微 元 法
理 论 依 据
名
称
释
译
所
求
量
的
特
点解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
一、主要内容
定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
x
y
o
)( xfy ?
?? ba dxxfA )(
x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
A A
直角坐标情形
a b a b
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积 ? ?? 2
1
)()(tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
参数方程所表示的函数
?? ?? ??? dA 2)]([21
xo
?
?d
?
)(???r ?
? xo
)(2 ???r
)(1 ???r
? ?? ?? ????? dA )]()([21 2122
极坐标情形
(2) 体积
x dxx? x
y
o dxxfV
b
a
2)]([?? ?
dyyV dc 2)]([????
x
y
o
)( yx ??c
d
xo
?? ba dxxAV )(
x dxx?a b
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
(3) 平面曲线的弧长
xo
y
a bx dxx?
?dy
弧长 dxys ba? ??? 21
A．曲线弧为
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数
弧长 dttts ? ???? ?? ?? )()( 22
)( xfy ?
B．曲线弧为
C．曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
弧长 ????? drrs ? ??? )()( 22
例 1
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积
体它绕轴旋转而成的旋转
它的弧长
它所围成的面积求
星形线
已知
?
?
?
?
?
?
a
tay
tax
a? ao
y
x
二,典型例题
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
?? a y d xA 04
? ? ??? 0
2
23 )s in(c o s3s in4 dtttata
?
?
?? 20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a??
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
?
?
???? 2
0
22 )()(4 dtyxL ?
?
? 20 s i nco s34 td tta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为
由对称性,有
? ???? a x dxyyS 0 2122
?
?
??? 20 3 s i nco s3s i n4 t d ttata,512 2a??
? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 0
2
262 )s in(c o s3s in2 dtttata
?
?
??? 20 273 )s i n1(s i n6 dttta,1 0 532 3a??
Srr 所围成的面积及求由例 ?? c o s1c o s32 ???
解 1c o s2
c o s1
c o s3 ??
?
?
?
??
? ?
?
?
r
r
2
1c os ??
3
?? ??
? ???? 30 2
3
22 )co s3(
2
1
]co s1[
2
1
2
? ?
? ???? ddS
?? ???? 2
3
23
0
2 c o s9)c o sc o s21(
?
?
?
????? dd
389438 3633 ?????? ??? ?45?
一,选择题：
1, 曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
?, ex ? 及 0?y 所围成
的区域的面积 ?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e
? ； （ B ）
e
e
1
? ；
（ C ）
e
e
1
? ； （ D ） 1
1
?
e
,
2,曲线 ?si n2?r 与 ?2c o s
2
?r 所围图形公共部分
的面积 ?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
?
?
?； （ B ）
4
13
24
?
?
?；
（ C ）
2
13
12
?
?
?； （ D ）
2
31
6
?
?
?
,
练 习 题
3,曲线,c o s
3
?ax ? ?
3
s i nay ? 所围图形的面积
?S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
??? zyx 与旋转锥面
222
8 zyx ?? 之
间包含 z 轴的部分的体积 ?V ( ) ；
（ A ） ?144 ； （ B ） ?36 ；
（ C ） ?72 ； （ D ） ?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高
为 )20( rhh ?? 体 V积为,则 ?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
?
?； （ B ） )3(
3
2
hr
h
?
?；
（ C ） )2(
2
hrh ?? ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
?
?
.
6,曲线 42
2
??? xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
?? xy 所围图形的面积 ?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
,
7,抛物线 pxy 2
2
? )0( ?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) ? ? pp
p
ln)21l n (2
2
??? ；
(B) ?
?
?
?
?
?
?? )21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C)
? ?)21(ln2
2
?? p
p；
(D)
? ?)21l n (2
2
??
p
,
8,曲线 x
h
r
y ?, hx ??0, 轴绕 x 旋转所得旋转体
的侧面积 ?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ?? ； （ B ）
22
hrh ?? ；
（ C ）
22
hr
h
r
?
?； （ D ）
22
2 hrr ??,
二、在区间 ? ?e,1 内求 0x一点,使,0,ln ?? yxy
1?y 及 0xx ? 所围成两块面积之和为最小,
三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
轴x 与两直线 bxax ??,所围成的，求证：存在
直线 ??x )),(( ba?? 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( ??? t
1, 轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2, 轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
?
?, 轴y, 轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而
成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴
的距离，求它的质量,六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1, 求在水池中水深 )0( Rhh ?? 时水面上升的速
度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
一,1, A ； 2, D ； 3, B ； 4, D ；
5, B ； 6, D ； 7, A ； 8, A,
二、
4
1
0
ex ?, 四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
?
??,
六,1,
)2(
2
hRh
a
dt
dh
??
? ； 2,
4
4
Rw
?
?,
练习题解答 请记录