第四节 定积分的换元法
换元公式
小结
? ba dxxf 的简便方法算定积分由上一讲结果知道，计 )(
一章中，我们的原函数的增量。在上是把它转化为求 )( xf
.求出一些函数的原函数知道用换元公式法可以
积分，为可以用换元法来计算定因此，在一定条件 下，
面计算定积分，先证明下了说明如何用换元法来
一个定理。即换元公式
一、换元公式
假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是单值的且有连续
导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ ?? 上变化时,)( tx ?? 的值
在 ],[ ba 上变化，且 a?)( ??, b?)( ??,
dtttfdxxf
b
a ??
?? ?
?
?? )()]([)(,
则有换元公式
定理
证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
),()()( aFbFdxxfba ???
)],([)( tFt ????
dt
dx
dx
dFt ??? ? )( )()( txf ? ?? ),()]([ ttf ? ???
),()()()]([ ??????? ??? ?? dtttf
)( t?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数,
a?)(??, b?)( ??,
)()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??
),()( aFbF ??
)()()( aFbFdxxfba ??? )()( ?? ????
.)()]([ dtttf? ?? ?? ??
当 ?? ? 时，换元公式仍成立, 注意
应用换元公式时应注意,
求出 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数 )( t?
后，不必象计算不定积分那样再要
把 )( t? 变换成原变量 x 的函数，而只
要把新变量 t 的上、下限分别代入
)( t? 然后相减就行了,
用 )( tx ?? 把变量 x 换成新变量 t
时，积分限也相应的改变, 1
2
计算,s i nc o s20 5?
? x d xx
解 令,c o s xt ?
2
??x,0?? t 0?x,1?? t
? ?20 5 s i nco s x d xx
??? 01 5 dtt
1
0
6
6
t?
.61?
,s i n x d xdt ??
例 1
计算
解
.s i ns i n0 53? ? ? dxxx
xxxf 53 s i ns i n)( ??? ? ? 23s i nc o s xx?
? ? ?? 0 53 s ins in dxxx ? ?? ?? 0 23s inc o s dxxx
? ?? ?? 20 23s inco s dxxx ? ?? ???
2
2
3
s inco s dxx
? ?? ?? 20 23 s i ns i n xdx ? ?? ???
2
2
3
s ins in xdx
? ? 2
0
2
5
s i n52
?
? x ? ?
?
?
?
2
2
5
s i n
5
2 x
.54?
例 2
计算
解
.
)ln1(ln
4
3
? ?e e xxx dx
原式 ? ??
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd
? ??
4
3
)ln1(ln
)(l ne
e xx
xd?
?
?
4
3
2)ln(1
ln2 e
e x
xd
? ? 43)lna r c s i n (2 e ex?,6??
例 3
计算
解
? ???a adxxax0 22 )0(.1
令,s i n tax ?
ax?,2??? t 0?x,0?? t
,c o s td tadx ?
原式 ?
?
??
? 2
0 22 )s i n1(s i n
co s dt
tata
ta
?
?
??
2
0 co ss in
co s dt
tt
t? ? ?
?
??
?
?
?
??? 2
0 c o ss in
s inc o s1
2
1 dt
tt
tt
? ? 20c o ss inln21221 ?????? tt.4??
例 4
当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
? ?
?
?
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则 ?
?
?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0? ??
? ? ??
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在 ??0 )(a dxxf 中令 tx ??,
例 5
?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf,)(0? ?a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf ??
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0?? a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf ???
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
奇函数
计算
解
.11 c o s21
1 2
2
?? ?? ? dxx xxx
原式 ?? ???
1
1 2
2
11
2 dx
x
x?
? ???
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数
? ??? 10 2
2
114 dxx
x?
??
??? 1
0 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
? ??? 10 2 )11(4 dxx? ??? 10 2144 dxx
.4 ??? 单位圆的面积
例 6
若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ）
??
??
?
22
00
)( c o s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ）
??
?? ?
?
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算 ?
?
?0
2
c o s1
s i n
dx
x
xx
,
证 （ 1）设 tx ???
2,dtdx ???
0?x,2??? t 2??x,0?? t
例 7
? ?20 )( s i n dxxf ?? ?????? ?????? ???? 02 2s i n dttf
? ?? 20 )( co s dttf ;)( co s20? ?? dxxf
（ 2）设 tx ???,dtdx ???
0?x,??? t ??x,0?? t
? ?0 )( s in dxxxf ?? ?????? 0 )][ s in()( dttft
,)( s in)(0? ? ??? dttft
? ??? 0 )( s in dttf ? ?? 0 )( s in dtttf
? ??? 0 )( s in dxxf,)( s in0? ?? dxxxf
.)( s in2)( s in 00 ?? ?? ??? dxxfdxxxf
? ? ?0 2co s1 s i n dxxxx ? ? ??? 0 2c o s1 s in2 dxxx
? ? ???? 0 2 )( c o sc o s1 12 xdx? ????? 0)a rct a n ( co s2 x
.4
2?
? )44(2 ???????
? ?0 )( s in dxxxf
?? ?? aa dxxafdxxf 00 )()(证明公式
? ??40 2s i n1 2s i n1? dxxx并计算
于是作代换证明：,,dtdxtax ????
公式得证?? ? ? ??????? aa a a dtxafdttafdttafdxxf 00 0 0 )()()()(
??? ?
?
?
??
??
?
?
?
4
0
4
0
4
0 2c o s1
2c o s1
)
4
(2s i n1
)
4
(2s i n1
2s i n1
2s i n1
???
?
?
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
4
1
c o s2
s i n24
0 2
2 ??
??? ? dx
x
x
8例
dxxfba? )( dtttf? ?? ?? ?? )()]([
小 结
定积分的换元法
几个特殊积分、定积分的几个等式
指出求 ?
?
? ?
2
2 2 1xx
dx
的解法中的错误，并写出正确
的解法,
解 令,s e c tx ?,4332,???t,s e ct a n td ttdx ?
? ?? ?22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 143
3
2 ??? ?
?
?
dt? ??? 43
3
2,12
??
思
考
题
计算中第二步是错误的, tx s e c??
,43,32 ?????? ???t,0tan ?t,t a nt a n12 ttx ???
正确解法是
? ?? ?22 2 1xx dx tx s e c? t d tttt t a ns ect a ns ec 14
3
3
2 ???
?
?
dt? ???? 43
3
2,12
???
思考题解答