微分方程的基本概念 可分离变量法
一阶微分方程及其解法
可降阶的高阶微分方程及其解法
二阶常系数非齐次线性微分方程
第十二章 微分方程
全微分方程
高阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程的定义
绪论
主要问题 ----求方程的解
小结、思考题
所谓 微分方程,就是一个或几个包含自变量、未知
函数以及未知函数的某些微商的关系式。
例如，以下这些都是微分方程：
)()1( xfdxdy ?
)()2( 2
2
tfkx
dt
dxhx
dt
xdm ???
)()()3( xQyxP
dx
dy ??
一,绪 论
0s i n)4( 2
2
??? θθθ lgdtdhdtd
0),,,()5( )( ?? nyyyxF ?
0)6(
2
?
??
?
yx
u
πρ4)7( 2
2
2
2
2
2
??
?
??
?
??
?
?
z
u
y
u
x
u
?
?
?
?
?
???
???
)(
)(
)8(
gfyexy
dt
dy
cbyaxx
dt
dx
例 1 一曲线通过点 ( 1,2 ),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2?
?? xdxy 2
2,1 ?? yx 时其中
,2 Cxy ??即,1?C求得
.12 ?? xy所求曲线方程为
例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内
行驶了多少路程？
解 )(,tssst ?米秒钟行驶设制动后
4.02
2
??dt sd,20,0,0 ????
dt
dsvst 时
14.0 Ctdt
dsv ????
2122.0 CtCts ????
代入条件后知 0,20 21 ?? CC
,202.0 2 tts ???
,204.0 ???? tdtdsv
故
),(504.020 秒??t
列车在这段时间内行驶了
).(5005020502.0 2 米??????s
开始制动到列车完全停住共需
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy ??
,0)( 2 ??? xdxdtxt
,32 xeyyy ??????
,yxxz ????
某些导数 (或微分 )之间的关系式,
微分方程
实质, 联系自变量,未知函数以及未知函数的
二,微分方程的定义
高阶导数的阶数称之,
常微分方程,(未知函数是一元函数）
偏微分方程 （ 未知函数是多元函数）
,0),,( ??yyxF一阶微分方程 );,( yxfy ??
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
分类 1
分类 2
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ??? ;02)( 2 ????? xyyyx
单个微分方程与微分方程组,
?
?
?
?
?
??
??
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
如果方程对于未知函数和它的各阶微商的全体而
言是一次的，称为 线性微分方程 ；否则，称为 非线
性微分方程。
分类 3
分类 4
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ??? ?? xxxxF n?
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且任
意常数的个数与微分方程的阶数相同,
微分方程的解
微分方程的 解的分类
三,主要问题 --求方程的解
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
,yy ??例 ;xcey ?通解
,0???? yy ;c o ss i n 21 xcxcy ??通解
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
过定点的积分曲线 ;??
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
?
?
?
????
????
?? 00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
求微分方程满足初始条件的解的问题,初值问题
例 3 验证, 函数 ktCktCx s inc o s
21
?? 是微分
方程 0
2
2
2
?? xk
dt
xd
的解, 并求满足初始条件
0,
0
0
??
?
?
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,co ss i n 21 ktkCktkC
dt
dx ????
,s i nc o s 22122
2
ktCkktCkdt xd ???
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??
,0,
0
0 ??
?
?
t
t dt
dxAx?,0,
21 ??? CAC
所求特解为,c o s ktAx ?
微分方程的初等解法, 初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
补充,
例 4.求下列曲线族所满足的微分方程
21
2
22
).3(
)s in ().2(1).1(
cxcy
cxycyx
??
????
求曲线族所满足的微分方程，就是求一
方程，使所给曲线族为该方程的积分曲线族，
故要求的微分方程其阶数应和曲线族中参数
的个数一致
解
?
?
?
???
??
)2(022
x)1(1
)1(
22
?
?
ycyx
cyx 求导两边对
分析
从（ 1）（ 2）中消去 c即从（ 1）中解出 c代入
（ 2）有
0)x-(1xy0
1 2
2
2
?????
?
? yyy
y
x
x 或
)s in ()2( cxy ??
