教材：杨文茂 李全英
谈极限在一元微分学中的地位
极限中的主要关系
极限概念
极限的主要性质
极限的主要计算方法
创始人
牛顿
— 莱布尼兹
高等数学
的研究对象
函 数
高等数学
的研究方法
极限的方法
初等数学是用有限的方法研究常量的数学
高等数学是用极限的方法研究函数的数学
极限是高等数学区别初等数学的一个重要标志,
极限是初等数学向高等数学飞跃的天梯
极限的方法将贯穿高等数学的始终
绪
第一部分
谈极限在一元微分学中的地位
我们定性地研究了：
单调性
有界性
奇偶性
连续性
收敛性
周期性
可微性
凹凸性
渐近性
可展性
提示
单调性 ?????? )(0')(0' xfyxfy
有界性 )()()( 局部有界收敛 xfxf ?
奇偶性 奇偶偶奇 )(')()(')( xfxfxfxf ??
连续性 收敛连续 )()( xfxf ?
可微性
可微可导 )()( xfxf ?
)()(lim 0
0
xfxfxx ??
)(')()(lim 0
0
0
0
xfxx xfxfxx ????
可展性
)(! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2 nn
n
xoxnfxfxffxf ????????? ?
凹凸性 ?? )(0'')(0'' xfyxfy ????
渐近性
??
?
?
?
????
???
?
?
??
是水平渐进线
是水平渐进线
axxf
AyAxf
ax
x
)(l i m
)(l i m
我们定量地研究了：
定义域
极限值
极 值 曲 率
导 数
最 值
我们研究了一些重要的, 点,
零 点
间断点
连续点 极值点
尖 点
驻 点
拐 点
第二部分
极限概念
)(lim xf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
0
0
0
0
0
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
???
?
0
0)
0
0
?对
对
对
对
A
M
M
M
时
时
时
时
时
时
??
??
???
???????
???????
????????
??????
?????
?????
00
00
00
0
0
0
0
0
0
xxx
xxx
xxx
XxX
XxX
XxX
???
??
?
?
Axf
Mxf
Mxf
Mxf
)(
)(
)(
)(
有
有
有
有
第三部分
极限的主要性质
有界性
唯一性
保号性
有界收敛 )()( xfxf ?
唯一AAxfx ???? )(lim
符号一致与 AxfAxfx )()(lim ????
第四部分
极限中的主要关系
【 收敛与有界的关系 】
【 无穷大与无界的关系 】
)()()( 局部有界收敛 xfxf ?
【 收敛变量与其极限的关系 】
)()()(lim
0
xAxfAxfxx ??????
.)( 0 时的无穷小是其中 xxx ??
无界)()(lim xfxfx ?????
第
四
部
分
极
限
中
的
主
要
关
系
【 函数极限与数列极限的关系 】
)(lim)(lim naxax xfAxf
n ??
??
【 无穷大与无穷小的关系 】
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
【 单侧极限与双侧极限的关系 】
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
【 无穷小与无穷小的关系 】
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
)(~)(.....,.,..,.,..,.,..,.,1
)()(....),.,.,..,.1,0(
)()(....,.,..,.,..,.,..,.,
)()(.....,.,..,.,..,.,..,.,0
)(
)(
xx
xOxK
xox
xox
x
x
??
??
??
??
?
?
无穷小
无穷小
无穷小 +无穷小 =无穷小
无穷小－无穷小 =无穷小
无穷小 × 无穷小 =无穷小
有界量 × 无穷小 =无穷小
常 量 × 无穷小 =无穷小
【 极限符号与函数符号的关系 】
【 数列极限与其子列极限的关系 】
)lim()(lim xfxf axax ?? ?
axax
k
kn
nk
x
nn ????? ??? ??
?
??
limlim }{
【 收敛, 连续, 可导, 可微的关系 】
有
界
收
敛
连
续
可
导
连
续
可
导
二
阶
可
导
二
阶
连
续
可
导
三
阶
可
导
第五部分
极限的主要计算方法
一, 利用极限运算法则及连续性求极限
???? ?? ])c o s1(s i n ])(l n [ a r c c o s[lim
2
0
x
xx xxe
a r c t g xx
12ln ??
例 1
★ 直接代入二、利用初等代数公式求极限
n
n
24 2*...*2*2lim
??
例 2 22l i m 21...4121 ?? ??
??
n
n
★ 应用等比数列公式
))12)(12( 1...35115131(lim ??????
?? nnn
例 3
])12( 1)12( 1.,,,51313111[lim21 ????????
?? nnn 2
1?
)1),,,(1)(1)(1(lim 242 nxxxxn ??????
例 4
x
xxxxx n
n ?
??????
?? 1
)1),,, (1)(1)(1)(1(lim 242
x
x n
n ?
?? ?
?? 1
1lim 12
x?
?
1
1
1?x其中
nn
xxx
2c o s...4c o s2c o slim ??
例 5
n
n
nn
n
n x
xxxx
2
s i n2
2
s i n
2
c o s...
4
c o s
2
c o s2
l i m
??
?原式
??? nlim )2s i n2c o s...4c o s2c o s2( 111 ??? nnn
xxxx n2
n
x
2sin
= …,..
n
nn x
x
2
s i n2
s i n
lim
??
? x
x
x
x
n
nn
s i n
2
2
s i nlim ?
?
?
??
12s in2c o s2s in2 ?? kkk
xxx
1
1...
14
14
13
13
12
12lim
3
3
3
3
3
3
3
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?? n
n
n
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
??
??
?
??
?
?
kk
kk
k
k
k
k
1
1
1
1...
133
133
13
13
122
122
12
12l i m
2
2
2
2
2
2
??
??
?
?
??
??
?
?
??
??
?
??
?? nn
nn
n
n
n
1
1...
13
21
7
13
3
7
1
1...
6
4
5
3
4
2
3
1lim
2
2
??
???
?
??
?? nn
nn
n
n
n
3
1
)1(
21lim 2 ???
?
??
??
nn
nnn 32?
例 6
1
3
1 )1(
)1),,, (1)(1(l i m
?? ?
???
n
n
x x
xxx
x
x
x
x
x
x n
x ?
?
?
?
?
??
? 1
1......
1
)1(
1
)1(l i m 3
1 !
11...
4
1
3
1
2
1
nn ??
三、利用无穷小分出法求极限
重要结论 n
x
x n
x
???
? 1
1lim
1 m
n
x
x
m
n
x
???
? 1
1l i m
1
p
q
q
p
x
x
q
p
x
??
?
?
? /1
/1
1
1l i m
1
例 7
四、利用有理分式函数的极限求极限
规律
??xlim )(
)(
xQ
xP
m
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
mn
mn
b
a
mn
0
0
0
k
nm
x x
xx
)12(
)23()32(lim
?
??
??
例 8
例 9
12
lim
43
?
??
??? x
xxx
x 2
1
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
knm
knm
knm
k
nm
0
2
32
122
3lim
4
22
??
??
??? xx
xx
x 2
1
??
例 10
例 11 的值确定已知 ??
