第 5节 无穷小与无穷大
无穷小
无穷大
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式 ??)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(lim(0)(lim
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,1.定义,
一、无穷小
例如,,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
,01lim ??? xx?,1 时的无穷小是当函数 ??? x
x
,0)1(lim ???? n nn?,})1({ 时的无穷小是当数列 ???? nn n
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数,
注
意
证 必要性,)(lim
0 Axfxx ??设,)()( Axfx ???令
,0)(l i m 0 ??? xxx则有 ).()( xAxf ???
充分性 ),()( xAxf ???设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx ??
))((l i m)(l i m 00 xAxf xxxx ??? ??则 )(l i m 0 xA xx ??? ?.A?
)()()(lim1
0
xAxfAxfxx ??????定理
.)( 0 时的无穷小是其中 xxx ??
2,无穷小与函数极限的关系,
01lim 0 ??? xxx证明
2
1
2
1,0,????? x不妨设对证 ? 21?x则
x
x
x
x
x
x 2
2
1111
?
?
?
?
?
?
?
2,1
?? ??
?? xx
x 只要要使 }
2
1,
2m i n {
?? ?取
,0 时则 ??? x 证完有 ???? 01 xx
例 1
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 ???? x
使得,0,0,0 21 ?????? NN;21 ???? 时恒有当 Nx ;22 ???? 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN ?取 恒有时当,Nx ?
??????? 22 ???? )(0 ??????? x,??
3,无穷小的运算性质,
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,??
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100 ?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
?
????????
恒有
时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx ??
注
意
.0,0,0 202 Mxx ????? ????????? 时恒有使得当
},,m i n { 21 ????取 恒有时则当,0 0 ???? xx
????? uu MM ???,??
.,0 为无穷小时当 ???? uxx
推论 1
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
x
x
x
xx
1
a r c t a n,
1
s i n,0
:
2时当
例如
?
都是无穷小
定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X )
的一切 x,所对应的函数值 )( xf 都满足 不等式
Mxf ?)(,
则称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷 大,
记作
).)(lim()(lim
0
????
???
xfxf
xxx
或
绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
二、无穷大
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??????
xfxf
x xxx xx
或
1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 ??? xfxx
特殊情形：正无穷大，负无穷
大．
注
意
.,
1s i n1,0,
但不是无穷大是一个无界变量
时当例如 xxyx ??
),3,2,1,0(
22
1)1(
0 ???
??
? k
k
x取
,22)( 0 ???? kxy,)(,0 Mxyk ?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( 0 ???? kkx取
,,??kxk 充分大时当
??? kkxy k 2s i n2)(但,0 M?? 不是无穷大．
无界，
xxy 1sin1?
.11lim 1 ???? xx证明
证,0?? M,11 Mx ??要使
,11 Mx ??只要,1M??取
,110 时当 Mx ?????,11 Mx ??就有,11lim 1 ???? ? xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
例
定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
??? xfxx设
,1)(
0,0,0 0
??
???????????
xf
xx
恒有
时使得当
.)(1 ??xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx ??
三、无穷小与无穷大的关系
.0)(,0)(lim,
0
??? xfxfxx 且设反之
,1)(
0,0,0 0
Mxf
xxM
?
??????????
恒有
时使得当
.)(1 Mxf ?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx ??
,0)( ?xf由于
关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷
小的讨论,
注意
1,主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
2、几个重要关系
无穷小与有界量的关系)1(
无穷大与无界量的关系)2(
无穷大与无穷小的关系)3(
系函数极限与无穷小的关)4(
小 结
无穷小与无穷小的关系)5(
无穷小无穷小无穷小 ??
无穷小无穷小无穷小 ??
无穷小无穷小无穷小 ??
在同一个极限过程中
无穷小无穷小无穷小 ???
)( 详见无穷小的阶
3、几点注意,
（ 1） 无穷小是变量,不能与很小的数混淆，
零是唯一的无穷小的数；
（ 3） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 4） 无界变量未必是无穷大,
（ 2） 无穷大是变量,不能与很大的数混淆，
常数中没有无穷大
无穷大无穷大的代数和未必是)5(
若 0)( ?xf,且 Axf
x
?
???
