第二节 一阶线性微分方程
线性方程
伯努利方程
)()( xQyxPdxdy ??
为一阶线性微分方程 的标准形式
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)( ?xQ当
例如,2xydxdy ??,s i n 2ttxdtdx ??
,32 ??? xyyy,1c o s ??? yy
线性的 ;
非线性的,
形如
（对于方程形式）
定义
一、线性方程
.0)( ?? yxPdxdy
,)( dxxPydy ??,)(?? ?? dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
1,线性齐次方程
(使用分离变量法 )
一阶线性微分方程的 解法
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdx
dy ??
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
??
?
??
? ???
两边积分,)(
)(ln ?? ?? dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设 ?,)()(ln ???? dxxPxvy
.)()( ??? dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比, )( xuC ?
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质, 未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数 ?
作变换 ?? ? dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( ??????? ? dxxPdxxP exPxuexuy
常数变易法
代入原方程得和将 yy ?
,)()( )( CdxexQxu dxxP ??? ?
),()( )( xQexu dxxP ???
积分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(
对应齐次
方程通解
非齐次方程特解
.s i n1 的通解求方程 x xyxy ???
,1)( xxP ?,s i n)( x xxQ ?
?
?
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Cdxe
x
x
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dx
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x
xe xx lnln s i n
? ?? ?? Cx d xx s i n1 ? ?.co s
1 Cx
x ???
解
例 1
例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy ???
解
解此微分方程 x
y
o x
P
Q 3xy ?
)( xfy ?
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?
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? ???? ?? dxexCey dxdx 23
,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).222(3 2 ????? ? xxey x
23 xyy ???
称为伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( ?? )1,0( ?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
形如定义
二, 伯努利方程
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??
),()1()()1( xQnzxPndxdz ????
求出通解后，将 代入即得 nyz ?? 1
，得两端除以 ny
代入上式
.))1)(((
)()1()()1(
1
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??
???
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CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
例 3 求解方程 33 yxxyy ???
解：这是贝奴利方程 n=3
两边同除 32
3
3
y
y xxyy ??? ?得
32
2
2
1 xxy
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.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy ??
,41 2xyxdxdyy ??
,yz ?令,
42 2xz
xdx
dz ??
,22 ?????? ?? Cxxz解得,2
2
4 ?
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? ?? Cxxy即
解,得两端除以 ny
例 3
例 4 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy ????
解,21 1
2 ????? yxexyy x
,2)1(1 yyz ?? ??令,2 dxdyydxdz ?则
,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ???? ? ??
所求通解为 ).2(
2
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解,xyz ?令,
dx
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dx
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,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz ????
,42s i n2 Cxzz ???分离变量法得
,代回将 xyz ?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy ???;1.3 yxdxdy ??
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为
)( xyfy ?? ;xuy ?令;)( )(?? ? dxxPexuy令;1 zy n ??令
齐次方程
线性非齐次方程
伯努利方程
小 结
求微分方程 的通解, yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
???
思考题
y
yxyy
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dx
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思考题解答
线性方程
伯努利方程
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为一阶线性微分方程 的标准形式
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)( ?xQ当
例如,2xydxdy ??,s i n 2ttxdtdx ??
,32 ??? xyyy,1c o s ??? yy
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形如
（对于方程形式）
定义
一、线性方程
.0)( ?? yxPdxdy
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齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
1,线性齐次方程
(使用分离变量法 )
一阶线性微分方程的 解法
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdx
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讨论,)(
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y
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.)()( ??? dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比, )( xuC ?
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质, 未知函数的变量代换,
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一阶线性非齐次微分方程的通解为,
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对应齐次
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非齐次方程特解
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线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
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两边求导得,3 2xyy ???
解
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称为伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
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方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
形如定义
二, 伯努利方程
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
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求出通解后，将 代入即得 nyz ?? 1
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例 3 求解方程 33 yxxyy ???
解：这是贝奴利方程 n=3
两边同除 32
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解,得两端除以 ny
例 3
例 4 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy ????
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2 ????? yxexyy x
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分离变量法得,)1l n( Cxuu ????
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)( xyfy ?? ;xuy ?令;)( )(?? ? dxxPexuy令;1 zy n ??令
齐次方程
线性非齐次方程
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小 结
求微分方程 的通解, yxyy
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思考题解答