)c o s ( cxy ???
1)(c o s)(s i n 22 ???? cxcx
122 ???? yy
即为所求
21
2)3( cxcy ??
12 cyy ??
两边再对 x求导
022 ?????? yyyy
02 ????? yyy
小 结
通解
特解
微分方程的解
微分方程的阶
微分方程
初始条件
积分曲线
初值问题
函数 xey 23? 是微分方程 04 ???? yy
的什么解?
思
考
题
,6 2 xey ???,12 2 xey ???
???? yy 4,03412 22 ??? xx ee
xey 23?? 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
思考题解答
第二节 可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
典型例题
小结
dxxfdyyg )()( ?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy ?例如,2 254 dxxdyy ?? ?
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,? ?
? dxxfdyyg )()(
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函
数,CxFyG ?? )()( 为微分方程的解,
分离变量法
一,可分离变量的微分方程
例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy ?
解 分离变量,2 x d xydy ?
两端积分,2?? ? xdxy
dy
12ln Cxy ??
.2 为所求通解xcey ??
二、典型例题
例 2 求解微分方程,1 2 的通解xxydxdy ??
解：
dxxx 21ydy ??分离变量
dxxx 21ydy ?? ??
211
2 ln)1l n (
2
1ln cccxy ????
2
2
1
2 ln)1l n (ln cxy ???
)(1 222 ccxcy ????
例 3 求解微分方程
.0)1(s e c 的通解??? dyxy d xx
0s e c1 ??? ydyxxdx
0c o s)111( ???? y d ydxx
cy ??? s i n1xln-x积分
cxxy ???? 1lns i n
.0)()(4 通解求方程例 ?? xdyxygy d xxyf,xyu ?令
,y d xx d ydu ??则
,0)()( ???? x yd xduxugyd xuf
,0)()]()([ ??? duugdxxuuguf
,0)]()([ )( ??? duugufu ugxdx
.)]()([ )(||ln Cduugufu ugx ??? ?通解为
解
例 5 衰变问题, 衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正比,已知 00 MM t ??,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数????? MdtdM dtM
dM ???
,?? ??? dtMdM
00 MM t ??代入
,lnln ctM ??? ?,tceM ???即
00 ceM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
例 6 有高为 1米的半球形容器,水从它的底部小孔
流出,小孔横截面积为 1平方厘米 (如图 ),开始时
容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里
水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离 )随时间 t
的变化规律,
解 由力学知识得,水从孔口流
出的流量为
,262.0 ghSdtdVQ ???
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
cm100
h
o
r
hdhh? )1(,262.0 dtghdV ??
设在微小的时间间隔 ],,[ ttt ??
水面的高度由 h降至,hh ??,2 dhrdV ???则
,2 0 0)1 0 0(1 0 0 222 hhhr ??????
)2(,)2 0 0( 2 dhhhdV ?????
比较 (1)和 (2)得, dhhh )2 0 0( 2???,262.0 dtgh?
1?S?,cm2
dhhh )2 0 0( 2???,262.0 dtgh?
即为未知函数的微分方程, 可分离变量
,)2 0 0(262.0 3 dhhhgdt ????
,)5234 0 0(262.0 53 Chhgt ?????
,100| 0 ??th?,1015
14
262.0
5?????
gC
).310107(265.4 5335 hhgt ?????所求规律为
解
例 7 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中含
有 的,为了降低车间内空气中 的
含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机通
入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风
量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分钟
后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 ??? dt
),(2000 txdt ???
2CO 的通入量 2CO 的排出量2CO 的改变量 ? ?
03.02 0 0 01 2 0 0 0 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
),03.0(61 ??? xdtdx,03.0 61 tCex ????
,1.0| 0 ??tx?,07.0?? C,07.003.0 6
1 tex ????
,056.007.003.0| 16 ??? ?? ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy ????
思
考
题
,02co s2co s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
?? ?? dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy ?,
2co s2 C
x ?? 为所求解,
思考题解答
)( xyfdxdy ?形如 的微分方程称为 齐次方程,
,xyu ?作变量代换,xuy ?即
代入原式
,dxduxudxdy ???