??
?
,,2001)1(lim ???
?? nn
n
n
...l i m 1 ???? ??? ???
?
? nnn
n
n
原式
因此,有
,20011?? 2 0 0 12 0 0 01 ???? ??
例 12 )0(,lim 11 ba
ba
ba
nn
nn
n
????
??
??
=
??nlim
bbb
a
b
a
n
n
11
)(
1)( 1
?
??
=b ★ 分子分母同除以最
大项
例 13 ]))(([lim xbxax
x ?????
=
??xlim
xbxax
abxba
???
??
))((
)( = )(
2
1 ba ?
五、利用无穷小的性质求极限
例 14 ]lns in)1ln ([ s inlim xx
x ????
=
??xlim 2
ln)1l n (s i n
2
ln)1l n (c o s2 xxxx ????
=
2
)11l n (
s i n
2
ln)1l n (c o s2 xxx ???
=
??xlim
x
xx 1
2
1
2
ln)1ln(c o s2 ???
??xlim
=0
★ 无穷小代换
★ 常量 × 有界量 × 无穷小 =0
例 15
nn
nn
n ??? 3
!s inlim =
??nlim
!s i n
3
n
nn
n
?
=0
★ 无穷小 × 有界量
0)0(')0( ?? ??设
x
x
x
x
1c o s)(
lim
0
?
?
求极限
xx
x
x
x
x
xx
1c o s)0()(l i m
1c o s)(
l i m
00
??? ??
??
0?
例 16
A
C
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
xo
B
D
第一重要极限
六, 利用两个重要极限求极限
重要极限的特征
型不定式为 "00"1
)0lim( (,) ?? ?x只要满足;1s inlim1 0 ?? ?
某过程
?
?? x
x
x
1s i nlim.4
0s i nlim.1 ?
?? x
x
x
??
2s i nl i m.2
2
?
? x
x
x
1
1
1
s i n
lim ?
??
x
x
x
1s i nlim.3
1
?
? x
x
x
11s i nl i m.5
0
?
? x
x
x
11 )1s i n (l i m.6
1
?? ?
? x
x
x
注意以下问题
重要推论
n
m
nx
mxk
x
kx
xx
??
??
s i nl ims i nl im
00
kxtg k x
x
?
? 0
lim
n
m
tg n x
tg m x
x
?
? 0
lim
n
m
nx
mxk
x
kx
xx
??
??
a r c s i nl ima r c s i nl im
00
n
m
nx
mxk
x
kx
xx
??
??
a r c t a nlima r c t a nlim
00
xx
xx
x s i n
s i nl i m
0 ?
?
?
解 0
s i n
1
s i n
1
lim
0
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
原式
例 17
x
xtg x
x 30 s in
s inlim ?
?
解
xx
x
x
x
x
x
xx c o ss i n
c o s1l i m
s i n
s i n
c o s
s i n
l i m 2
030
????
??
原式
x
xx
x
x
c o s
2
c o s
2
s i n4
2
s i n2
l i m
22
2
0?
?
2
1?
例 18
(2) ex
x
x
??
??
)11(l i m
en n
n
??
??
)11(lim,)11(l i m ex xx ??? ???
为某过程中的无穷小设 ?
.)1(l i m2
1
0 e??? ?
某过程
重要极限的特征
型"1'' ?
例 19
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
.....,....0
...
....,..
)(lim
ca
cae
ca
dcx
bax a
db
x
x
x
x
c
d
x
c
d
a
b
c
a
)]1([l i m
?
?
??
??
x
x c
a )(lim
???
?
c
d
x
x
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
x
c
d
x
c
d
a
b
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)1(
注意到,
??
?
?
?
?
?
??
?
???
ca
ca
ca
c
a x
x
....,.0
....,.1
....,.
)(lim
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ca
cae
ca
a
db
0
x
x c
a )(lim
???
?
c
d
x
x
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
x
c
d
x
c
d
a
b
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)1(
例如,
5
9
5
)7(2
2
2
2)
75
25(l i m)1( ee
x
x x
x
????
??
??
0)24 13(l i m)2( ????? xx xx
????
??
4)
1
87(lim)3(
4
4
x
x x
x
x
x x
x )
1
1(l i m)4(
4
4
?
?
??
4
4
)11(l i m 4
4
x
xx
x x
x ?
?? ?
??
01 )1(1 ???? e
=1
a
aa
x
x
eeax ax 31
)(2
)2(l i m)5( ????
??
??
eexx kx
x
???
?
?
??
1
01
4
4
4)1(lim)6(
例 20,)
2
3(lim 2 x
x x
x
?
?
??
求
解
422 )
2
11(])
2
11[(lim ??
?? ?
???? xx x
x
原式,
2e?
x
x x
c o t
0 )t a n1(lim ??
解：
?原式 etg x t g x
x
??
?
1
0
)1(l i m
例 21
求极限 ? ? xxxx
1
93lim ?
???例 22
? ? xxx
x
1
93lim ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??? 3
1
3
3
11lim9
99 0 ??? e
的简便算法"1'' ?
例 23
解
.l i m 1
1
1
x
x
x ?
?
求
)1( ?
x
x
xe ??? 1
lnlim
1原式
.1?? e
xxe ???
1lim
1
例 24 x
x x
2c s c
0 )(c o slim?
x
x
x 2s i n
1
0
)1c o s1(lim ???
? x
x
x
x
x 2s i n
1c o s
1c o s
1
0
)1c o s1(l i m
?
?
?
???
2
1?
? e
例 25
x
x
x
x
x
x
xe
e
x
1)1l n (1
l i m1
1
0
0])1([l i m
??
?
???求
x
x
x
xx
xx ee 2
1
1
1
l i m
)1l n (
l i m
020
?
???
?? ??
2
1
)1(2lim 0 ??
?
?? ? ee xx
x
x
xa rctg x ~ arctg□ ～ □
xe x ~1? ??? ~1e
xx ~)1l n ( ? ln(1+□ )～ □
2~c o s1
2x
x? 2~c o s1
2???
n
xxn ~11 ?? nn
???? ~11
2~11
xx ?? 2~11
????
七,无穷小代换法
0?x
xx ~sin sin □ ～ □
xtgx ~ tg x□ ～ □
xx ~a rcsin
arcsin□ ～ □ 常
用
的
等
价
无
穷
小
代换原则,
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m
*
*
*
*
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xg
xf ???
)](l n [)()( *l i m)](l i m [ xfxgxg exf ?
)(
)()(lim
)(
)()(lim **!!!
xh
xgxf
xh
xgxf ?? ???
x
a x
x
1l i m
0
?
? x
e ax
x
1lim ln
0
??
?
ax ax
x
lnlnl i m
0
??
?
★
xe x ~1?
?
?
? ?
?
? x
ee x
x
lim
a
axa
x
eaxee ?? ??
?
?
1)
a
(l i m原式解：
例 27
例 26 ]1[lim 1 ?
??
n
n
an
n
e
n
a
a
n
n
n
n 1
1
l i m
1
1
l i m
ln
11
?
