第二节
定积分的性质和定积分中值定理
基本内容
小结
对定积分的 补充规定,
（ 1 ）当 ba ? 时,0)( ?? ba dxxf ；
（ 2 ）当 ba ? 时,?? ?? abba dxxfdxxf )()(,
在下面的性质中，假定定积分都存在，且
不考虑积分上下限的大小．
说明
一、基 本 内 容
证 ? ?ba dxxgxf )]()([
iii
n
i
xgf ??? ?
??
)]()([l i m
10
??
?
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(lim
10
?
? ii
n
i
xg ?? ?
??
)(lim
10
?
?
?? ba dxxf )(,)(?? ba dxxg
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
函数和（差）的定积分等于它们
的定积分的和（差），即
性质 1
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).
证 ?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf ?? ?
??
)(lim
10
?
?
ii
n
i
xfk ?? ?
??
)(l i m
10
?
? ii
n
i
xfk ?? ?
??
)(lim
10
?
?
.)(?? ba dxxfk
性质 2 被积函数的常数因子可以提到积
分外面号，即
分等于则在整个区间上的定积
部分，如果将积分区间分成两
之和。这两部分区间上定积分
性质 3
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
例 若,cba ??
?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(
?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(
.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf
则
假设 bca ??
（定积分对于积分区间具有可加性）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
证,0)( ?xf?,0)( ??? if ),,2,1( ni ??
,0?? ix?,0)(
1
???? ?
?
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx ???? ??
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(lim
10
?
?,0)(? ??
b
a dxxf
如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
则上如果在区间 1)(],[ ?xfba性质 4
性质 5
比较积分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小,
解 令,)( xexf x ?? ]0,2[??x
,0)( ?xf?,0)(0 2 ??? ?? dxxe x
dxe x??? 02,02 dxx???
于是 dxe x??20,20 dxx???
例 1
性质 5的推论：
证 ),()( xgxf ??,0)()( ??? xfx
,0)]()([ ??? ? dxxfxgba
,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba?? )(,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,1
dxxfba? )( dxxfba?? )(,)( ba ?
证,)()()( xfxfxf ????
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa ??? ????
即 dxxfba? )( dxxfba?? )(,
说明,可积性是显然的,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的
2
设 M 及 m 分别是函数
证,)( Mxfm ???
,)( ??? ??? bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba ???? ?
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
性质 6
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
估计积分 dxx? ? ?
0 3s i n3
1 的值,
解,s i n3 1)( 3 xxf ?? ],,0[ ??? x
,1s i n0 3 ?? x,31s i n3 141 3 ??? x
,31s in3 141 00 30 dxdxxdx ??? ??? ???
.3s i n3 14 0 3 ?????? ? ? dxx
例 2
估计积分 dx
x
x? ?
?
2
4
s i n 的值,
解,s i n)( x xxf ?
2
s i nco s)(
x
xxxxf ???
2
)ta n(co s
x
xxx ??
]2,4[ ???x
,0?
)( xf 在 ]2,4[ ?? 上单调下降,
故 4??x 为极大点,2??x 为极小点,
例 3
,22)4( ???? fM,2)2( ???? fm
,442 ??????? ab?
,422s i n42 2
4
??
???
??
?? ?
?
? dxx
x
.2 2s i n21 2
4
??? ?
?
? dxx
x
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
证
Mdxxfabm ba ???? ? )(1
)()()( abMdxxfabm ba ???? ??
由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
（定积分中值定理）
积分中值公式
性质 7
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使,)(1)( ???? ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf ?? ?,)( ba ?? ?
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,
即
积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy ?底边，
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 )( ?f
的一个矩形的面积。
设 )( xf 可导，且 1)(lim ?
???
xf
x
,
求 dttf
t
t
x
xx ?
?
???
2
)(
3
s inlim,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ ??? xx
使 dttfttxx? ? 2 )(3s i n ),2)((3s i n xxf ??????
dttfttxx
x ?
?
???
2 )(3s i nlim )(3s i nlim2 ?
??? f????
)(3l i m2 ?? f????,6?
例 4
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
（１）估计积分值；
（２）不计算定积分比较积分大
小．
小 结
定积分的性质
典型问题
定积分性质中指出，若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积，则 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
思
考
题
由 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可
积，不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
??
??
为无理数，
为有理数
x
xxf
0
,1)(
??
??
