第二节 初等函数
基本初等函数
复合函数、初等函数
双曲函数与反双曲函数
)( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
1 2xy?
xy?
xy 1?
xy?
1,幂函数
一、基本初等函数
)1,0( ??? aaay x
xay?xay )
1(?
)1( ?a
)1,0(?
xey?2.指数函数
)1,0(l o g ??? aaxy a xy ln?
xy alog?
xy
a1
log?
)1( ?a)0,1(?
3.对数函数
正弦函数
xy sin?
xy sin?
4,三角函数
xy cos?
xy cos?余弦函数
正切函数 xy tan?
xy tan?
xy cot?余切函数
xy cot?
正割函数 xy sec?
xy sec?
xy csc?余割函数
xy csc?
xy arcsi n? xy a r c s in?反正弦函数
5.反三角函数
xy arccos?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy arct an?
xy a r c t a n?反正切函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反
三角函数统称为 基本初等函数,
xy c o t?反余切函数 arc
xy co t?arc
,uy ?设,1 2xu ?? 21 xy ??
定义,
设函数 )( ufy ? 的定义域 fD,而函数
)( xu ?? 的值域为 ?Z,若 ??? ?ZD f,则称
函数 )]([ xfy ?? 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
1.复合函数
二、复合函数 初等函数
注意, 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数
的 ;,a r c s i n uy ?例如 ;2
2xu ? )2a rcs i n ( 2xy ??
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构
成,
,2c o t xy ?例如,uy ?,cot vu ?,2
xv?
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和
有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示
的函数,称为 初等函数,
2.初等函数
例 1 )].([
,
0,1
0,2)(,
1,
1,)(
2
xf
xx
xxx
xx
xexf x
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
??
求
设
解 ??
?
???
???? ?
1)(),(
1)(,)]([ )(
xx
xexf x
,1)(1 0 时当 ?? x
,0?x或,12)( ???? xx;20 ?? x,0?x或,11)( 2 ???? xx;1??x
,1)(2 0 时当 ?? x
,0?x或,12)( ???? xx;2?x,0?x或,11)( 2 ???? xx;01 ??? x
综上所述,
2,1
20
01
1
,
,2
,
)]([
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
??
?
?
?
?
xx
x
x
x
e
x
e
xf
x
x
?
2s i n h
xx eex ???双曲正弦 xy cosh?
xy sinh?),,(,????D
奇函数,
2c o s h
xx eex ???双曲余弦
),,(,????D
偶函数,
xey 21?
xey ?? 21
1.双曲函数
三、双曲函数与反双曲函数
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
c o s h
s i n ht a n h双曲正切
奇函数,),(,????D 有界函数,
双曲函数常用公式;s i nhco s hco s hs i nh)s i nh( yxyxyx ???;s i nhs i nhco s hco s h)co s h( yxyxyx ???;1s i n hc o s h 22 ?? xx;co s hs i nh22s i nh xxx ?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx ??
奇函数,
),(,????D
.),( 内单调增加在 ????;s i n h xy ?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2 ???
?
xx
xyar sinhar? xy
2.反双曲函数
.),1[ 内单调增加在 ??
),1[,??D
?y反双曲余弦 coshar
).1l n (
c o s h
2 ???
?
xx
xy ar
x coshar x?y
.11ln21 xx???
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在 ?
?y反双曲正切 tanhar xy ta n h?ar x tanhar x?y
函数的分类,
函
数
初
等
函
数
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代
数
函
数
超越函数
有
理
函
数
无理函数
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
小 结
下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy ?,
若能，写出其解析式、定义域、值域,
,)()1( uufy ?? 2)( xxxgu ???
,ln)()2( uufy ?? 1s i n)( ??? xxgu
思考题
2)]([)1( xxxgfy ???
