第四节 函数的极限
时函数的极限??x
时函数的极限0xx ?
函数极限的性质
语言的 ""lim.1 Nax nn ???? ?
)(.2 ?? NNN ?的关系和
的几何意义ax nn ???lim.3
复习
的变化趋势观察函数 xy 1?
01,??? xx??? xx 1,0
函数的极限时一,)( ??x
.时的变化趋势当观察函数 ??? xey x
?????? xex,0,???? xex
11,????? ? xex
的变化趋势观察函数 xey ??? 1
??????? ? xex 1,
,1,1s i n,之间振荡的曲线在 ???? xx
的变化趋势观察函数 xy s i n?
不趋于任何常数换言之 xs i n,
函数的极限时一,)( ??x
的变化趋势观察函数 xy 1?
??? xx 1,0 01,??? xx
:回顾
的变化趋势观察函数 nyxy 1,1 ??
01,??? xx 0
1,???
nn
问题, 函数 )( xfy ? 在 ??x 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.的过程表示 ??? xXx
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过上面的观察可见,
问题, 如何用数学语言刻划函数“无限接近”,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx ? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 ??? Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当 ??x 时的极限,记作
)()()(l i m ????
??
xAxfAxf
x
当或
定义"" X??
.)(,,0,0 ????????? AxfXxX 恒有时使当
???? Axfx )(l i m
1,定义：
:.1 0 情形???x
.)(,,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形???x Axfx ???? )(l i m
.)(,,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有时使当
Axfx ???? )(l i m
???? Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx ?? ?????? 且
2.另两种情形,
xxy sin?
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
3.几何解释,
xxy sin?例 1,0s i nl i m ??? x xx证明
证 x xx x s i n0s i n ??? x1? X1?,??
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,0s i n ???x x,0sinlim ?
?? x
x
x故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxfx ?????
问题, 函数 )( xfy ? 在 0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.0 00 的过程表示 xxxx ?????
x0x??0x ??0x
??
,0 邻域的去心点 ?x,0 程度接近体现 xx?
二、自变量趋向有限值时函数的极限
定义 2 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多
么小 ),总存在正数 ?,使得对于适合不等式
????
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都
满足不等式 ??? Axf )(,那末常数 A 就叫函数
)( xf 当 0xx ? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
???
?
当或
定义"" ???
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
1,定义：
)(xfy?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,越小越好后找到一个显然 ??
2.几何解释,
例 2 ).(,lim
0
为常数证明 CCCxx ??
证
Axf ?)( CC ??,成立??
,0??任给
0?,l i m 0 CCxx ?? ?
,0??任取,0 0 时当 ???? xx
例 3,l i m 00 xxxx ??证明
证,)( 0xxAxf ????,0??任给,???取
,0 0 时当 ?????? xx
0)( xxAxf ???,成立??,lim 00 xxxx ?? ?
例 4,21
1lim 2
1 ??
?
? x
x
x证明
证
211)( 2 ????? xxAxf?,0??任给
,???只要取
,0 0 时当 ???? xx
函数在点 x=1处没有定义,
1?? x
,)( ??? Axf要使
,2112 ?????xx就有
.211lim 21 ???? ? xxx
例 5
.lim 00 xxxx ?? ?
证 0)( xxAxf ????
,0??任给
},,m i n { 00 ??? xx取
,0 0 时当 ???? xx
0
0
xx
xx
?
??
,)( ??? Axf要使
,0 ??? xx就有
,
0
0
x
x??
.00 且不取负值只要 ??? xxx
.lim,0,00 0 xxx xx ?? ?时当证明
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
证明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ??1
12 ?? xy
3.单侧极限,
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
??????????
????
xxxxxx
xxx
?
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx ????
?
?? 或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx ????
?
?? 或记作
.)0()0()(lim,000 AxfxfAxfxx ???????定理,lim
0 不存在验证 x
x
x ?y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
??
???? 00 limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例 6
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00 l i ml i m ??? ? 11lim 0 ?? ??x
定理 若在某个过程下,)( xf 有极限,则存在过
程的一个时刻,在此时刻以后 )( xf 有界,
定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
1.有界性
2.唯一性
三、函数极限的性质
推论
).()(),,(,0
,)(l i m,)(l i m
0
0
00
xgxfxUx
BABxgAxf
xxxx
???????
???
??
有则
且设
定理 (保序性 )
.),()(),,(,0
.)(lim,)(lim
0
0
00
BAxgxfxUx
BxgAxf
xxxx
????????
??
??
则有若
设3.不等式性质
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
???????
???
?
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则
或且若
定理 (保号性 )
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(lim 00
0
????
??????
?
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或
时当且若推论
? ?
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当
为函数即
则称数列时使得有数列
中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
?
????
? ??
??定义
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
?
??
??
?
则有时的一个子列
当是数列若
定理
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
证
.)(
,0,0,0 0
???
???????????
Axf
xx 恒有时使当
Axfxx ?? )(l i m
0
?
.0
,,0,0
0 ????
??????
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( ??? Axf n从而有,)(l i m Axf nx ???故
,lim 00 xxxx nnn ???? 且又 ?
例如,xxy sin?1sinlim 0 ?? x xx
,11s i nlim ??? nnn
,11s i nlim ??? nnn 11s i n1lim 2
2 ??
??? n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都
存在,且相等,
xy 1sin?
例 7,
1s i nlim
0 不存在证明 xx ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且? ?
,
2
14
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? nx n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?nx n
nn
s i nl i m1s i nl i m ???? ?而
,1?
?2 14s i nlim1s i nlim ??? ???? nx n
nn
而
1lim???n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx ?
,0?
函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(lim Axfx ???? ;)(lim Axfx ????;)(lim 0 Axfxx ?? ;)(lim 0 Axfxx ???,)(lim 0 Axfxx ???
.)(
,,,0)(lim
?
?
??
?????
Axf
Axf
恒有
从此时刻以后时刻
(见下表 )
小 结
过 程
时 刻
从此时刻以后
??n ??x ???x ???x
N
Nn? Nx ? Nx? Nx ??
)(xf ??? Axf )(
0xx? ?
???? 00 xx
?? 0xx ?? 0xx
???? 00 xx 00 ????? xx
过 程
时 刻
从此时刻以后
)(xf ??? Axf )(
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
思
考
题
??? )(lim0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(lim0 xfx?? 不存在,
思考题解答