第 3节 数列的极限
概念的引入
数列的概念
数列的极限
数列极限的性质
“割之弥细，所失
弥少，割之又割，
以至于不可割，则
与圆周合体而无所
失矣”
播放——刘徽
1、割圆术：
一、概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
2、截丈问题：
定义, 按自然数 ?,3,2,1 编号依次排列的一列数
??,,,,
21 n
xxx (1)
称为 无穷数列,简称 数列, 其中的每个数称为数列的 项,
n
x 称为 通项
( 一般项 ), 数列 (1) 记为 }{
n
x,
例如 ;,2,,8,4,2 ?? n;,21,,81,41,21 ?? n
}2{
}21{ n
二、数列的定义
1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点
在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n ?;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ??? })1({
1
n
n n ???
???,333,,33,3 ????
注
意
...,,,,3210 ?????? nMxM n
x1x2x 3xM? M0
...,,],,[ 321??? nMMx n
},{ nx设数列
若
为有界数列则称 }{ nx
数轴上对应于有界数列的点 nx 都落在闭区间 ],[ MM? 上,
有界数列：
几何意义：
三、数列的有界性
例如,;1?? n nx n数列,2 nnx ?数列有界 无界
},{ nx设数列
,,0 如何选取无论若对 MM ??
Mxnn n ????? },.,,3,2,1{0总
.}{ 无界则称 nx
无界数列：
:}{ 的变化趋势大体上有数列 nx
??变到越来越大越来越大,,)( nxn1
??变到越来越小越来越大,,)( nxn2
axn n 越来接近某常数越来越大,)( 3
忽大忽小越来越大 nxn,)( 4
:)( 的探讨情形 3?}{,)(,接近哪个常数越来越大问题 nxn1
""}){( 常数以什么方式接近nx2
四、数列的极限
.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,
?? 1nx? nnn 11)1( 1 ?? ?
通过上面的观察,
问题,
问题,
,1001给定,1 0 011 ?n由,1 0 0时只要 ?n,10011 ??nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要 ?n
,1000011 ??nx有,1 0 0 0 01给定,1 0 0 0 0时只要 ?n
,1 0 0 011 ??nx有
,0??给定,])1[( 时只要 ??? Nn,1 成立有 ???nx
定义 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么
小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn ? 时的一切
n
x,
不等式 ??? ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列
n
x 的极限,或者称数列
n
x 收敛于 a,记为
,lim ax
n
n
?
??
或 ).( ??? nax n
如果数列没有极限,就说数列是发散的,;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn ???
..2 有关与任意给定的正数 ?N
注
意;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn ???
.,有关与任意给定的正数 ?N2
项无关的前与数列 Nx n }{
的减函数是即 ?? NNN ?? )(
是任意小的正数?.3
注
意
x1x2x 2?Nx1?Nx 3x
?2??a ??a
a
.)(
,),(,
落在其外个至多只有只有有限个
内都落在所有的点时当
N
aaxNn n ?? ???
:定义N??
其中 ;,每一个或任给的?,,至少有一个或存在?
.,,0,0
l i m
?????????
??
??
axNnN
ax
n
nn
恒有时使
几何解释,
数列极限的定义未给出求极限的方法,
例 1,1
)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n
证明
证 1?nx 1
)1( 1 ???? ?
n
n n
n
1?
,0??任给,1 ???nx要,1 ??n只要,1??n或
所以,],1[??N取,时则当 Nn ?
?????
?
1)1(
1
n
n n就有,1)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n
即
注
意
例 2,lim),( CxCCx nnn ?? ??证明为常数设
证
Cxn ? CC ??,成立??
,0??任给
所以,
0?
,n对于一切自然数
.lim Cx nn ???
说明, 常数列的极限等于同一常数,
用定义证数列极限存在时,关键是任意给定
寻找 N,但不必要求最小的 N.,0??结论
例 3,1,0lim ???? qq nn 其中证明
证,0??任给
,0 ???? nn qx,lnln ??n
],lnln[ qN ??取,时则当 Nn ?
,0 ???nq就有,0l i m ?? ?? nn q
,0?q若 ;00l i ml i m ?? ???? nnn q则
,10 ?? q若
,lnln qn ???
例 4,lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn
?
???
??
??
求证
且设
证,0??任给
.lim ax nn ???故
,l i m ax nn ????
,1?????? axNnN n时恒有使得当
ax
axax
n
n
n ?
???从而有
a
ax n ??
a
1?? ??
证,l i m ax nn ???设 由定义,,1??取
,1,???? axNnN n时恒有使得当则
.11 ???? axa n即有
},1,1,,,m a x { 1 ??? aaxxM N?记
,,Mxn n ?皆有则对一切自然数
? ?,有界故 nx
推论 无界数列必定发散,
定理 1 收敛的数列必有界,
注意：有界性是数列收敛的必要条件,
五、数列极限的性质
2.唯一性
证,lim,lim bxax nnnn ?? ???? 又设 由定义,
使得.,,0 21 NN???? ;1 ???? axNn n时恒有当;2 ???? bxNn n时恒有当 ? ?,,m a x 21 NNN ?取
时有则当 Nn ? )()( axbxba nn ?????
axbx nn ????,2 ??????