?
?
?
????
a
n
a
n
n
ln
1
ln
1
l i m ??
??
例 28
xx
ee xx
x s in
lim
s i n
0 ?
?
?
xx
ee xxx
x s i n
)1(l i m s i ns i n
0 ?
?? ?
?
xx
xxe x
x s i n
)s i n(l i m s i n
0 ?
??
?
=1
★ xe x ~1?
xx
xxe x
x s i n
)s i n(l i m s i n
0 ?
??
?
=1
例 29
xx
ee xx
x ??
??
s ins in
lim
0 ?
?
?
2
)(s i n
2
)(c o s2
)1(
lim
)(
0 xx
ee xx
x ????
???
??
?
?
?
?
1
2
)(
2
)(c o s2
)(lim
0
?
??
??
? xx
xe x
x ????
???
例 30
2
3
0 )( a r c s in
c o sc o slim
x
xx
x
?
?
2
3
020
)11c o s1(lim11c o s1lim
x
x
x
x
xx
????????
??
2020
)1( c o s
3
1
l i m
)1( c o s
2
1
l i m
x
x
x
x
xx
?
?
?
?
??
12
1
6
1
4
1 ?????
n
n ???? ~11
2
2
02
2
0
)
2
1(
3
1
lim
)
2
1(
2
1
lim
x
x
x
x
xx
?
?
?
?
??
2~c o s1
2?
??
)c o s1(
c o s1lim
0 xx
x
x ?
?
?? )c o s1)(c o s1(
c o s1lim
0 xxx
x
x ??
??
??
2
1
)c o s1(
2
1
2
1
lim
2
0
?
??
?
??
xxx
x
x
例 31
例 32
xex
xex
x
x
x 2)ln (
)ln ( s inlim
22
2
0 ??
??
?
xx
xx
x eex
eex
222
2
0 ln)l n (
ln)l n ( s i nlim
??
???
?
)1l n (
)
s i n
1l n (
l i m
2
2
2
0
x
x
x
e
x
e
x
?
?
?
?
x
x
x ex
ex
22
2
0 /
/lim
?
? =1
★ xx ~)1ln ( ?
3
3
1 1a r c s i n
)11l n (l i m
?
??
? x
x
x
1
1
1l i m
3
3
1
?
?
??
? x
x
x
例 33
洛必达法则 型
00,1,0 ??
型???
型??0
型00
型??
g
fgf
1?? fg
fggf
11
11
?
??? 取对数
令 gfy ?
八、利用罗比达法则求极限
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 34
解
.t a nt a nlim 2
0 xx
xx
x
?
?
求
30
t a nl i m
x
xx
x
??
?
原式 2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
? 3 x
x
x
t a nl i m
0?
?
.31?
例 35
)0(lnli m0 ???? xxx ?求
解
??
?
? ????? ??? ??? xx
xxx
xxx
1l i mlnl i mlnl i m
000
0l i m
0
???
?? ?
?x
x
特别地 0lnlim
0
??
?
xx
x
请记住这两个结果
.1lim
0
??
?
x
x
x
??0limx xxe ln
=1
??0limx
??0limx xxsin
??0limx
xxe lnsin = xxe ln
=1
例 36 1
0
lim ?
? ?
xx
x
x求 )0(
0
xe
x
xx
x
x
x
xxxx eex ln)1(
0
ln)1(
0
1
0
lnlimlimlim ?
?
?
?
?
? ???
??
1
0
1
2
00
ln2l i mlnl i mlnlnl i m
??
?
??
??? ???? x
x
x
xxxx
xxx eee
10lnl i m2 0 ??? ??? ee xxx
例 37
解
.)( c o tlim ln x
x
x
1
0 ??
求 )( 0?
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
??
?
??
xx
x
x s i nco s
lim
0 ?
??
??,1??,1??? e原式
xx
e
c o tlnlnl i m
0x ???原式
.c o slim x xx
x
?
??
1
1 x
x
s i nlim ??
??
原式 ).s i n(l i m xx ?? ?? 1
极限不存在
洛必达法则失效！！！
)c o s(lim xx
x
11 ??
??
原式
.1?
注意,洛必达法则的使用条件．
例 38
xx
xxx
x 22
222
s in
c o ss inlim ?
? 0
xtgx
xxtg
x
1
2
22
0
??
?
l i m原式
3xx
xtg xxtg x
x *
))((l i m ???
?
x
xtg x
x
xtg x
xx
???
?? 0
limlim
★ 先分离出一部分
3
22 ????
?? 202
2
323
1
x
x
x
x
xx
lims e clim
★ 对其余部分使用罗必达法则
例 39
100
1
2
x
e x
x
?
?
lim
2
1
50
2
1
x
x
e
x
)(
l i m
?
? 050
1
2 ??? ???
???
?
yy
x
y
e
yl i m
★ 根据什么立得结果?例 40
xe
a rc tg xe
x
x
x ?
?
??
?
2
l i m
1
1
1
12
2
?
?
?
?
?
?? x
x
x e
x
e
?lim ★ 解法正确吗?
正确的解法是
xe
a r c tg xe
x
x
x ?
?
???
?
2
l i m 1
1
1
12
2
?
?
?
?
?
??? x
x
x e
x
e
?l i m
xe
a rc tg xe
x
x
x ?
?
???
?
2
l i m =0
★
???xlim
xe ??
???xlim
xe =0
原式无极限?
九,利用极限准则 (Ⅰ) 求极限
【 准则 1】 单调有界必有极限
例 41,已知, 2.,,,,,222,.,,,,222,22,2 ??????
证明数列极限存在
证, (一 ),2?1x,22 ??x
21 xx ?显然
而 12 ??? nn xx,...2,1?n?}{
nx故
(二 ) 22 ??x 24 ???? 222x
2??1nx设 242 1 ???? ?nn xx则
有界}{ nx
综上所述可知 ax
nn ???lim
存在
(三 ) 2
?? ???? nnnn xxxx 可得由 12
两边取极限得, aa ?? 22 2?a
2???? ax nnlim
例 42
已知,,11 ?x ??,
11 1
12
x
xx
???
1
1
11 ?
?
??? n
n
n x
xx
问
若不存在,说明理由,
nn x??lim
存在吗? 若存在,求出 n
n x??lim
十,利用极限准则 (Ⅱ) 求极限
【 准则 2】 两边夹定理
例 43 已知 ),...3,2,1(,0 nka
k ?? nnnnn aaa
1
21 ).,,(l i mn ????求
解, nn
n
nn
n aaax
1
21 ).,,( ???设 },.,,,m a x { 21 naaaA ?
则 nnA 1)( ? nx ? nnnA 1)(
1
1
?
??
nn
n
A )(lim
而
1
1
?
??
nn
n
nA )(l i m
所以 Aaaa nn
n
nn
n
???
??
1
21 )...(lim
n
n n
1...
3
1
2
11lim,????
??
求极限
11...312111 ??????? nn nn? 11...31211l i m ??????? ?? nn n
]2[lim
0 x
x
x ?
