第四节 可降阶的高阶微分方程
型),( )1()()( ?? nkn yyxfy ??
型的微分方程)()( xfy n ?
型),,( )1()( ????? nn yyyyfy ??
恰当导数方程
小结,思考题
这种方程通过 n次积分可得通解，微分方程右端
仅含有自变量 x，容易看出，只要把 )1( ?ny 作为新的
未知函数那么方程就是新未知数的一阶微分方程，
两边积分得到一个 n-1阶的微分方程
? ??? 1)1( )( cdxxfy n ? ?
??? 212)-(n ])([y cdxcdxxf同理
型的微分方程一,)()( xfy n ?
例 1、求微分方程 xey x c o s2 ????? 的通解
对所给方程接连积分三次 得
1
2 s i n
2
1 cxey x ?????
21
2 c o s
4
1 cxcxey x ?????
32
2
1
2
2
1s i n
8
1y cxcxcxe x ?????通解
依次继续进行，积分 n次，便得含 n个任意常数
的通解
解
例 2：求解微分方程 01)4(2 ??yx
2
)4( 1
xy ??
1
1 c
xy
??????
21ln cxcxy ???????
32
21
2ln cxcx
cxxxy ?????????
43
2
2
3
1
2
ln2 cxcxcxcxxy ?????
33
2
2
1
1 )4
3
2(6 cc
cccc ???????
解
代入原方程,得
.,,)1( ?? kyyy ?及不显含未知函数
)()( xPy k ?令
.,)()()1( knnk PyPy ?? ???则
) ),(,),(,( )1()( xPxPxfP knkn ??? ? ?
P(x)的 (n-k)阶方程
),( xP求得
,)()( 次连续积分将 kxPy k ?可得通解,
)( )1()()( ?? nkn yyfy ?二、
解法：
特点
),( yxfy ????
方程中不显含 y
p
dx
dp ?????????
dx
ydy py 则设：
p)f ( x,p ??则方程就成为
的一阶微分方程这是一个关于变量 px,
例 3,xeyyx ?????求微分方程
p ??????? dxdpy py y 令方程不显含解：
xep ??
dx
dpx 代入方程
常用
解为为一阶线性方程，其通xexpxdxdp 11 ??
]
1
[)( 1
11
? ????
?
cdxee
x
exp
dx
xx
dx
x
x
e
x
ccxe
xx
x
x ????? ? 1
1 ]
1[1
x
e x???
x
cy 1既
21 ln cdxx
excy x ??? ?
例 4,1y2)1(
0
2 ??????
?xyxyx 满足初始条件
的特解30 ?? ?xy
py)yf ( x,y ?????? 型的，设解：所给方程是
dxxxpdp 21 2 ??有代入方程并分离变量后
12 ln)xl n ( 1l n p c???得两边积分
3c 3y )1( 1021 ??????? ? 得代入 xxcyp
dxxdy
xy
)1(3
)1(3
2
2
??
???
2
33 cxxy ???
1c 1y 20 ??? 得代入 x
133 ??? xxy
所求特解为
解 ),()4( xPy ?设
代入原方程,0??? PPx
xCP 1?解线性方程,得
两端积分,得
原方程通解为
)()5( xPy ??
）（ ?P
,1)4( xCy ?即
,21 221 CxCy ?????,??
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????
54233251 dxdxdxdxdy ?????
.0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy例 5
)( ypy ??设,dydPpdxdydydpy ?????则
阶方程，的代入原方程得到新函数 )1()( ?nyP
求得其解为
原方程通解为,),,,(
11
n
n
CxCCy dy ????
??
.x右端不显含自变量
解法：
,)( 22
2
2
dy
dPP
dy
PdPy ?????
,??
),,,,()( 11 ???? nCCyyPdxdy ?
型三,),,,( )1()()( ?? nkn yyxfy ?
特点
常见 ),( yyfy ???? 型的微分方程
py 则作变换 ??
dy
dp
p
dx
dy
dy
dp
dx
dp
y ?????
得代入原方程
),( yyf
dy
dp
p ??
的一阶方程上式为有关 yp,
用一阶微分方程解法求通解
满足初始条件求微分方程：例 y3y 6 ???
的特解21 00 ??? ?? xx yy
设解,则原方程
dy
dppypy ??????
y
dy
dp
p 3?
dyypdp 3?
1
2
3
2
2
1
1
1
3
2
1
cyp ?
?
?
1
2
3
2 4 cyp ??
021 100 ???? ?? cyy xx 得由
2
3
2 4 yp ?所以
4
3
2 y
dx
dy ??
dxdyy 24
3
??
?
2
4
3
1
2
4
3
1
1
cxy ???
?
?
2
4
1
24 cxy ???
11 20 ??? cy x 得由
1
2
4
1
??? xy 4)12( ??
xy得
不合舍去与 2 )
2
1(
0
4 ????
?x
yxy?
.02 的通解求方程 ????? yyy
解,dydPpy ???则 ),( ypy ??设
代入原方程得,02 ??? PdydPPy,0)( ??? PdydPyP即
，由 0??? PdydPy,1 yCP ?可得
.12 xceCy ?原方程通解为,1 yCdxdy ??
例 7
.0),,,,(,
),,,,(
)1(
)1(
???
??
?
?
n
n
yyyx
dx
d
x
yyyx
?
?
即的导数对
左端恰为某一函数
解法,类似于全微分方程可降低一阶
,),,,,( )1( Cyyyx n ??? ??
再设法求解这个方程,
特点
四、恰当方程
.02 的通解求方程 ????? yyy
解 将方程写成,0)( ??yydxd
,1Cyy ??故有,1 dxCy d y ?即
积分后得通解,212 CxCy ??
这一段技巧性较高,关键是配导数的方程,
例 3
注
意
解法：
),,,,(),,,,( )()( nkn yyyxFttyyttyxF ?? ???
次齐次函数k ?? z d xey可通过变换
).(,xz得新未知函数将其降阶
,??? z d xzey?,)( 2 ?????? z d xezzy,??
,),,,( )1()( ???? ? z d xnn ezzzy ?
,? z d xke代入原方程并消去
特点
五、齐次方程
阶方程的得新函数 )1()( ?nxz
.0),,,,( )1( ?? ?nzzzxf ?
.)( 22 的通解求方程 yxyyyx ?????
解,?? zd xey设 代入原方程,得,12 2xzxz ???
,1 21xCxz ??解其通解为
.12
1
2
)1( xCdxxCx xeCey ?? ?? ?原方程通解为
例 4
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解,
解,1 2y两端同乘不为零因子
,0)(2
2
??????? yydxdy yyy,1 yCy ??故
从而通解为,12 xCeCy ?
.02 的通解求方程 ????? yyy例 5
结论
另解 原方程变为,yyyy ?????
两边积分,得,1lnlnln Cyy ???,即 yCy 1??
原方程通解为,12 xCeCy ?
.2 的通解求方程 yyyxyxy ??????
解,?? zd xey设,zxz ??
,xCz ?解其通解为
.212 xCC x d x eCey ?? ?原方程通解为
代入原方程,得
补充题,
已知 31 ?y,
2
2
3 xy ??,
x
exy ???
2
3
3
都是微分方程
? ? ? ? ? ? ? ?162222 22 ?????????? xyxyxyxx
的解，求此方程所对应齐次方程的通解,
思
考
题
321,,yyy? 都是微分方程的解,
,23 xeyy ???,212 xyy ??
是对应齐次方程的解,
2
12
23
x
e
yy
yy x?
?
?? ?常数
所求通解为?
.221 xCeC x ??
? ? ? ?122231 yyCyyCy ????
思考题解答