0 ????? ? xxe x xx
例 4
Limx?0 a
x
x ? 1
Limx?0 e
x
x aln ? 1
Lim
x?0
x a
x
aln ln?
e xx ? 1 ~
??
=
Limx?0 e ex x
x x?
?
sin
sin Limx?0
e e
x x
x x xs in s in( )
s in
? ?
?
1?
? Lim
x?0 e x x
x x
xs in ( s i n )
s i n
?
?
e xx ? 1 ~? 1
例 5
例 6
Lim
x?0
e e
x x
x x? ?
? ?
?
?s i n s i nLimx?0
2
)(
s i n
2
)(
c o s2
)1( )(
xx
ee xx
????
???
??
??
Lim
x?0
2
)(
2
)(
c o s2
)(
xx
xe x
????
???
??
?
?
?
?
1
例 7
例 8,
co s1
2ta nlim 2
0 x
x
x ??
求
解,2~2ta n,21~co s1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
?原式
.8?
对于代数和中各无穷小不能分别替换,
不能滥用等价无穷小代换,
注
意
例 9,2s i n
s i nt anl i m
30 x
xx
x
?
?
求
解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
??
?
原式,0?
解,0时当 ?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx ???,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x ?
?原式,
16
1?
错
?
例 10,3s i n
1c o s5t a nlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(5t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
?
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
?
???
?
?,
3
5?
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快
慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
小 结
无穷小的比较,
等价无穷小的替换,
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思
考
题
不能,例当 时???x
,1)( xxf ? x xxg s i n)( ? 都是无穷小量
但 ???? )( )(lim xf xgx x
x s inlim??? 不存在且不为无穷大
故当 时???x )( xf 和 )( xg 不能比较,
思考题解答