求极限
?
?
?
??
?
?
????
????
???
2]
2
[20
2]
2
[20
2
]
2
[1
2
x
xxx
x
xxx
xxx
?
2)2(l i m 0 ??? ? xx
由两边夹定理 2]2[lim
0
?
? x
x
x
例 44
例 45
)0lim()()(lim)(
00
0
??? ?????
?? xx
xfxfxf
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
导数定义的形式：
x
fxff
x
)0()(lim)0(
0
???
?
十一、利用导数定义求极限
1?
?? ???
? n
ax
n
nn
ax
naxax ax )'(lim
例 46
axax ax axax c o s)'( s i ns ins inl im ???? ??
axax ax ax
ax
s in)'( c o sc o sc o slim ????? ?
?
axax ax ax
ax
2s e c)'( t a nt a nt a nlim ??
?
?
??
axax ax ax
ax
2c s c)'( c o tc o tc o tl im ???
?
?
??
axax
ax
axax
1)'( l nlnlnlim ??
?
?
??
aaaax aa aaxx
ax
ax
ln)'(lim ???? ?
?
例 47
)1(
)1()]1(1[l i m
1 x
fxf
x ??
???
?
)1(f ???
例 48
.)(,)0(
,
)1( c o s
lim
0
是奇函数存在其中
求极限
xff
xt g x
xf
x
?
?
?
原式 =
x tg x
x
x
fxf
x
1c o s
1c o s
)0()]1( c o s0[l i m
0
??
?
???
?
★ 0)0( ?f
2
2
0
2
1c o s
)0()]1( c o s0[lim
x
x
x
fxf
x
?
?
?
????
? 2
)0(f ??
★ 这里作了什么?
例 49 1 1lnlnlim1 ??? xxx 1)( l n 1 ??? ?xx
例 50
4
4lim
4
?
?
?
?
?
? x
ar c tgar c tgx
x
4
)( ???? xa rc tg x 2)
4
(1
1
???
例 51 xdyy
x ?
??
?? 0
lim 0)(l i m
0
????
?? x
xo
x
十二、利用 Taylor展开式求极限
例 52
4
2
0
2
c o slim
x
ex
x
x
?
?
? ★ 此例的特点是什么?
4
4
42
4
42
0
242
1
42
1
x
xo
xx
xo
xx
x
))(
!
()(
!!lim
?
?
??????
?
?
原式
4
1
24
1
4
1 ??
??? ? ]
)()
!![(l i m x
xo
x
4
0
十二、利用微分中值定理求极限
例 53
xxx
ee xt g x
x c o ss i n
lim ? ?
?
L_公式,
)) ] (([)()( ababafafbf ?????? ?
1?? ??
??
? )(c o s
)(lim ))((
0x xt g xx
xt g xe xt g xt g x ?原式
定理上应用在区间对 -Lx][ t g x,e x
十三、利用数列极限与函数极限的关系求极限
例 54 )1(lim ?
??
n
n nn
2
1
1
1lim
????
??
x
x x
x
2
1
ln
1
lim
????
?
?
x
e x
x
x
0lnl i m ??
??? x
x
x
2)1(s inlim n
n n
n
??
2)]11s i n(1[lim x
x x
x ???
???
例 55
)11s i n(l i m 2 ?
???? x
xx
xe
30
si nlim
y
yy
ye
?
???
2
0 3
1c o slim
y
y
ye
?
??? 2
2
0 3
2
1
lim
y
y
ye
?
??
?
6
1?
? e
例 56 nnn
n
e
1
2 )74(lim ??
?? x
e
x
xx
e
)74l n ( 2
lim
??
???
?
注意到,
x
e xx
x
)74ln(l i m 2 ???
??? xx
xx
x e 74
7ln74ln4lim
2 ??
??
???
1
7
4
7
7ln4ln)
7
4
(
l i m
2
??
?
?
???
x
x
x
x
x e
7ln?
所以
nnn
n
e
1
2 )74(lim ??
??
77ln ?? e
例 57,已知 ??x 时,
),11(12 ???? xocbxax
取何值?cba,,
由题可知, 0
1
1
1
lim
2
?
?
??
??
x
cbxax
x
而,
1
1
1
l i m
2
?
??
??
x
cbxax
x
01lim 2 ??? ??
?? cbxax
x
x
所以 cba,1,0 ?? 任意
十四, 极限中常数的确定
解 因为
Axxx cx ??????? ])27[(lim 45
所以
0/])27[(l im 45 ??????? xxxx cx
即
???xlim
1)27(
45
??? xxx
c 于是
5
1,15 ?? cc
???xlim
])27[( 45 xxx c ???
0lim?? y y
yy 12715 5 ???
0lim?y y
yy )27(
5
1 2?
5
7?
例 58
求 cA,的值
存在已知 Axxx cx ??????? ])27[(lim 45
59例 型的连续性与间断点的类讨论 x
x
xxf
n
n
n 2
2
1
1lim)(
?
??
??
解 的表达式先求 )( xf
xxxxf n
n
n 2
2
1
1l i m)(
?
??
?? ?
?
?
?
?
??
?
?
?
1
10
1
xx
x
xx
:图示
x
y
1? 1
xxf ?)( xxf ??)(
xxf ??)( 00
1)01( ???f
1)01( ????f
1)01( ??f
1)01( ???f
均为跳跃间断点和 11 ??? xx
)0()l n (lim)( ???
??
xn xexf
nn
n
的连续性讨论
n
e
x
e n
n
n
n
)1l n (ln
lim
??
?
??
原式
n
e
x
n
n
n ??
?? l i m1
1lim1 ???
?? n
n
n ne
x
时当 ex ??0
06例
时当 ex?
n
x
e
x n
n
n
n
)1l n (ln
lim
??
?
??
原式
n
x
e
x
n
n
n ??
?? l i mln
xnxex n
n
n
lnl i mln ???
??
?
?
?
?
???
exx
exxf
ln
01)(
)()0()0( efefef ????显然
),()( 0 ?????? Cxf
渐近线求设 )(
a r c t a n)1(
)32()(
2
1
2
xf
xx
exxxfy x
?
????
x
e
x
xx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n1
32lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
2
2
2
1
2
?
???
?
??
?????? ?
2?
x
e
x
xx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n1
32lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
2
2
2
1
2
?
???
?
??
??????
?
2??
的渐近线为故 )(2 xfy ???
61例
渐近线求设 )(
a r c t a n)1(
)32()(
2
1
2
xf
xx
exxxfy x
?
????
xxx
exx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n)1)(1(
)1)(3(lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
12
1
2
1 ??
???
?
??
????
?? e
e 8
4
2
?
?
?
??
??
???
?
??
?? xxx
exx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n)1)(1(
)1)(3(lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
12
1
2
1
例 62
???
?
??