),( ufdxduxu ??
.)( x uufdxdu ??即 可分离变量的方程
解法
定义
三,齐次方程
,0)( 时当 ?? uuf,ln)( 1 xCuuf du ???得
,)( uCex ??即 ? ?? ）（ uuf
duu
)()(?
,代入将 xyu ?,)( xyCex ??得通解
,0u?当,0)( 00 ?? uuf使,0 是新方程的解则 uu ?
,代回原方程,0 xuy ?得齐次方程的解
例 1 求解微分方程,0c o s)c o s( ??? dy
x
yxdx
x
yyx
，令 xyu ?,则 u d xxdudy ??
,0)(co s)co s( ???? xduu d xuxdxuuxx
,co s xdxud u ??,lns i n Cxu ???
.lns i n Cxxy ???微分方程的解为
解
22
22
yxyx
xyy
dx
dy
??
??
,
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu ?令,u d xx d udy ??则
,1 2 2
2
uu
uuuxu
??
????
.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 2 求解微分方程
解
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu ??????
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u ?
?
?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy ???
,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????
例 3 求解微分方程
的特解满足 21 ???? ??xy
x
y
y
xy
dx
duxu
dx
dyuxy ?????
x
yu解：
u
udx
duxu ??? 1
? ?? xdxu d u
cxu ?? ln21 2
2y-1xln
2
1
2
2
???? 代入cx
x
y
21ln
)1(
2
2
1
2
2
????
?
cc
)2( l n2y 22 ?? xx特解：
例 4 抛物线的光学性质
实例, 车灯的反射镜面 ------旋转抛物面
解 轴设旋转轴 ox如图
),0,0(光源在 )(,xyyL ?
x
y
o
M
T
N
R
L
为上任一点，设 ),( yxM
,,yMT ?斜率为为切线
,1,yMN ??斜率为为法线
,N M RO M N ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
y
N M R
yx
y
x
y
y
O M N
1
t a n
1
1
t a n
,022 ????? yyxyy
得微分方程,1)( 2 ?????
y
x
y
xy即
,t a nt a n N M RO M N ????
由夹
角正
切公
式得
x
y
o
M
T
N
R
L
，令 xyu ?,11 2
u
u
dx
duxu ?????得
分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
ud u ??
???
，令 221 tu ??,)1( xdxtt td t ???
积分得,ln1ln xCt ??,112 ??? xCu即
平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu ??
得代回,xyu ? )2(22 CxCy ?? 抛物线
轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy ???
的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
为齐次方程,,01 时当 ?? cc
，
令
kYy
hXx
??
??,
（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx ??,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
????
?????
1.定义
2.解法
四,可化为齐次的方程
?
?
?
???
???
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
??? ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
?
??
得通解代回 ??
?
??
??
，kyY
hxX,
,0)2( ??未必有解,上述方法不能用,
,01 时当 ?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,11 ??? bbaa令
),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
???
???方程可化为
,byaxz ??令
，则 dxdybadxdz ?? ).()(1
1cz
czfa
dx
dz
b ??
???
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ?? ab若 ),(
1 a
dx
dz
bdx
dy ??
)()(1
1c
czfa
dx
dz
b
???
可分离变量的微分方程,
,01 时当 ?b
,byaxz ??令
可分离变量,
.314 的通解求例 ?? ??? yx yxdxdy
解,0211
11 ??????
??
?
???
???
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 ??? kh
.2,1 ???? YyXx令
,YX YXdXdY ???
代入原方程得
，令 XYu ?
,11 uudXduXu ???? 分离变量法得
,)12( 22 cuuX ???,2 22 CXXYY ???即
代回，将 2,1 ???? yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy ???????
.622 122 Cyxyxyx ?????或
方程变为
.)(5 2 的通解求例 yxdxdy ??
解,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy ??,a r c t a n Cxu ??解得
得代回,yxu ??,)a r ct a n( Cxyx ???
原方程的通解为,)t a n ( xCxy ???
利用变量代换求微分方程的解
方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????
是否为齐次方程?
思
考
题
方程两边同时对 求导,x
,2 22 yxyyxy ?????
