小结
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
定义
二阶常系数齐次线性方程
二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?
n阶常系数线性微分方程的标准形式
0?????? qyypy
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy ??????
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
一,定 义
二阶齐次线性微分方程
0)()( ?????? yxQyxpy
即的系数均为常数中如果 y,y ?
0?????? qyypy
称为二阶常系数齐次线性微分方程
出两个线性无关的通解由上节结论只要找求
其中 p,q为常数
二、二阶常系数齐次线性方程解法
为常数时，指数函数的解即可。当 r
差一个和它的各阶导数都只相rxey ?
数这个特点，我们来常数因子，由于指数函
满足方程使的选择适当 rxey r ?
0?????? qyypy
代入上面方程rxrx eryrey 2?????
-----特征方程法
,rxey ?设 将其代入上方程,得
0)( 2 ??? rxeqprr,0?rxe?
故有 02 ??? qprr 特征方程
,2 4
2
2,1
qppr ????特征根
0?????? qyypy
,2 4
2
1
qppr ????,
2
42
2
qppr ????
,11 xrey ?,22 xrey ?
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy ??
特征根为
有两个不相等的实根 )0( ??1
,11 xrey ?,221 prr ??? 一特解为
得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy ??
代入原方程并化简，，，将 222 yyy ???
,0)()2( 1211 ????????? uqprrupru
,0???u知,)( xxu ?取,12 xrxey ?则
,)( 12 xrexuy ?设另一特解为
特征根为
有两个相等的实根 )0( ??2
,1 ?? jr ??,2 ?? jr ??
,)(1 xjey ?? ??,)(2 xjey ?? ??
重新组合 )(2
1
211 yyy ??,c o s xe x ???
)(21 212 yyjy ??,s i n xe x ???
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x ???? ?
特征根为
有一对共轭复根 )0( ??3
由常系数齐次线性方程的特征方程的根
确定其通解的方法称为 特征方程法,
.044 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0442 ??? rr
解得,221 ??? rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy ???
例 1
定义
.052 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0522 ??? rr
解得,2121 jr ???，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x ?? ?
例 2
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
????
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
三, n阶常系数齐次线性方程解法
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个
根都对应着通解中的一项,且每一项各一个
任意常数,
nn yCyCyCy ???? ?2211
注
意
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr ???????
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x ????? ?
解,0122 2345 ?????? rrrrr特征方程为
,0)1)(1( 22 ??? rr
.022 )3()4()5( 的通解
求方程
????????? yyyyyy例 3
例 4：分别求作一最低阶的常系数齐次线性
微分方程使其特解为
xxe
xx
xeex
xx
eeee
x
xx
xxxx
c o s,5
c o s,s i n4
,,3
4,2
,,,1
0
0
0
0
220
?
??
解,可知由四个特解 xxx eee 22-x0,,,e 1 ?
它们是方程有四个根该微分方程对应的特征,
2,2,1,1 4321 ?????? rrrr
对应的特征方程为
0)2)(2)(1)(1( ????? rrrr
045 24 ??? rr
故所对应的微分方程为
045)4( ????? yyy
性质可知，若由齐次线性微分方程的02
也是方程是方程的解则 2121,yyyyy ??
也是方程的解的解，故 x)-(4xy ??
是方程的解和即 4 x
0r 0r 21 ??特征根可知
0r 2 ?特征方程
0y ???故对应的方程为
0rrxex 3 210110x0 ???? 所以由 xecc
故对应特征方程知和又由 143 ?? rrxee xx
020)1( 23422 ?????? rrrrr
对应微分方程为 02)4( ???????? yyy
i c o ss i n 4 210 ??? 知特征根为由 xyxy
01r 2 ??特征方程
微分方程对应 0???? yy
也是解是微分方程特解由 xx exe ?
也是解是微分方程特解由 xx s i nc o s ?
irrrr ????? 4321,1故特征根为
0)1()1( 22 ??? rr特征方程
0)1)(12( 22 ???? rrr
01222 234 ????? rrrr
对应微分方程
0222)4( ??????????? yyyyy
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
(见下表 )
小 结
02 ??? qprr 0?????? qyypy
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
exCCy
2
)(
21
??
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
??
?
??
求微分方程 的通解,? ? yyyyy ln22 ?????
思
考
题
,0?y?
? ?,ln
2
2
yy yyy ??????
,ln y
y
y ???
?
??
?
? ?
? ?,ln yyy x ???? ? ?,lnln yy ???
令 yz ln? 则,0???? zz 特征根 1???
通解 xx eCeCz ??? 21,ln 21 xx eCeCy ????
