第六节 极限的运算法则
极限的运算法则
求极限方法举例
定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
??
???
???
??
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中
则设
证,)(lim,)(lim BxgAxf ???
.0,0.)(,)( ??????????? 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
一、极限运算法则
)()]()([ BAxgxf ???????,0?,)1( 成立?
)()]()([ BAxgxf ??? ABBA ?????? ))((
??????? )( BA,0?,)2( 成立?
B
A
xg
xf ?
)(
)(
B
A
B
A ?
??
???
)( ??
????
BB
AB,0???? AB?
,0,0 ??? B?又,0???,0 0 时当 ???? xx
,2B?? ?????? BB BB 21?? 21?
推论 1
).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
?
则为常数而存在如果
常数因子可以提到极限记号外面,
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
?
则是正整数而存在如果
推论 2
,21)( 2BBB ????,2)( 1 2BBB ???故 有界，
.)3( 成立?
于有限项极限的运算法则仅适合
例 ).
21(lim
222 n
n
nnn ????? ?求
00...00
lim
2
lim
1
lim 222
?????
????
?????? n
n
nn nnn
?
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
???????
????
??
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
?
?
?? )
11(
2
1l i m
nn ?? ??,2
1?
先变形再求极限,
注
意
例 1,53
1lim
2
3
2 ??
?
? xx
x
x
求
解 )53(l i m 22 ??? xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 ??? ??? xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 ??? ??? xxx xx
5232 2 ????,03 ??
53
1l i m
2
3
2 ??
??
? xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
??
?
?
?
??
xx
x
x
xx
.37?3 12
3 ?
?
二、求极限方法举例
则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf ???? ? ?
nnxxnxxxx axaxaxf ???? ???? ?110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa ???? ? ?10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 ?? xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若 ?xQ
小结
解 )32(l i m 21 ??? xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 ?? xx?又,03 ??
14
32lim 2
1 ?
???
? x
xx
x,03
0 ??
由无穷小与无穷大的关系,得
例 2,32
14l i m
21 ??
?
? xx
x
x
求
.32 14l i m 2
1
???? ?
? xx
x
x
先求其倒数的极限
解
例 3,32
1l i m
2
2
1 ??
?
? xx
x
x
求
.,,1 分母的极限都是零分子时?x
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1 ??
???
??
?
?? xx
xx
xx
x
xx
3
1lim
1 ?
??
? x
x
x,2
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
解,3 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
3
1l i m
3 ?
?
? xx
.61?
)00( 型
(消去零因子法 )
9
3
lim 2
3 ?
?
? x
x
x
9
3lim
2
3 ?
?
? x
x
x
例 4
解,1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
)00( 型
1
1lim
1 ?
?
? x
x n
x
求极限
1
1lim
1 ?
?
? x
x n
x
nx xxxx
nn
x
?? ??????
??
? 1
)1...)(1(l i m 21
1
:推广
1
1l i m
1 ?
?
? m
n
x x
x
m
n
x
x
x
x
m
n
x
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
lim
1
n
m
m
n
x
x
m
n
x
??
?
?
? /1
1
1
1lim
1
例 5
解
)00( 型
x
x n
x
1)1(lim
0
??
?
求极限
nyyxx
n
y
xyn
x
??????
?
??
? 1
1lim1)1(lim
1
1
0
令
解
x
xn
x
11lim
0
??
?
求极限
ny
y
x
x n
y
xyn
x
1
1
1
lim
11
lim
1
1
1
0
?
?
?
?
??
?
??
?
令
例 6
例 7
例 8,147
532lim
23
23
??
??
?? xx
xx
x
求
解,,,分母的极限都是无穷大分子时??x )( 型?
?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
??
??
?
??
??
????
.72?
(无穷小因子分出法 )
为非负整数时有和当 nmba,0,0 00 ??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当
当
当
?
?
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
小结,
mnmnm
n
m
n
mmmmm
m
x
n
nn
m
mm
x
x
b
x
x
b
x
x
b
x
x
b
x
a
x
x
a
x
x
aa
bxbxb
axaxa
1
1
l i m
l i m
1
1
10
1
1
10
1
10
1
10
????
????
?
???
???
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
:推导
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
,,
,,0
,,
0
0
mn
mn
mn
b
a
当
当
当
例 9 ).
21(lim
222 n
n
nnn ????? ?求
解 是无穷小之和．时,??n
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
???????
????
??
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
?
?
?? )
11(
2
1l i m
nn ?? ??,2
1?
先变形再求极限,
lim
x??
30
1020
)12(
)23()32(
?
??
x
xx
30
1020
2
3?
1024
59049? ?
=
lim
x?? 12
43
?
??
x
xxx
2
1?
lim
n??
.,,1 ??? ????
?
? nnn
n
??
?
)1( ?? nn
n ?
?
1?
2 0 0 0
1?? 200019991 ???? ??
已知 2000 的值和求 ??
解 ?
lim
n?? ??
?
)1( ?? nn
n
?
? 2000
?
lim
n??
10
10
2
3 ?例 10
例 11
例 12
例 6.
= =
limn?? a b
a b
a b
n n
n n
? ??
?
? ?
1 1
0,( )
bbb
a
b
a
n
n
11
)(
1)(
1
?
?
?
求极限
解
limn???
?
? ??
nn
nn
ba
ba 11
?
?
★ 分子分母同除以最大项
1?
b
a
limn??
? limn?? 0)( ?nba
?
?
? ??
nn
nn
ba
ba 11lim
n?? b
例 13
lim
x??
[ ( )( ) ]x a x b x? ? ?
21 ???
lim
x?? xbxax
abxba
???
??
))((
)( )(
2
1 ba ?
求极限
解
lim
x??
[ ( )( ) ]x a x b x? ? ?
??
例 14
例 15,
s inlim
x
x
x ??
求
解,1,为无穷小时当 xx ??
.s i n 是有界函数而 x
.0s i nl i m ??
?? x
x
x
xxy sin?
例 16 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x ???
?
??
??? 求设
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ??,1?
)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 ?? xfx故
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
小 结
极限的四则运算法则及其推论 ;
极限求法 ;
在某个过程中，若 有极限，
无极限，那么 是否有极限？为
什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf ?
思
考
题
没有极限．
假设 有极限,)()( xgxf ? )( xf? 有极限，
由极限运算法则可知：
? ? )()()()( xfxgxfxg ??? 必有极限，
与已知矛盾,故假设错误．
思考题解答