,22 yyxyx ????,1
2
x
y
x
yy ??
?
??
?
????
原方程 是 齐次方程,
思考题解答
一阶微分方程及其解法
可降阶的高阶微分方程及其解法
二阶常系数非齐次线性微分方程
第十二章 微分方程
全微分方程
高阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程的定义
绪论
主要问题 ----求方程的解
小结、思考题
所谓 微分方程,就是一个或几个包含自变量、未知
函数以及未知函数的某些微商的关系式。
例如，以下这些都是微分方程：
)()1( xfdxdy ?
)()2( 2
2
tfkx
dt
dxhx
dt
xdm ???
)()()3( xQyxP
dx
dy ??
一,绪 论
0s i n)4( 2
2
??? θθθ lgdtdhdtd
0),,,()5( )( ?? nyyyxF ?
0)6(
2
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2
2
2
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dt
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dx
例 1 一曲线通过点 ( 1,2 ),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2?
?? xdxy 2
2,1 ?? yx 时其中
,2 Cxy ??即,1?C求得
.12 ?? xy所求曲线方程为
例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内
行驶了多少路程？
解 )(,tssst ?米秒钟行驶设制动后
4.02
2
??dt sd,20,0,0 ????
dt
dsvst 时
14.0 Ctdt
dsv ????
2122.0 CtCts ????
代入条件后知 0,20 21 ?? CC
,202.0 2 tts ???
,204.0 ???? tdtdsv
故
),(504.020 秒??t
列车在这段时间内行驶了
).(5005020502.0 2 米??????s
开始制动到列车完全停住共需
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy ??
,0)( 2 ??? xdxdtxt
,32 xeyyy ??????
,yxxz ????
某些导数 (或微分 )之间的关系式,
微分方程
实质, 联系自变量,未知函数以及未知函数的
二,微分方程的定义
高阶导数的阶数称之,
常微分方程,(未知函数是一元函数）
偏微分方程 （ 未知函数是多元函数）
,0),,( ??yyxF一阶微分方程 );,( yxfy ??
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
分类 1
分类 2
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ??? ;02)( 2 ????? xyyyx
单个微分方程与微分方程组,
?
?
?
?
?
??
??
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
如果方程对于未知函数和它的各阶微商的全体而
言是一次的，称为 线性微分方程 ；否则，称为 非线
性微分方程。
分类 3
分类 4
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ??? ?? xxxxF n?
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且任
意常数的个数与微分方程的阶数相同,
微分方程的解
微分方程的 解的分类
三,主要问题 --求方程的解
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
,yy ??例 ;xcey ?通解
,0???? yy ;c o ss i n 21 xcxcy ??通解
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
过定点的积分曲线 ;??
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
?
?
?
????
????
?? 00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
求微分方程满足初始条件的解的问题,初值问题
例 3 验证, 函数 ktCktCx s inc o s
21
?? 是微分
方程 0
2
2
2
?? xk
dt
xd
的解, 并求满足初始条件
0,
0
0
??
?
?
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,co ss i n 21 ktkCktkC
dt
dx ????
,s i nc o s 22122
2
ktCkktCkdt xd ???
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??
,0,
0
0 ??
?
?
t
t dt
dxAx?,0,
21 ??? CAC
所求特解为,c o s ktAx ?
微分方程的初等解法, 初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
补充,
例 4.求下列曲线族所满足的微分方程
21
2
22
).3(
)s in ().2(1).1(
cxcy
cxycyx
??
????
求曲线族所满足的微分方程，就是求一
方程，使所给曲线族为该方程的积分曲线族，
故要求的微分方程其阶数应和曲线族中参数
的个数一致
解
?
?
?
???
??
)2(022
x)1(1
)1(
22
?
?
ycyx
cyx 求导两边对
分析
从（ 1）（ 2）中消去 c即从（ 1）中解出 c代入
（ 2）有
0)x-(1xy0
1 2
2
2
?????
?
? yyy
y
x
x 或
)s in ()2( cxy ??
)c o s ( cxy ???
1)(c o s)(s i n 22 ???? cxcx
122 ???? yy
即为所求
21
2)3( cxcy ??