??? x
e
xx
exx x
x
x
x a r c t a n
3l i m
a r c t a n)1(
)32(l i m
1
02
1
2
1
都是垂直渐近线1,0 ??? xx
谈极限在一元微分学中的地位
极限中的主要关系
极限概念
极限的主要性质
极限的主要计算方法
创始人
牛顿
— 莱布尼兹
高等数学
的研究对象
函 数
高等数学
的研究方法
极限的方法
初等数学是用有限的方法研究常量的数学
高等数学是用极限的方法研究函数的数学
极限是高等数学区别初等数学的一个重要标志,
极限是初等数学向高等数学飞跃的天梯
极限的方法将贯穿高等数学的始终
绪
第一部分
谈极限在一元微分学中的地位
我们定性地研究了：
单调性
有界性
奇偶性
连续性
收敛性
周期性
可微性
凹凸性
渐近性
可展性
提示
单调性 ?????? )(0')(0' xfyxfy
有界性 )()()( 局部有界收敛 xfxf ?
奇偶性 奇偶偶奇 )(')()(')( xfxfxfxf ??
连续性 收敛连续 )()( xfxf ?
可微性
可微可导 )()( xfxf ?
)()(lim 0
0
xfxfxx ??
)(')()(lim 0
0
0
0
xfxx xfxfxx ????
可展性
)(! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2 nn
n
xoxnfxfxffxf ????????? ?
凹凸性 ?? )(0'')(0'' xfyxfy ????
渐近性
??
?
?
?
????
???
?
?
??
是水平渐进线
是水平渐进线
axxf
AyAxf
ax
x
)(l i m
)(l i m
我们定量地研究了：
定义域
极限值
极 值 曲 率
导 数
最 值
我们研究了一些重要的, 点,
零 点
间断点
连续点 极值点
尖 点
驻 点
拐 点
第二部分
极限概念
)(lim xf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
0
0
0
0
0
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
???
?
0
0)
0
0
?对
对
对
对
A
M
M
M
时
时
时
时
时
时
??
??
???
???????
???????
????????
??????
?????
?????
00
00
00
0
0
0
0
0
0
xxx
xxx
xxx
XxX
XxX
XxX
???
??
?
?
Axf
Mxf
Mxf
Mxf
)(
)(
)(
)(
有
有
有
有
第三部分
极限的主要性质
有界性
唯一性
保号性
有界收敛 )()( xfxf ?
唯一AAxfx ???? )(lim
符号一致与 AxfAxfx )()(lim ????
第四部分
极限中的主要关系
【 收敛与有界的关系 】
【 无穷大与无界的关系 】
)()()( 局部有界收敛 xfxf ?
【 收敛变量与其极限的关系 】
)()()(lim
0
xAxfAxfxx ??????
.)( 0 时的无穷小是其中 xxx ??
无界)()(lim xfxfx ?????
第
四
部
分
极
限
中
的
主
要
关
系
【 函数极限与数列极限的关系 】
)(lim)(lim naxax xfAxf
n ??
??
【 无穷大与无穷小的关系 】
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
【 单侧极限与双侧极限的关系 】
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
【 无穷小与无穷小的关系 】
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
)(~)(.....,.,..,.,..,.,..,.,1
)()(....),.,.,..,.1,0(
)()(....,.,..,.,..,.,..,.,
)()(.....,.,..,.,..,.,..,.,0
)(
)(
xx
xOxK
xox
xox
x
x
??
??
??
??
?
?
无穷小
无穷小
无穷小 +无穷小 =无穷小
无穷小－无穷小 =无穷小
无穷小 × 无穷小 =无穷小
有界量 × 无穷小 =无穷小
常 量 × 无穷小 =无穷小
【 极限符号与函数符号的关系 】
【 数列极限与其子列极限的关系 】
)lim()(lim xfxf axax ?? ?
axax
k
kn
nk
x
nn ????? ??? ??
?
??
limlim }{
【 收敛, 连续, 可导, 可微的关系 】
有
界
收
敛
连
续
可
导
连
续
可
导
二
阶
可
导
二
阶
连
续
可
导
三
阶
可
导
第五部分
极限的主要计算方法
一, 利用极限运算法则及连续性求极限
???? ?? ])c o s1(s i n ])(l n [ a r c c o s[lim
2
0
x
xx xxe
a r c t g xx
12ln ??
例 1
★ 直接代入二、利用初等代数公式求极限
n
n
24 2*...*2*2lim
??
例 2 22l i m 21...4121 ?? ??
??
n
n
★ 应用等比数列公式
))12)(12( 1...35115131(lim ??????
?? nnn
例 3
])12( 1)12( 1.,,,51313111[lim21 ????????
?? nnn 2
1?
)1),,,(1)(1)(1(lim 242 nxxxxn ??????
例 4
x
xxxxx n
n ?
??????
?? 1
)1),,, (1)(1)(1)(1(lim 242
x
x n
n ?
?? ?
?? 1
1lim 12
x?
?
1
1
1?x其中
nn
xxx
2c o s...4c o s2c o slim ??
例 5
n
n
nn
n
n x
xxxx
2
s i n2
2
s i n
2
c o s...
4
c o s
2
c o s2
l i m
??
?原式
??? nlim )2s i n2c o s...4c o s2c o s2( 111 ??? nnn
xxxx n2
n
x
2sin
= …,..
n
nn x
x
2
s i n2
s i n
lim
??
? x
x
x
x
n
nn
s i n
2
2
s i nlim ?
?
?
??
12s in2c o s2s in2 ?? kkk
xxx
1
1...
14
14
13
13
12
12lim
3
3
3
3
3
3
3
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?? n
n
n
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
??
??
?
??
?
?
kk
kk
k
k
k
k
1
1
1
1...
133
133
13
13
122
122
12
12l i m
2
2
2
2
2
2
??
??
?
?
??
??
?
?
??
??
?
??
?? nn
nn
n
n
n
1
1...
13
21
7
13
3
7
1
1...
6
4
5
3
4
2
3
1lim
2
2
??
???
?
??
?? nn
nn
n
n
n
3
1
)1(
21lim 2 ???
?
??
??
nn
nnn 32?
例 6
1
3
1 )1(
)1),,, (1)(1(l i m
?? ?
???
n
n
x x
xxx
x
x
x
x
x
x n
x ?
?
?
?
?
??
? 1
1......
1
)1(
1
)1(l i m 3
1 !
11...
4
1
3
1
2
1
nn ??
三、利用无穷小分出法求极限
重要结论 n
x
x n
x
???
? 1
1lim
1 m
n
x
x
m
n
x
???
? 1
1l i m
1
p
q
q
p
x
x
q
p
x
??
?
?
? /1
/1
1
1l i m
1
例 7
四、利用有理分式函数的极限求极限
规律
??xlim )(
)(
xQ
xP
m
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
mn
mn
b
a
mn
0
0
0
k
nm
x x
xx
)12(
)23()32(lim
?
??
??
例 8
例 9
12
lim
43
?
??
??? x
xxx
x 2
1
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
knm
knm
knm
k
nm
0
2
32
122
3lim
4
22
??
??
??? xx
xx
x 2
1
??
例 10
例 11 的值确定已知 ??
??
?
,,2001)1(lim ???