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思
考
题
不能保证,
例 xxf 1)( ?,0??x 有 01)( ?? xxf
???? )(lim xfx,01l im ????? Axx
思考题解答
无穷小
无穷大
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式 ??)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(lim(0)(lim
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,1.定义,
一、无穷小
例如,,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
,01lim ??? xx?,1 时的无穷小是当函数 ??? x
x
,0)1(lim ???? n nn?,})1({ 时的无穷小是当数列 ???? nn n
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数,
注
意
证 必要性,)(lim
0 Axfxx ??设,)()( Axfx ???令
,0)(l i m 0 ??? xxx则有 ).()( xAxf ???
充分性 ),()( xAxf ???设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx ??
))((l i m)(l i m 00 xAxf xxxx ??? ??则 )(l i m 0 xA xx ??? ?.A?
)()()(lim1
0
xAxfAxfxx ??????定理
.)( 0 时的无穷小是其中 xxx ??
2,无穷小与函数极限的关系,
01lim 0 ??? xxx证明
2
1
2
1,0,????? x不妨设对证 ? 21?x则
x
x
x
x
x
x 2
2
1111
?
?
?
?
?
?
?
2,1
?? ??
?? xx
x 只要要使 }
2
1,
2m i n {
?? ?取
,0 时则 ??? x 证完有 ???? 01 xx
例 1
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 ???? x
使得,0,0,0 21 ?????? NN;21 ???? 时恒有当 Nx ;22 ???? 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN ?取 恒有时当,Nx ?
??????? 22 ???? )(0 ??????? x,??
3,无穷小的运算性质,
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,??
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100 ?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
?
????????
恒有
时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx ??
注
意
.0,0,0 202 Mxx ????? ????????? 时恒有使得当
},,m i n { 21 ????取 恒有时则当,0 0 ???? xx
????? uu MM ???,??
.,0 为无穷小时当 ???? uxx
推论 1
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
x
x
x
xx
1
a r c t a n,
1
s i n,0
:
2时当
例如
?
都是无穷小
定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X )
的一切 x,所对应的函数值 )( xf 都满足 不等式
Mxf ?)(,
则称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷 大,
记作
).)(lim()(lim
0
????
???
xfxf
xxx
或
绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
二、无穷大
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??????
xfxf
x xxx xx
或
1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(l i m.2
0
认为极限存在切勿将 ??? xfxx
特殊情形：正无穷大，负无穷
大．
注
意
.,
1s i n1,0,
但不是无穷大是一个无界变量
时当例如 xxyx ??
),3,2,1,0(
22
1)1(
0 ???
??
? k
k
x取
,22)( 0 ???? kxy,)(,0 Mxyk ?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( 0 ???? kkx取
,,??kxk 充分大时当
??? kkxy k 2s i n2)(但,0 M?? 不是无穷大．
无界，
xxy 1sin1?
.11lim 1 ???? xx证明
证,0?? M,11 Mx ??要使
,11 Mx ??只要,1M??取
,110 时当 Mx ?????,11 Mx ??就有,11lim 1 ???? ? xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
例
定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
??? xfxx设
,1)(
0,0,0 0
??
???????????
xf
xx
恒有
时使得当
.)(1 ??xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx ??
三、无穷小与无穷大的关系
.0)(,0)(lim,
0
??? xfxfxx 且设反之
,1)(
0,0,0 0
Mxf
xxM
?
??????????
恒有
时使得当
.)(1 Mxf ?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx ??
,0)( ?xf由于
关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷
小的讨论,
注意
1,主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
2、几个重要关系
无穷小与有界量的关系)1(
无穷大与无界量的关系)2(
无穷大与无穷小的关系)3(
系函数极限与无穷小的关)4(
小 结
无穷小与无穷小的关系)5(
无穷小无穷小无穷小 ??
无穷小无穷小无穷小 ??
无穷小无穷小无穷小 ??
在同一个极限过程中
无穷小无穷小无穷小 ???
)( 详见无穷小的阶
3、几点注意,
（ 1） 无穷小是变量,不能与很小的数混淆，
零是唯一的无穷小的数；
（ 3） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 4） 无界变量未必是无穷大,
（ 2） 无穷大是变量,不能与很大的数混淆，
常数中没有无穷大
无穷大无穷大的代数和未必是)5(
若 0)( ?xf,且 Axf
x
?
???
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思
考
题
不能保证,
例 xxf 1)( ?,0??x 有 01)( ?? xxf
???? )(lim xfx,01l im ????? Axx
思考题解答