.时才能成立上式仅当 ba ?故收敛数列极限唯一,
定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
例 5,)1( 1 是发散的证明数列 ??? nnx
证,l i m ax nn ???设 由定义,,21??对于
,21,,成立有时使得当则 ???? axNnN n
),21,21(,???? aaxNn n时即当 区间长度为 1.
,1,1 两个数无休止地反复取而 ?nx
不可能同时位于 长度为 1的 区间内,
.,}{,但却发散是有界的事实上 nx
小 结
数列,研究其变化规律 ;
数列极限,极限思想,精确
定义,几何意义 ;
收敛数列的性质,有界性
唯一性,
指出下列证明 1lim ??? nn n 中的错误。
证明 要使,1 ???n n 只要使 )1l n(ln
1 ???n
n
从而由 2ln )1l n(ln )1l n(1 ?? ???? nn
得,0??? 取 1)1l n( 2ln ??
?
?
??
?
?? ?N
当 时，必有 成立Nn ? ???? 10 n n
1lim ?? ?? nn n
思
考
题
??? 1n n? )1l n(ln1 ???nn~ （等价）
证明中所采用的 2ln )1l n(ln )1l n(1 ?? ???? nn
实际上就是不等式 )1l n(ln2ln ???? n nn
即证明中没有采用,适当放大, 的值nnln
思考题解答
从而 时,2ln )1l n( ???? Nn
仅有 成立,)1l n(2ln ???n
但不是 的充分条件,)1l n(ln ???n n
反而缩小为 n2ln
概念的引入
数列的概念
数列的极限
数列极限的性质
“割之弥细，所失
弥少，割之又割，
以至于不可割，则
与圆周合体而无所
失矣”
播放——刘徽
1、割圆术：
一、概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
2、截丈问题：
定义, 按自然数 ?,3,2,1 编号依次排列的一列数
??,,,,
21 n
xxx (1)
称为 无穷数列,简称 数列, 其中的每个数称为数列的 项,
n
x 称为 通项
( 一般项 ), 数列 (1) 记为 }{
n
x,
例如 ;,2,,8,4,2 ?? n;,21,,81,41,21 ?? n
}2{
}21{ n
二、数列的定义
1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点
在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n ?;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ??? })1({
1
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???,333,,33,3 ????
注
意
...,,,,3210 ?????? nMxM n
x1x2x 3xM? M0
...,,],,[ 321??? nMMx n
},{ nx设数列
若
为有界数列则称 }{ nx
数轴上对应于有界数列的点 nx 都落在闭区间 ],[ MM? 上,
有界数列：
几何意义：
三、数列的有界性
例如,;1?? n nx n数列,2 nnx ?数列有界 无界
},{ nx设数列
,,0 如何选取无论若对 MM ??
Mxnn n ????? },.,,3,2,1{0总
.}{ 无界则称 nx
无界数列：
:}{ 的变化趋势大体上有数列 nx
??变到越来越大越来越大,,)( nxn1
??变到越来越小越来越大,,)( nxn2
axn n 越来接近某常数越来越大,)( 3
忽大忽小越来越大 nxn,)( 4
:)( 的探讨情形 3?}{,)(,接近哪个常数越来越大问题 nxn1
""}){( 常数以什么方式接近nx2
四、数列的极限
.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
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“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,
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通过上面的观察,
问题,
问题,
,1001给定,1 0 011 ?n由,1 0 0时只要 ?n,10011 ??nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要 ?n
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,1 0 0 011 ??nx有
,0??给定,])1[( 时只要 ??? Nn,1 成立有 ???nx
定义 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么
小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn ? 时的一切
n
x,
不等式 ??? ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列
n
x 的极限,或者称数列
n
x 收敛于 a,记为
,lim ax
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或 ).( ??? nax n
如果数列没有极限,就说数列是发散的,;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn ???
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注
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.,有关与任意给定的正数 ?N2
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注
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落在其外个至多只有只有有限个
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注
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说明, 常数列的极限等于同一常数,
用定义证数列极限存在时,关键是任意给定
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推论 无界数列必定发散,
定理 1 收敛的数列必有界,
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五、数列极限的性质
2.唯一性
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使得.,,0 21 NN???? ;1 ???? axNn n时恒有当;2 ???? bxNn n时恒有当 ? ?,,m a x 21 NNN ?取
时有则当 Nn ? )()( axbxba nn ?????
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.时才能成立上式仅当 ba ?故收敛数列极限唯一,
定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
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小 结
数列,研究其变化规律 ;
数列极限,极限思想,精确
定义,几何意义 ;
收敛数列的性质,有界性
唯一性,
指出下列证明 1lim ??? nn n 中的错误。
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题
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证明中所采用的 2ln )1l n(ln )1l n(1 ?? ???? nn
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思考题解答
从而 时,2ln )1l n( ???? Nn
仅有 成立,)1l n(2ln ???n
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