第 7节 极限存在法则
两个重要极限
极限存在法则
两个重要极限
准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
??
???
????
?
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
?
??
lim,
证,,azay nn ???
使得,0,0,0 21 ????? NN?
1.夹逼准则
一、极限存在准则
,1 ???? ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN ?取
恒有时当,Nn ?
,?????? aya n即
,2 ???? azNn n时恒有当
,?????? aza n
上两式同时成立,
,?? ?????? azxya nnn
,成立即 ??? ax n,l i m ax nn ?? ??
说明：上述数列极限存在的准则可以推广到函数的
极限。即有：
准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
?
? ( 或 Mx ? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
??
??
??
?
??
?
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
??
?
存在,且等于 A,
.
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy准则 I和 准则 I'称为 夹逼准则,
注
意
例 1 ).
1
2
1
1
1(lim
222 nnnnn ???????? ?求
解,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
?
?
? ????
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
?
?
? ????,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222 ???????
?? nnnnn
?
求极限,!
2lim
n
n
n ??
nnnn
n 42
1
22
3
2
2
2
1
2
!
2
0 ???????〈
0
4
l i m ?
?? nn
而
0
!
2
l i m ?
?? n
n
n
所以
解
例 2
]
)2(
1
)1(
11[lim
222 nnn
n
?????
?
?
??
而
0
)(
1lim
2 ??
?
?? nn
n
n
222 )2(
1
)1(
11
nnn
x n ?????
?
??解：令
22
1
)(
1
n
nx
nn
n
n
???
?
?则有：
01lim 2 ??
?? n
n
n
0lim ??
?? nn
x
例 3
x1x 2x 3x 1?nxnx
满足条件如果数列
）单调数列定义（
nx
1
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调增加
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调减少
（ 2 ）准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
A M
2.单调有界准则
几何解释,
极限单减有下界的数列必有
极限单增有上界的数列必有
易知：
例 4
.)(
333
的极限存在重根式
证明数列
n
x n ???? ?
证
,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的nx?
,331 ??x?又,3?kx假定
kk xx ??? 31 33?,3?
? ? ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x???
,31 nn xx ????,32 1 nn xx ???
),3(limlim 2 1 nnnn xx ?? ?????
,32 AA ??
（舍）解得 2 131,2 131 ???? AA
.2 131lim ???
?? nn
x
A
C
1s i nl i m
0
?
? x
x
x
)20(,,????? xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
1
二、两个重要极限
,ta ns i n xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx
,1c o sl i m0 ?? ? xx,11l i m0 ??x?又,1
s i nlim
0 ?? ? x
x
x
型不定式为
0
01
)0lim( (, ) ?? ?x只要满足
1s i nl i m2
(, )
?
? ?
?
x
重要极限的特征
?
?? x
x
x
1s i nlim.4
0s i nlim.1 ?
?? x
x
x
??
2s i n
l i m.2
2
?
? x
x
x
1
1
1
s i n
lim ?
??
x
x
x
1s i nlim.3
1
?
? x
x
x
11s i nl i m.5
0
?
? x
x
x
1
1
)1s i n (l i m.6
1
?
?
?
? x
x
x
??
2s i n
l i m.7
2
?
? x
x
x
注
意
例题分析
例 1
n
m
nx
mxk
x
kx
xx
??
??
s i nl i ms i nl i m
00
一般有
x
x
x
x
xx 5
5s i n
5lim
5s i n
lim
00 ??
? 5
5
5s i nl i m5
0
??
? x
x
x
2例
1si n
c o s
1limlim
00
???
?? x
x
xx
t g x
xx
x
tgx
x 0
lim
?
k
x
tg k x
x
?
? 0
l i m一般有 n
m
t g n x
t g m x
x
?
? 0
lim
解
解
例 3,
co s1l i m
20 x
x
x
?
?
求
解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x ?
?原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x ?
?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x ?
?
21
2
1 ??,
2
1?
xx
xx
x s i n
s i nl i m
0 ?
?
?
解
0
s i n
1
s i n
1
lim
0
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
原式
例 4
x
xt gx
x 30 s in
s inlim ?