},10|{ ???? xxDx ]21,0[)( ?Df
)2( 不能,01s i n)( ??? xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
思考题解答
基本初等函数
复合函数、初等函数
双曲函数与反双曲函数
)( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
1 2xy?
xy?
xy 1?
xy?
1,幂函数
一、基本初等函数
)1,0( ??? aaay x
xay?xay )
1(?
)1( ?a
)1,0(?
xey?2.指数函数
)1,0(l o g ??? aaxy a xy ln?
xy alog?
xy
a1
log?
)1( ?a)0,1(?
3.对数函数
正弦函数
xy sin?
xy sin?
4,三角函数
xy cos?
xy cos?余弦函数
正切函数 xy tan?
xy tan?
xy cot?余切函数
xy cot?
正割函数 xy sec?
xy sec?
xy csc?余割函数
xy csc?
xy arcsi n? xy a r c s in?反正弦函数
5.反三角函数
xy arccos?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy arct an?
xy a r c t a n?反正切函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反
三角函数统称为 基本初等函数,
xy c o t?反余切函数 arc
xy co t?arc
,uy ?设,1 2xu ?? 21 xy ??
定义,
设函数 )( ufy ? 的定义域 fD,而函数
)( xu ?? 的值域为 ?Z,若 ??? ?ZD f,则称
函数 )]([ xfy ?? 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
1.复合函数
二、复合函数 初等函数
注意, 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数
的 ;,a r c s i n uy ?例如 ;2
2xu ? )2a rcs i n ( 2xy ??
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构
成,
,2c o t xy ?例如,uy ?,cot vu ?,2
xv?
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和
有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示
的函数,称为 初等函数,
2.初等函数
例 1 )].([
,
0,1
0,2)(,
1,
1,)(
2
xf
xx
xxx
xx
xexf x
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
??
求
设
解 ??
?
???
???? ?
1)(),(
1)(,)]([ )(
xx
xexf x
,1)(1 0 时当 ?? x
,0?x或,12)( ???? xx;20 ?? x,0?x或,11)( 2 ???? xx;1??x
,1)(2 0 时当 ?? x
,0?x或,12)( ???? xx;2?x,0?x或,11)( 2 ???? xx;01 ??? x
综上所述,
2,1
20
01
1
,
,2
,
)]([
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
??
?
?
?
?
xx
x
x
x
e
x
e
xf
x
x
?
2s i n h
xx eex ???双曲正弦 xy cosh?
xy sinh?),,(,????D
奇函数,
2c o s h
xx eex ???双曲余弦
),,(,????D
偶函数,
xey 21?
xey ?? 21
1.双曲函数
三、双曲函数与反双曲函数
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
c o s h
s i n ht a n h双曲正切
奇函数,),(,????D 有界函数,
双曲函数常用公式;s i nhco s hco s hs i nh)s i nh( yxyxyx ???;s i nhs i nhco s hco s h)co s h( yxyxyx ???;1s i n hc o s h 22 ?? xx;co s hs i nh22s i nh xxx ?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx ??
奇函数,
),(,????D
.),( 内单调增加在 ????;s i n h xy ?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2 ???
?
xx
xyar sinhar? xy
2.反双曲函数
.),1[ 内单调增加在 ??
),1[,??D
?y反双曲余弦 coshar
).1l n (
c o s h
2 ???
?
xx
xy ar
x coshar x?y
.11ln21 xx???
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在 ?
?y反双曲正切 tanhar xy ta n h?ar x tanhar x?y
函数的分类,
函
数
初
等
函
数
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代
数
函
数
超越函数
有
理
函
数
无理函数
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
小 结
下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy ?,
若能，写出其解析式、定义域、值域,
,)()1( uufy ?? 2)( xxxgu ???
,ln)()2( uufy ?? 1s i n)( ??? xxgu
思考题
2)]([)1( xxxgfy ???
},10|{ ???? xxDx ]21,0[)( ?Df
)2( 不能,01s i n)( ??? xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
思考题解答