?? nn
n
n
...l i m 1 ???? ??? ???
?
? nnn
n
n
原式
因此,有
,20011?? 2 0 0 12 0 0 01 ???? ??
例 12 )0(,lim 11 ba
ba
ba
nn
nn
n
????
??
??
=
??nlim
bbb
a
b
a
n
n
11
)(
1)( 1
?
??
=b ★ 分子分母同除以最
大项
例 13 ]))(([lim xbxax
x ?????
=
??xlim
xbxax
abxba
???
??
))((
)( = )(
2
1 ba ?
五、利用无穷小的性质求极限
例 14 ]lns in)1ln ([ s inlim xx
x ????
=
??xlim 2
ln)1l n (s i n
2
ln)1l n (c o s2 xxxx ????
=
2
)11l n (
s i n
2
ln)1l n (c o s2 xxx ???
=
??xlim
x
xx 1
2
1
2
ln)1ln(c o s2 ???
??xlim
=0
★ 无穷小代换
★ 常量 × 有界量 × 无穷小 =0
例 15
nn
nn
n ??? 3
!s inlim =
??nlim
!s i n
3
n
nn
n
?
=0
★ 无穷小 × 有界量
0)0(')0( ?? ??设
x
x
x
x
1c o s)(
lim
0
?
?
求极限
xx
x
x
x
x
xx
1c o s)0()(l i m
1c o s)(
l i m
00
??? ??
??
0?
例 16
A
C
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
xo
B
D
第一重要极限
六, 利用两个重要极限求极限
重要极限的特征
型不定式为 "00"1
)0lim( (,) ?? ?x只要满足;1s inlim1 0 ?? ?
某过程
?
?? x
x
x
1s i nlim.4
0s i nlim.1 ?
?? x
x
x
??
2s i nl i m.2
2
?
? x
x
x
1
1
1
s i n
lim ?
??
x
x
x
1s i nlim.3
1
?
? x
x
x
11s i nl i m.5
0
?
? x
x
x
11 )1s i n (l i m.6
1
?? ?
? x
x
x
注意以下问题
重要推论
n
m
nx
mxk
x
kx
xx
??
??
s i nl ims i nl im
00
kxtg k x
x
?
? 0
lim
n
m
tg n x
tg m x
x
?
? 0
lim
n
m
nx
mxk
x
kx
xx
??
??
a r c s i nl ima r c s i nl im
00
n
m
nx
mxk
x
kx
xx
??
??
a r c t a nlima r c t a nlim
00
xx
xx
x s i n
s i nl i m
0 ?
?
?
解 0
s i n
1
s i n
1
lim
0
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
原式
例 17
x
xtg x
x 30 s in
s inlim ?
?
解
xx
x
x
x
x
x
xx c o ss i n
c o s1l i m
s i n
s i n
c o s
s i n
l i m 2
030
????
??
原式
x
xx
x
x
c o s
2
c o s
2
s i n4
2
s i n2
l i m
22
2
0?
?
2
1?
例 18
(2) ex
x
x
??
??
)11(l i m
en n
n
??
??
)11(lim,)11(l i m ex xx ??? ???
为某过程中的无穷小设 ?
.)1(l i m2
1
0 e??? ?
某过程
重要极限的特征
型"1'' ?
例 19
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
.....,....0
...
....,..
)(lim
ca
cae
ca
dcx
bax a
db
x
x
x
x
c
d
x
c
d
a
b
c
a
)]1([l i m
?
?
??
??
x
x c
a )(lim
???
?
c
d
x
x
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
x
c
d
x
c
d
a
b
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)1(
注意到,
??
?
?
?
?
?
??
?
???
ca
ca
ca
c
a x
x
....,.0
....,.1
....,.
)(lim
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ca
cae
ca
a
db
0
x
x c
a )(lim
???
?
c
d
x
x
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
x
c
d
x
c
d
a
b
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)1(
例如,
5
9
5
)7(2
2
2
2)
75
25(l i m)1( ee
x
x x
x
????
??
??
0)24 13(l i m)2( ????? xx xx
????
??
4)
1
87(lim)3(
4
4
x
x x
x
x
x x
x )
1
1(l i m)4(
4
4
?
?
??
4
4
)11(l i m 4
4
x
xx
x x
x ?
?? ?
??
01 )1(1 ???? e
=1
a
aa
x
x
eeax ax 31
)(2
)2(l i m)5( ????
??
??
eexx kx
x
???
?
?
??
1
01
4
4
4)1(lim)6(
例 20,)
2
3(lim 2 x
x x
x
?
?
??
求
解
422 )
2
11(])
2
11[(lim ??
?? ?
???? xx x
x
原式,
2e?
x
x x
c o t
0 )t a n1(lim ??
解：
?原式 etg x t g x
x
??
?
1
0
)1(l i m
例 21
求极限 ? ? xxxx
1
93lim ?
???例 22
? ? xxx
x
1
93lim ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??? 3
1
3
3
11lim9
99 0 ??? e
的简便算法"1'' ?
例 23
解
.l i m 1
1
1
x
x
x ?
?
求
)1( ?
x
x
xe ??? 1
lnlim
1原式
.1?? e
xxe ???
1lim
1
例 24 x
x x
2c s c
0 )(c o slim?
x
x
x 2s i n
1
0
)1c o s1(lim ???
? x
x
x
x
x 2s i n
1c o s
1c o s
1
0
)1c o s1(l i m
?
?
?
???
2
1?
? e
例 25
x
x
x
x
x
x
xe
e
x
1)1l n (1
l i m1
1
0
0])1([l i m
??
?
???求
x
x
x
xx
xx ee 2
1
1
1
l i m
)1l n (
l i m
020
?
???
?? ??
2
1
)1(2lim 0 ??
?
?? ? ee xx
x
x
xa rctg x ~ arctg□ ～ □
xe x ~1? ??? ~1e
xx ~)1l n ( ? ln(1+□ )～ □
2~c o s1
2x
x? 2~c o s1
2???
n
xxn ~11 ?? nn
???? ~11
2~11
xx ?? 2~11
????
七,无穷小代换法
0?x
xx ~sin sin □ ～ □
xtgx ~ tg x□ ～ □
xx ~a rcsin
arcsin□ ～ □ 常
用
的
等
价
无
穷
小
代换原则,
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m
)(
)(l i m
*
*
*
*
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xg
xf ???
)](l n [)()( *l i m)](l i m [ xfxgxg exf ?
)(
)()(lim
)(
)()(lim **!!!
xh
xgxf
xh
xgxf ?? ???
x
a x
x
1l i m
0
?
? x
e ax
x
1lim ln
0
??
?
ax ax
x
lnlnl i m
0
??
?
★
xe x ~1?
?
?
? ?
?
? x
ee x
x
lim
a
axa
x
eaxee ?? ??
?
?
1)
a
(l i m原式解：
例 27
例 26 ]1[lim 1 ?
??
n
n
an
n
e
n
a
a
n
n
n
n 1
1
l i m
1
1
l i m
ln
11
?
?
?
?
