第三节 分部积分法
基本内容
小结
? ??dxxe x
利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu ? 和 )( xvv ? 具有连续导数,
? ?,vuvuuv ????? ? ?,vuuvv ?????
,dxvuuvdxvu ?? ????,duvuvu d v ?? ??
问题
解决思路
分部积分公式
一、基本内容
1、分部积分法适用于以下几种类型：
?? x d xxPx d xxP c o s)(s i n)( 或1
? dxexP x)(
2
? x d xxQ ln)(3
? ? dxxQx d xxQ a r c t a n)(a r c s i n)( 或4
? ? b x d xeb x d xe axax c o ss i n 或
5
如以及一些特殊类型
的多项式均为其中 xxQxP )(),(
的乘积）使待积式（或另一部分与视为 dxdv
? ? )()()( xdvxudxxf 转化为
? ? ? dxx xxx d x 23 1a r c s i ns e c6
2、应用分部积分法计算不定积分的
过程可分为四个步骤：
另一部分看成把被积函数中的一部分与选择,,udvu1
除难点，变较难的函数分部积分法的作用是解
的积分，因此此法的积分为较易的函数 uvvu ??
dvu 和关键在于如何分配
)vdv 于求可用凑微分法，这样便因此选取
? ??? )()()()()()( xduxvxvxuxdvxu即代公式7
dxudu ??求微分8
? ? 积分出来把计算积分 dxuv9
指导思想
.过程
分（这实际上也是一个积使之求得先选择 vdv
1
3、选择 u和 dv的一般原则
的‘，开始试探时含有相当容易计算’‘比? ? u d vv d u
定可靠，弄得不和经验的成分，并不一主观愿望’
过一个困难，因此，往往要通好，还有可能越转化越
择计基础上的试探性的选建立在经验、视察、估
进行计算。
的选择并与正式确定过程，有了把握后，再 dvu
? ? 容易计算比原来的不定积分要使 udvv d u2
4、由于在实际应用中，将被积表达式
转化为 Udv的方式一般不是唯一的。
dxxf )(
问题具体分析并无一定之规，要具体与如何选择 dvu
都能有时往往多种选择方案并注意积累经验，而且
选择较情况下，就自然应争取得到最终结果，在这种
为于记忆，有人把它简称有规律可循的，为了便
的问题还是与何选择简单，明快的方案，如 dvu
LIATE 法。其中
对数函数?L
反三角函数?I 代数函数?A
三角函数?T 指数函数?E
们所要计算的选择法的意思是说，我
述五种中任何两积分中当被积函数是上
出现在种乘积时，可以选择先 LIATE
vu ?剩下的作为中的那种函数为
LIATE
求积分,co s? xdxx
解（一） 令,c o s xu ? dvdxxdx ?? 221
? x d xx c o s ??? xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu ?,
解（二） 令,xu? dvxdx d x ?? s i nc o s
? x d xx c o s ?? xxd s i n ??? x d xxx s i ns i n
.c o ss i n Cxxx ???
例 1
求积分,2? dxex x
解,2xu ?,dvdedxe xx ??
? dxex x2 ??? dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx ????
（再次使用分部积分法）,xu? dvdxe x ?
若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数
或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函
数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
例 2
结论
求积分,a rct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu ? dvxdx d x ?? 2
2
? xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx ???
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2 ???? ?
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
????? ?
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx ????
例 3
求积分,ln3? xdxx
解,ln xu ?,4
4
3 dvxddxx ??
? xdxx ln3 ??? dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx ???
若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为,u
例 4
结论
求积分,)s i n ( l n? dxx
解 ? dxx )s i n ( l n ??? )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
? ??? dxxxxxx 1)co s (l n)s i n(l n
???? )][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
???? dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
?? dxx )s i n ( l n,)]co s (l n)[s i n(l n2 Cxxx ???
例 5
求积分,s i n? xdxe x
解 ? xdxe x s i n ?? xx d es i n
??? )( s i ns i n xdexe xx
??? x d xexe xx c o ss i n ??? xx xdexe c o ss i n
???? )c o sc o s(s i n xdexexe xxx
???? x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
?? x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
???
例 6
注意循环形式
求积分 ? ?,1
arc t an
2 dxx
xx
解 ? ?,11 22 xxx ?????
? ?? dxx xx 21a r c t a n? ?? 21a r ct a n xxd
)(a r cta n1a r ct a n1 22 xdxxx ? ????
dxxxxx 222 1 11a rct a n1 ?????? ?
例 7
已知 )( xf 的一个原函数是 2xe ?,求 ? ? dxxfx )(,
解 ? ? dxxfx )( ?? )( xx d f,)()( ??? dxxfxxf
,)( 2? ??? ? Cedxxf x? ? ),()( xfdxxf ????
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf ???
??? ? dxxfx )( ?? dxxfxxf )()(
222 xex ???,Ce ?? ?
例 8
dxxxx ? ???? 22 1 1a r c t a n1
令 tx ta n?
dxx? ? 21 1 ?
?? td tt
2
2 s e ct a n1
1?? tdts e c
Ctt ??? )ta nl n( s ec Cxx ???? )1l n( 2
? ?? dxx xx 21a r c t a n
xx a rct a n1 2??,)1l n( 2 Cxx ????