?
解
xx
x
x
x
x
x
xx c o ss i n
c o s1
l i m
s i n
s i n
c o s
s i n
l i m
2030
?
?
?
?
??
原式
x
xx
x
x
c o s
2
c o s
2
s i n4
2
s i n2
l i m
22
2
0?
? 21?
ax
ax
ax ?
?
?
s ins inlim
ax
axax
ax ?
??
?
?
2
c o s
2
s i n2
lim原式 acos?解
例 5
例 6
x
x
x
a r c s inlim
0?
)a r c s i n(
s i n
lim
0
xy
y
y
y
??
?
令原式解 1?
1l i m
0
?
? x
a r c tg x
x
类似有
例 7
ex x
x
??
??
)11(l i m
定义 en
n
n
??
??
)11(lim
n
n nx )
11( ??设
???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ????? ?
2
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
?
?
?
,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的nx?
!
1
!2
111
nx n ????? ? 12
1
2
11
?????? n?
12
13
??? n,3? ? ? ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x??? en
n
n ???? )
11(l i m记为 )71828.2( ??e
类似地,
,1 时当 ?x,1][][ ??? xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ ??????? xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
?????
??????
?
???
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
?
???
?
???
???
?
??
?
??
?
?
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx ??? ???
,xt ??令
t
t
x
x tx
?
?????? ???? )
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
??? ???
)111()111(lim 1 ????? ???? tt tt,e?
ex x
x
???
??
)11(lim
,1xt ?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
???
???,e?
ex x
x
??
?
1
0
)1(lim
ex x
x
??
??
)11(l i m1 ）（ ex x
x
??
?
1
0
)1(l i m2 ）（
统一形式为：
)0lim()1(lim
(, )
1
(, )
?????
?
?
? xx
e 只要
公式
特点,型不定式为）（ ?11
一定要互为倒数与
）指数位置上的部分（
?
2
注
意
例 8,)
11(l i m x
x x
?
??
求
解 xx
x
???
?
?
?
)11(
1lim
1])11[(l i m ??
?? ???
x
x x原式
.1e?
例 9,)2
3(l i m 2 x
x x
x
?
?
??
求
解 422 )211(])211[(lim ??
?? ????? xx
x
x原式,
2e?
kx
x x
x ?
??
? 4)1(lim
4
4
?原式解 kx
x xx
)11()11[(lim 44 4 ???
??
k
x
x
x xx
)11(l i m)11[(l i m 44 4 ????
????
1?? e e?
x
x x
c o t
0 )ta n1(lim ??
解,?原式 etg x t g x
x
??
?
1
0
)1(l i m
例 10
例 11
x
x
x
)1ln (lim
0
?
?
解：
x
x
x
1
0
)1l n (lim ??
?
原式
])1(l i ml n [
1
0
x
x
x??
?
1ln ?? e
例 12
x
e x
x
1lim
0
?
?
y
yye
y
x
ln
1l i m
1
??
?
令原式解：
1
ln
lim
1
1 ?
?
? y
y
y
1
1
1
)]1(1ln[lim
1
?
?
??
?
y
y
y
由上例
1
例 13
]}ln)1[ ln ({lim nnnn ????
)
1
l n (lim
n
n
n
n
?
?
??
原式解：
n
n n
n
)
1
l n (lim
?
?
??
n
n n
)11l n (lim ??
??
1?
例 14
]1[lim
1
?
??
n
n
an
]1[1l i m1
0
??
?
t
t
a
t
t
n
令解,]1[ln
lnlim
1
??
?
u
u
aau
u
t令
aln?
?
?
? ?
?
? x
ee x
x
lim
?? e
t
etx t
t
????
?
1l i m
0
令原式解,?e?
例 15
例 16
夹逼准则 ; 单调有界准则,;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程,)1(l i m2
1
0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
小 结
两个准则
两个重要极限
求极限 ? ? xxxx
1
93lim ?
???
思
考
题
? ? xxx
x
1
93lim ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??? 3
1
3
3
1
1lim9
99 0 ??? e
思考题解答