12 cyy ??
两边再对 x求导
022 ?????? yyyy
02 ????? yyy
小 结
通解
特解
微分方程的解
微分方程的阶
微分方程
初始条件
积分曲线
初值问题
函数 xey 23? 是微分方程 04 ???? yy
的什么解?
思
考
题
,6 2 xey ???,12 2 xey ???
???? yy 4,03412 22 ??? xx ee
xey 23?? 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
思考题解答
第二节 可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
典型例题
小结
dxxfdyyg )()( ?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy ?例如,2 254 dxxdyy ?? ?
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,? ?
? dxxfdyyg )()(
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函
数,CxFyG ?? )()( 为微分方程的解,
分离变量法
一,可分离变量的微分方程
例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy ?
解 分离变量,2 x d xydy ?
两端积分,2?? ? xdxy
dy
12ln Cxy ??
.2 为所求通解xcey ??
二、典型例题
例 2 求解微分方程,1 2 的通解xxydxdy ??
解：
dxxx 21ydy ??分离变量
dxxx 21ydy ?? ??
211
2 ln)1l n (
2
1ln cccxy ????
2
2
1
2 ln)1l n (ln cxy ???
)(1 222 ccxcy ????
例 3 求解微分方程
.0)1(s e c 的通解??? dyxy d xx
0s e c1 ??? ydyxxdx
0c o s)111( ???? y d ydxx
cy ??? s i n1xln-x积分
cxxy ???? 1lns i n
.0)()(4 通解求方程例 ?? xdyxygy d xxyf,xyu ?令
,y d xx d ydu ??则
,0)()( ???? x yd xduxugyd xuf
,0)()]()([ ??? duugdxxuuguf
,0)]()([ )( ??? duugufu ugxdx
.)]()([ )(||ln Cduugufu ugx ??? ?通解为
解
例 5 衰变问题, 衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正比,已知 00 MM t ??,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数????? MdtdM dtM
dM ???
,?? ??? dtMdM
00 MM t ??代入
,lnln ctM ??? ?,tceM ???即
00 ceM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
例 6 有高为 1米的半球形容器,水从它的底部小孔
流出,小孔横截面积为 1平方厘米 (如图 ),开始时
容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里
水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离 )随时间 t
的变化规律,
解 由力学知识得,水从孔口流
出的流量为
,262.0 ghSdtdVQ ???
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
cm100
h
o
r
hdhh? )1(,262.0 dtghdV ??
设在微小的时间间隔 ],,[ ttt ??
水面的高度由 h降至,hh ??,2 dhrdV ???则
,2 0 0)1 0 0(1 0 0 222 hhhr ??????
)2(,)2 0 0( 2 dhhhdV ?????
比较 (1)和 (2)得, dhhh )2 0 0( 2???,262.0 dtgh?
1?S?,cm2
dhhh )2 0 0( 2???,262.0 dtgh?
即为未知函数的微分方程, 可分离变量
,)2 0 0(262.0 3 dhhhgdt ????
,)5234 0 0(262.0 53 Chhgt ?????
,100| 0 ??th?,1015
14
262.0
5?????
gC
).310107(265.4 5335 hhgt ?????所求规律为
解
例 7 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中含
有 的,为了降低车间内空气中 的
含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机通
入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风
量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分钟
后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 ??? dt
),(2000 txdt ???
2CO 的通入量 2CO 的排出量2CO 的改变量 ? ?
03.02 0 0 01 2 0 0 0 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
),03.0(61 ??? xdtdx,03.0 61 tCex ????
,1.0| 0 ??tx?,07.0?? C,07.003.0 6
1 tex ????
,056.007.003.0| 16 ??? ?? ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy ????
思
考
题
,02co s2co s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
?? ?? dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy ?,
2co s2 C
x ?? 为所求解,
思考题解答
)( xyfdxdy ?形如 的微分方程称为 齐次方程,
,xyu ?作变量代换,xuy ?即
代入原式
,dxduxudxdy ???
),( ufdxduxu ??