思考题解答
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
定义
二阶常系数齐次线性方程
二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?
n阶常系数线性微分方程的标准形式
0?????? qyypy
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy ??????
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
一,定 义
二阶齐次线性微分方程
0)()( ?????? yxQyxpy
即的系数均为常数中如果 y,y ?
0?????? qyypy
称为二阶常系数齐次线性微分方程
出两个线性无关的通解由上节结论只要找求
其中 p,q为常数
二、二阶常系数齐次线性方程解法
为常数时，指数函数的解即可。当 r
差一个和它的各阶导数都只相rxey ?
数这个特点，我们来常数因子，由于指数函
满足方程使的选择适当 rxey r ?
0?????? qyypy
代入上面方程rxrx eryrey 2?????
-----特征方程法
,rxey ?设 将其代入上方程,得
0)( 2 ??? rxeqprr,0?rxe?
故有 02 ??? qprr 特征方程
,2 4
2
2,1
qppr ????特征根
0?????? qyypy
,2 4
2
1
qppr ????,
2
42
2
qppr ????
,11 xrey ?,22 xrey ?
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy ??
特征根为
有两个不相等的实根 )0( ??1
,11 xrey ?,221 prr ??? 一特解为
得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy ??
代入原方程并化简，，，将 222 yyy ???
,0)()2( 1211 ????????? uqprrupru
,0???u知,)( xxu ?取,12 xrxey ?则
,)( 12 xrexuy ?设另一特解为
特征根为
有两个相等的实根 )0( ??2
,1 ?? jr ??,2 ?? jr ??
,)(1 xjey ?? ??,)(2 xjey ?? ??
重新组合 )(2
1
211 yyy ??,c o s xe x ???
)(21 212 yyjy ??,s i n xe x ???
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x ???? ?
特征根为
有一对共轭复根 )0( ??3
由常系数齐次线性方程的特征方程的根
确定其通解的方法称为 特征方程法,
.044 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0442 ??? rr
解得,221 ??? rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy ???
例 1
定义
.052 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0522 ??? rr
解得,2121 jr ???，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x ?? ?
例 2
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
????
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
三, n阶常系数齐次线性方程解法
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个
根都对应着通解中的一项,且每一项各一个
任意常数,
nn yCyCyCy ???? ?2211
注
意
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr ???????
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x ????? ?
解,0122 2345 ?????? rrrrr特征方程为
,0)1)(1( 22 ??? rr
.022 )3()4()5( 的通解
求方程
????????? yyyyyy例 3
例 4：分别求作一最低阶的常系数齐次线性
微分方程使其特解为
xxe
xx
xeex
xx
eeee
x
xx
xxxx
c o s,5
c o s,s i n4
,,3
4,2
,,,1
0
0
0
0
220
?
??
解,可知由四个特解 xxx eee 22-x0,,,e 1 ?
它们是方程有四个根该微分方程对应的特征,
2,2,1,1 4321 ?????? rrrr
对应的特征方程为
0)2)(2)(1)(1( ????? rrrr
045 24 ??? rr
故所对应的微分方程为
045)4( ????? yyy
性质可知，若由齐次线性微分方程的02
也是方程是方程的解则 2121,yyyyy ??
也是方程的解的解，故 x)-(4xy ??
是方程的解和即 4 x
0r 0r 21 ??特征根可知
0r 2 ?特征方程
0y ???故对应的方程为
0rrxex 3 210110x0 ???? 所以由 xecc
故对应特征方程知和又由 143 ?? rrxee xx
020)1( 23422 ?????? rrrrr
对应微分方程为 02)4( ???????? yyy
i c o ss i n 4 210 ??? 知特征根为由 xyxy
01r 2 ??特征方程
微分方程对应 0???? yy
也是解是微分方程特解由 xx exe ?
也是解是微分方程特解由 xx s i nc o s ?
irrrr ????? 4321,1故特征根为
0)1()1( 22 ??? rr特征方程
0)1)(12( 22 ???? rrr
01222 234 ????? rrrr
对应微分方程
0222)4( ??????????? yyyyy
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
(见下表 )
小 结
02 ??? qprr 0?????? qyypy
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
exCCy
2
)(
21
??
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
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?
??
求微分方程 的通解,? ? yyyyy ln22 ?????
思
考
题
,0?y?
? ?,ln
2
2
yy yyy ??????
,ln y
y
y ???
?
??
?
? ?
? ?,ln yyy x ???? ? ?,lnln yy ???
令 yz ln? 则,0???? zz 特征根 1???
通解 xx eCeCz ??? 21,ln 21 xx eCeCy ????
思考题解答