为无理数，
为有理数
x
xxg
1
,0)(
显然 )()( xgxf ? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积，但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。
例
思考题解答
定积分的性质和定积分中值定理
基本内容
小结
对定积分的 补充规定,
（ 1 ）当 ba ? 时,0)( ?? ba dxxf ；
（ 2 ）当 ba ? 时,?? ?? abba dxxfdxxf )()(,
在下面的性质中，假定定积分都存在，且
不考虑积分上下限的大小．
说明
一、基 本 内 容
证 ? ?ba dxxgxf )]()([
iii
n
i
xgf ??? ?
??
)]()([l i m
10
??
?
ii
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i
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)(lim
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? ii
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)(lim
10
?
?
?? ba dxxf )(,)(?? ba dxxg
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
函数和（差）的定积分等于它们
的定积分的和（差），即
性质 1
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).
证 ?ba dxxkf )( ii
n
i
xkf ?? ?
??
)(lim
10
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?
ii
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)(l i m
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)(lim
10
?
?
.)(?? ba dxxfk
性质 2 被积函数的常数因子可以提到积
分外面号，即
分等于则在整个区间上的定积
部分，如果将积分区间分成两
之和。这两部分区间上定积分
性质 3
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
例 若,cba ??
?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(
?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(
.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf
则
假设 bca ??
（定积分对于积分区间具有可加性）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
证,0)( ?xf?,0)( ??? if ),,2,1( ni ??
,0?? ix?,0)(
1
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ii
n
i
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},,,m a x { 21 nxxx ???? ??
ii
n
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)(lim
10
?
?,0)(? ??
b
a dxxf
如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
则上如果在区间 1)(],[ ?xfba性质 4
性质 5
比较积分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小,
解 令,)( xexf x ?? ]0,2[??x
,0)( ?xf?,0)(0 2 ??? ?? dxxe x
dxe x??? 02,02 dxx???
于是 dxe x??20,20 dxx???
例 1
性质 5的推论：
证 ),()( xgxf ??,0)()( ??? xfx
,0)]()([ ??? ? dxxfxgba
,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba?? )(,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,1
dxxfba? )( dxxfba?? )(,)( ba ?
证,)()()( xfxfxf ????
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa ??? ????
即 dxxfba? )( dxxfba?? )(,
说明,可积性是显然的,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的
2
设 M 及 m 分别是函数
证,)( Mxfm ???
,)( ??? ??? bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba ???? ?
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
性质 6
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
估计积分 dxx? ? ?
0 3s i n3
1 的值,
解,s i n3 1)( 3 xxf ?? ],,0[ ??? x
,1s i n0 3 ?? x,31s i n3 141 3 ??? x
,31s in3 141 00 30 dxdxxdx ??? ??? ???
.3s i n3 14 0 3 ?????? ? ? dxx
例 2
估计积分 dx
x
x? ?
?
2
4
s i n 的值,
解,s i n)( x xxf ?
2
s i nco s)(
x
xxxxf ???
2
)ta n(co s
x
xxx ??
]2,4[ ???x
,0?
)( xf 在 ]2,4[ ?? 上单调下降,
故 4??x 为极大点,2??x 为极小点,
例 3
,22)4( ???? fM,2)2( ???? fm
,442 ??????? ab?
,422s i n42 2
4
??
???
??
?? ?
?
? dxx
x
.2 2s i n21 2
4
??? ?
?
? dxx
x
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
证
Mdxxfabm ba ???? ? )(1
)()()( abMdxxfabm ba ???? ??
由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
（定积分中值定理）
积分中值公式
性质 7
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使,)(1)( ???? ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf ?? ?,)( ba ?? ?
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,
即
积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy ?底边，
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 )( ?f
的一个矩形的面积。
设 )( xf 可导，且 1)(lim ?
???
xf
x
,
求 dttf
t
t
x
xx ?
?
???
2
)(
3
s inlim,
解 由积分中值定理知有 ],2,[ ??? xx
使 dttfttxx? ? 2 )(3s i n ),2)((3s i n xxf ??????
dttfttxx
x ?
?
???
2 )(3s i nlim )(3s i nlim2 ?
??? f????
)(3l i m2 ?? f????,6?
例 4
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
（１）估计积分值；
（２）不计算定积分比较积分大
小．
小 结
定积分的性质
典型问题
定积分性质中指出，若 )(),( xgxf 在 ],[ ba
上都可积，则 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
思
考
题
由 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可
积，不能断言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可积。
??
??
为无理数，
为有理数
x
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0
,1)(
??
??
为无理数，
为有理数
x
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1
,0)(
显然 )()( xgxf ? 和 )()( xgxf 在 ]1,0[ 上可积，但
)(),( xgxf 在 ]1,0[ 上都不可积。
例
思考题解答