.)( x uufdxdu ??即 可分离变量的方程
解法
定义
三,齐次方程
,0)( 时当 ?? uuf,ln)( 1 xCuuf du ???得
,)( uCex ??即 ? ?? ）（ uuf
duu
)()(?
,代入将 xyu ?,)( xyCex ??得通解
,0u?当,0)( 00 ?? uuf使,0 是新方程的解则 uu ?
,代回原方程,0 xuy ?得齐次方程的解
例 1 求解微分方程,0c o s)c o s( ??? dy
x
yxdx
x
yyx
，令 xyu ?,则 u d xxdudy ??
,0)(co s)co s( ???? xduu d xuxdxuuxx
,co s xdxud u ??,lns i n Cxu ???
.lns i n Cxxy ???微分方程的解为
解
22
22
yxyx
xyy
dx
dy
??
??
,
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu ?令,u d xx d udy ??则
,1 2 2
2
uu
uuuxu
??
????
.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 2 求解微分方程
解
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu ??????
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u ?
?
?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy ???
,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????
例 3 求解微分方程
的特解满足 21 ???? ??xy
x
y
y
xy
dx
duxu
dx
dyuxy ?????
x
yu解：
u
udx
duxu ??? 1
? ?? xdxu d u
cxu ?? ln21 2
2y-1xln
2
1
2
2
???? 代入cx
x
y
21ln
)1(
2
2
1
2
2
????
?
cc
)2( l n2y 22 ?? xx特解：
例 4 抛物线的光学性质
实例, 车灯的反射镜面 ------旋转抛物面
解 轴设旋转轴 ox如图
),0,0(光源在 )(,xyyL ?
x
y
o
M
T
N
R
L
为上任一点，设 ),( yxM
,,yMT ?斜率为为切线
,1,yMN ??斜率为为法线
,N M RO M N ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
y
N M R
yx
y
x
y
y
O M N
1
t a n
1
1
t a n
,022 ????? yyxyy
得微分方程,1)( 2 ?????
y
x
y
xy即
,t a nt a n N M RO M N ????
由夹
角正
切公
式得
x
y
o
M
T
N
R
L
，令 xyu ?,11 2
u
u
dx
duxu ?????得
分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
ud u ??
???
，令 221 tu ??,)1( xdxtt td t ???
积分得,ln1ln xCt ??,112 ??? xCu即
平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu ??
得代回,xyu ? )2(22 CxCy ?? 抛物线
轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy ???
的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
为齐次方程,,01 时当 ?? cc
，
令
kYy
hXx
??
??,
（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx ??,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
????
?????
1.定义
2.解法
四,可化为齐次的方程
?
?
?
???
???
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
??? ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
?
??
得通解代回 ??
?
??
??
，kyY
hxX,
,0)2( ??未必有解,上述方法不能用,
,01 时当 ?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,11 ??? bbaa令
),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
???
???方程可化为
,byaxz ??令
，则 dxdybadxdz ?? ).()(1
1cz
czfa
dx
dz
b ??
???
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ?? ab若 ),(
1 a
dx
dz
bdx
dy ??
)()(1
1c
czfa
dx
dz
b
???
可分离变量的微分方程,
,01 时当 ?b
,byaxz ??令
可分离变量,
.314 的通解求例 ?? ??? yx yxdxdy
解,0211
11 ??????
??
?
???
???
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 ??? kh
.2,1 ???? YyXx令
,YX YXdXdY ???
代入原方程得
，令 XYu ?
,11 uudXduXu ???? 分离变量法得
,)12( 22 cuuX ???,2 22 CXXYY ???即
代回，将 2,1 ???? yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy ???????
.622 122 Cyxyxyx ?????或
方程变为
.)(5 2 的通解求例 yxdxdy ??
解,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy ??,a r c t a n Cxu ??解得
得代回,yxu ??,)a r ct a n( Cxyx ???
原方程的通解为,)t a n ( xCxy ???
利用变量代换求微分方程的解
方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????
是否为齐次方程?
思
考
题
方程两边同时对 求导,x
,2 22 yxyyxy ?????
,22 yyxyx ????,1
2
x
y
x
yy ??
?
??
?
????
原方程 是 齐次方程,
思考题解答