????
a
n
a
n
n
ln
1
ln
1
l i m ??
??
例 28
xx
ee xx
x s in
lim
s i n
0 ?
?
?
xx
ee xxx
x s i n
)1(l i m s i ns i n
0 ?
?? ?
?
xx
xxe x
x s i n
)s i n(l i m s i n
0 ?
??
?
=1
★ xe x ~1?
xx
xxe x
x s i n
)s i n(l i m s i n
0 ?
??
?
=1
例 29
xx
ee xx
x ??
??
s ins in
lim
0 ?
?
?
2
)(s i n
2
)(c o s2
)1(
lim
)(
0 xx
ee xx
x ????
???
??
?
?
?
?
1
2
)(
2
)(c o s2
)(lim
0
?
??
??
? xx
xe x
x ????
???
例 30
2
3
0 )( a r c s in
c o sc o slim
x
xx
x
?
?
2
3
020
)11c o s1(lim11c o s1lim
x
x
x
x
xx
????????
??
2020
)1( c o s
3
1
l i m
)1( c o s
2
1
l i m
x
x
x
x
xx
?
?
?
?
??
12
1
6
1
4
1 ?????
n
n ???? ~11
2
2
02
2
0
)
2
1(
3
1
lim
)
2
1(
2
1
lim
x
x
x
x
xx
?
?
?
?
??
2~c o s1
2?
??
)c o s1(
c o s1lim
0 xx
x
x ?
?
?? )c o s1)(c o s1(
c o s1lim
0 xxx
x
x ??
??
??
2
1
)c o s1(
2
1
2
1
lim
2
0
?
??
?
??
xxx
x
x
例 31
例 32
xex
xex
x
x
x 2)ln (
)ln ( s inlim
22
2
0 ??
??
?
xx
xx
x eex
eex
222
2
0 ln)l n (
ln)l n ( s i nlim
??
???
?
)1l n (
)
s i n
1l n (
l i m
2
2
2
0
x
x
x
e
x
e
x
?
?
?
?
x
x
x ex
ex
22
2
0 /
/lim
?
? =1
★ xx ~)1ln ( ?
3
3
1 1a r c s i n
)11l n (l i m
?
??
? x
x
x
1
1
1l i m
3
3
1
?
?
??
? x
x
x
例 33
洛必达法则 型
00,1,0 ??
型???
型??0
型00
型??
g
fgf
1?? fg
fggf
11
11
?
??? 取对数
令 gfy ?
八、利用罗比达法则求极限
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 34
解
.t a nt a nlim 2
0 xx
xx
x
?
?
求
30
t a nl i m
x
xx
x
??
?
原式 2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
? 3 x
x
x
t a nl i m
0?
?
.31?
例 35
)0(lnli m0 ???? xxx ?求
解
??
?
? ????? ??? ??? xx
xxx
xxx
1l i mlnl i mlnl i m
000
0l i m
0
???
?? ?
?x
x
特别地 0lnlim
0
??
?
xx
x
请记住这两个结果
.1lim
0
??
?
x
x
x
??0limx xxe ln
=1
??0limx
??0limx xxsin
??0limx
xxe lnsin = xxe ln
=1
例 36 1
0
lim ?
? ?
xx
x
x求 )0(
0
xe
x
xx
x
x
x
xxxx eex ln)1(
0
ln)1(
0
1
0
lnlimlimlim ?
?
?
?
?
? ???
??
1
0
1
2
00
ln2l i mlnl i mlnlnl i m
??
?
??
??? ???? x
x
x
xxxx
xxx eee
10lnl i m2 0 ??? ??? ee xxx
例 37
解
.)( c o tlim ln x
x
x
1
0 ??
求 )( 0?
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
??
?
??
xx
x
x s i nco s
lim
0 ?
??
??,1??,1??? e原式
xx
e
c o tlnlnl i m
0x ???原式
.c o slim x xx
x
?
??
1
1 x
x
s i nlim ??
??
原式 ).s i n(l i m xx ?? ?? 1
极限不存在
洛必达法则失效！！！
)c o s(lim xx
x
11 ??
??
原式
.1?
注意,洛必达法则的使用条件．
例 38
xx
xxx
x 22
222
s in
c o ss inlim ?
? 0
xtgx
xxtg
x
1
2
22
0
??
?
l i m原式
3xx
xtg xxtg x
x *
))((l i m ???
?
x
xtg x
x
xtg x
xx
???
?? 0
limlim
★ 先分离出一部分
3
22 ????
?? 202
2
323
1
x
x
x
x
xx
lims e clim
★ 对其余部分使用罗必达法则
例 39
100
1
2
x
e x
x
?
?
lim
2
1
50
2
1
x
x
e
x
)(
l i m
?
? 050
1
2 ??? ???
???
?
yy
x
y
e
yl i m
★ 根据什么立得结果?例 40
xe
a rc tg xe
x
x
x ?
?
??
?
2
l i m
1
1
1
12
2
?
?
?
?
?
?? x
x
x e
x
e
?lim ★ 解法正确吗?
正确的解法是
xe
a r c tg xe
x
x
x ?
?
???
?
2
l i m 1
1
1
12
2
?
?
?
?
?
??? x
x
x e
x
e
?l i m
xe
a rc tg xe
x
x
x ?
?
???
?
2
l i m =0
★
???xlim
xe ??
???xlim
xe =0
原式无极限?
九,利用极限准则 (Ⅰ) 求极限
【 准则 1】 单调有界必有极限
例 41,已知, 2.,,,,,222,.,,,,222,22,2 ??????
证明数列极限存在
证, (一 ),2?1x,22 ??x
21 xx ?显然
而 12 ??? nn xx,...2,1?n?}{
nx故
(二 ) 22 ??x 24 ???? 222x
2??1nx设 242 1 ???? ?nn xx则
有界}{ nx
综上所述可知 ax
nn ???lim
存在
(三 ) 2
?? ???? nnnn xxxx 可得由 12
两边取极限得, aa ?? 22 2?a
2???? ax nnlim
例 42
已知,,11 ?x ??,
11 1
12
x
xx
???
1
1
11 ?
?
??? n
n
n x
xx
问
若不存在,说明理由,
nn x??lim
存在吗? 若存在,求出 n
n x??lim
十,利用极限准则 (Ⅱ) 求极限
【 准则 2】 两边夹定理
例 43 已知 ),...3,2,1(,0 nka
k ?? nnnnn aaa
1
21 ).,,(l i mn ????求
解, nn
n
nn
n aaax
1
21 ).,,( ???设 },.,,,m a x { 21 naaaA ?
则 nnA 1)( ? nx ? nnnA 1)(
1
1
?
??
nn
n
A )(lim
而
1
1
?
??
nn
n
nA )(l i m
所以 Aaaa nn
n
nn
n
???
??
1
21 )...(lim
n
n n
1...
3
1
2
11lim,????
??
求极限
11...312111 ??????? nn nn? 11...31211l i m ??????? ?? nn n
]2[lim
0 x
x
x ?
求极限
?
?
?
??
?
?
????
????
???
2]
2
[20
2]
2
[20
2
]
2
[1
2
x
xxx
x
xxx
xxx
?
2)2(l i m 0 ??? ? xx
由两边夹定理 2]2[lim
0
?
? x
x
x
例 44
例 45
)0lim()()(lim)(
00
0
??? ?????
?? xx
xfxfxf
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
导数定义的形式：
x
fxff
x
)0()(lim)0(
0
???
?
十一、利用导数定义求极限
1?
?? ???
? n
ax
n
nn
ax
naxax ax )'(lim
例 46
axax ax axax c o s)'( s i ns ins inl im ???? ??
axax ax ax
ax
s in)'( c o sc o sc o slim ????? ?
?
axax ax ax
ax
2s e c)'( t a nt a nt a nlim ??
?
?
??
axax ax ax
ax
2c s c)'( c o tc o tc o tl im ???
?
?
??
axax
ax
axax
1)'( l nlnlnlim ??
?
?
??
aaaax aa aaxx
ax
ax
ln)'(lim ???? ?
?
例 47
)1(
)1()]1(1[l i m
1 x
fxf
x ??
???
?
)1(f ???
例 48
.)(,)0(
,
)1( c o s
lim
0
是奇函数存在其中
求极限
xff
xt g x
xf
x
?
?
?
原式 =
x tg x
x
x
fxf
x
1c o s
1c o s
)0()]1( c o s0[l i m
0
??
?
???
?
★ 0)0( ?f
2
2
0
2
1c o s
)0()]1( c o s0[lim
x
x
x
fxf
x
?
?
?
????
? 2
)0(f ??
★ 这里作了什么?
例 49 1 1lnlnlim1 ??? xxx 1)( l n 1 ??? ?xx
例 50
4
4lim
4
?
?
?
?
?
? x
ar c tgar c tgx
x
4
)( ???? xa rc tg x 2)
4
(1
1
???
例 51 xdyy
x ?
??
?? 0
lim 0)(l i m
0
????
?? x
xo
x
十二、利用 Taylor展开式求极限
例 52
4
2
0
2
c o slim
x
ex
x
x
?
?
? ★ 此例的特点是什么?
4
4
42
4
42
0
242
1
42
1
x
xo
xx
xo
xx
x
))(
!
()(
!!lim
?
?
??????
?
?
原式
4
1
24
1
4
1 ??
??? ? ]
)()
!![(l i m x
xo
x
4
0
十二、利用微分中值定理求极限
例 53
xxx
ee xt g x
x c o ss i n
lim ? ?
?
L_公式,
)) ] (([)()( ababafafbf ?????? ?
1?? ??
??
? )(c o s
)(lim ))((
0x xt g xx
xt g xe xt g xt g x ?原式
定理上应用在区间对 -Lx][ t g x,e x
十三、利用数列极限与函数极限的关系求极限
例 54 )1(lim ?
??
n
n nn
2
1
1
1lim
????
??
x
x x
x
2
1
ln
1
lim
????
?
?
x
e x
x
x
0lnl i m ??
??? x
x
x
2)1(s inlim n
n n
n
??
2)]11s i n(1[lim x
x x
x ???
???
例 55
)11s i n(l i m 2 ?
???? x
xx
xe
30
si nlim
y
yy
ye
?
???
2
0 3
1c o slim
y
y
ye
?
??? 2
2
0 3
2
1
lim
y
y
ye
?
??
?
6
1?
? e
例 56 nnn
n
e
1
2 )74(lim ??
?? x
e
x
xx
e
)74l n ( 2
lim
??
???
?
注意到,
x
e xx
x
)74ln(l i m 2 ???
??? xx
xx
x e 74
7ln74ln4lim
2 ??
??
???
1
7
4
7
7ln4ln)
7
4
(
l i m
2
??
?
?
???
x
x
x
x
x e
7ln?
所以
nnn
n
e
1
2 )74(lim ??
??
77ln ?? e
例 57,已知 ??x 时,
),11(12 ???? xocbxax
取何值?cba,,
由题可知, 0
1
1
1
lim
2
?
?
??
??
x
cbxax
x
而,
1
1
1
l i m
2
?
??
??
x
cbxax
x
01lim 2 ??? ??
?? cbxax
x
x
所以 cba,1,0 ?? 任意
十四, 极限中常数的确定
解 因为
Axxx cx ??????? ])27[(lim 45
所以
0/])27[(l im 45 ??????? xxxx cx
即
???xlim
1)27(
45
??? xxx
c 于是
5
1,15 ?? cc
???xlim
])27[( 45 xxx c ???
0lim?? y y
yy 12715 5 ???
0lim?y y
yy )27(
5
1 2?
5
7?
例 58
求 cA,的值
存在已知 Axxx cx ??????? ])27[(lim 45
59例 型的连续性与间断点的类讨论 x
x
xxf
n
n
n 2
2
1
1lim)(
?
??
??
解 的表达式先求 )( xf
xxxxf n
n
n 2
2
1
1l i m)(
?
??
?? ?
?
?
?
?
??
?
?
?
1
10
1
xx
x
xx
:图示
x
y
1? 1
xxf ?)( xxf ??)(
xxf ??)( 00
1)01( ???f
1)01( ????f
1)01( ??f
1)01( ???f
均为跳跃间断点和 11 ??? xx
)0()l n (lim)( ???
??
xn xexf
nn
n
的连续性讨论
n
e
x
e n
n
n
n
)1l n (ln
lim
??
?
??
原式
n
e
x
n
n
n ??
?? l i m1
1lim1 ???
?? n
n
n ne
x
时当 ex ??0
06例
时当 ex?
n
x
e
x n
n
n
n
)1l n (ln
lim
??
?
??
原式
n
x
e
x
n
n
n ??
?? l i mln
xnxex n
n
n
lnl i mln ???
??
?
?
?
?
???
exx
exxf
ln
01)(
)()0()0( efefef ????显然
),()( 0 ?????? Cxf
渐近线求设 )(
a r c t a n)1(
)32()(
2
1
2
xf
xx
exxxfy x
?
????
x
e
x
xx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n1
32lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
2
2
2
1
2
?
???
?
??
?????? ?
2?
x
e
x
xx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n1
32lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
2
2
2
1
2
?
???
?
??
??????
?
2??
的渐近线为故 )(2 xfy ???
61例
渐近线求设 )(
a r c t a n)1(
)32()(
2
1
2
xf
xx
exxxfy x
?
????
xxx
exx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n)1)(1(
)1)(3(lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
12
1
2
1 ??
???
?
??
????
?? e
e 8
4
2
?
?
?
??
??
???
?
??
?? xxx
exx
xx
exx x
x
x
x a r c t a n)1)(1(
)1)(3(lim
a r c t a n)1(
)32(lim
1
12
1
2
1
例 62
???
?
??
??? x
e
xx
exx x
x
x
x a r c t a n
3l i m
a r c t a n)1(
)32(l i m
1
02
1
2
1
都是垂直渐近线1,0 ??? xx