? ? dxx )1ln ( 2求
? ???? )1ln()1ln( 22 xxdxx解：原式
? ???? dxxxxxx 22 1 2)1l n (
? ? ????? dxxxxx 2
2
2
1
1)1(2)1ln(
? ? ????? dxxdxxx 22 1 122)1l n (
Cxxxx ????? a r c t a n22)1l n ( 2
例 9
? ? dxx ex
x
2
2
)2(
求
? ??? )21(2 xdex x解：原式
? ?????? dxx exxex ex
xxx
2
2
2
22
? ? ????? dxx xxex ex
xx
2
)2(
2
2
?? ???????? xxxx x d ex exdxxex ex 22 22
Cexex ex xx
x
?????? 2
2
例 10
?? x d xI 3s e c求解
?? xdxI 3s e c
??? ?? xxdxxxxd s e ct a nt a ns e ct a ns e c 分部
??? x d xxxx s e ct a nt a ns e c 2
? ??? xdxxxx s e c)1( s e ct a ns e c 2
dxxxxx ? ??? )t a n( s e ct a ns e c 3
xIxx c o slnt a ns e c ???
CxxxI ??? )c o slnt a n( s e c21
例 11
这是一个
循环积分
解出 I即可
? ??? dxexI x 15 3求
解 直接用分部积分，计算过程比较复杂，作变换
? ??? ? )(3 33 3 xdexe x?
?? dxex x 15 3
??
??
dyyee y
xy
3
3
Ceyee yy ??? )(3
Ceexe xx ???? ?? )(
3
333
例 12
下面介绍分部积分速算法
? dxxvxu )(')( ? )()( xdvxu
微分部分 积分部分
)(xu )(' xv
)(' xu )(xv
)('' xu ? dxxv )(
? ? dxxv )(...0
?
+
-
+
?
思
路
结 束
例 12 ? xdxx c o s2 竖式算法
微分部分 积分部分
2x xcos
x2 xsin
2 xcos?
0 xsin?
+
+
-
? x d xx c o s2 Cxxxxx ???? s i n2c o s2s i n2
xvxu co s',2 ??选
结 束
2x
x2
2
0
+
+
-
Cexeex xxx ???? 222
求积分,2? dxex x
xe
xe
xe
xe
? dxex x2
xevxu ?? ',2选例 13
竖式算法
微分部分 积分部分
结 束
xa rcta n
21
1
x?
+
Cxxxx ???? )a r c t a n(21a r c t a n21 2
x
2
2
1x
? dxx a r c t a n
xvxu ?? ',a rc t a n选求积分 ? xdxx a r c t a n
-
调整线
1
)1(2 2
2
x
x
?
0 )a r c t a n(21 xx ?
竖式算法
微分部分 积分部分
例 14
结 束
)1l n ( 2 ?x
21
2
x
x
?
+
Cxxxx ????? )a r c t a n(2)1l n ( 2
1
x
? ? dxx )1l n ( 2
1'),1l n ( 2 ??? vxu选
-
调整线
1
2
2
1
2
x
x
?
0 )a r c t a n(2 xx ?
? ? dxx )1ln ( 2求 竖式算法
微分部分 积分部分
例 15
结 束
? ? dxx xx 21a r c t a n
+
Cxxxx ?????? )1l n (a r c t a n1 22? ? dxx )1l n ( 2
21 x
x
?
-
调整线
1
0
xa rcta n
21
1
x? 21 x?
21
1
x?
)1l n ( 2xx ??
21
',a r c t a n
x
xvxu
?
??选
例 16 竖式算法
微分部分 积分部分
结 束
你
能
熟
练
计
算
以
下
积
分
吗
？
? xdxsin
? xdx2s in
? xdx3s in
? xdx4s in
? xdx5s in
? xdxs i n
? xdx2s i n
? xdx3s i n
? xdx4s i n
? xdx5s i n
合理选择,正确使用分部积
分公式
vu ?,
dxvuuvdxvu ?? ????
小 结
在接连几次应用分部积分公
式时，应注意什么？
思
考
题
注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例 ? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1 ?
? x d xe x c o s dxxexe xx ??? s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2 ?
思考题解答
基本内容
小结
? ??dxxe x
利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu ? 和 )( xvv ? 具有连续导数,
? ?,vuvuuv ????? ? ?,vuuvv ?????
,dxvuuvdxvu ?? ????,duvuvu d v ?? ??
问题
解决思路
分部积分公式
一、基本内容
1、分部积分法适用于以下几种类型：
?? x d xxPx d xxP c o s)(s i n)( 或1
? dxexP x)(
2
? x d xxQ ln)(3
? ? dxxQx d xxQ a r c t a n)(a r c s i n)( 或4
? ? b x d xeb x d xe axax c o ss i n 或
5
如以及一些特殊类型
的多项式均为其中 xxQxP )(),(
的乘积）使待积式（或另一部分与视为 dxdv
? ? )()()( xdvxudxxf 转化为
? ? ? dxx xxx d x 23 1a r c s i ns e c6
2、应用分部积分法计算不定积分的
过程可分为四个步骤：
另一部分看成把被积函数中的一部分与选择,,udvu1
除难点，变较难的函数分部积分法的作用是解
的积分，因此此法的积分为较易的函数 uvvu ??
dvu 和关键在于如何分配
)vdv 于求可用凑微分法，这样便因此选取
? ??? )()()()()()( xduxvxvxuxdvxu即代公式7
dxudu ??求微分8
? ? 积分出来把计算积分 dxuv9
指导思想
.过程
分（这实际上也是一个积使之求得先选择 vdv
1
3、选择 u和 dv的一般原则
的‘，开始试探时含有相当容易计算’‘比? ? u d vv d u
定可靠，弄得不和经验的成分，并不一主观愿望’
过一个困难，因此，往往要通好，还有可能越转化越
择计基础上的试探性的选建立在经验、视察、估
进行计算。
的选择并与正式确定过程，有了把握后，再 dvu
? ? 容易计算比原来的不定积分要使 udvv d u2
4、由于在实际应用中，将被积表达式
转化为 Udv的方式一般不是唯一的。
dxxf )(
问题具体分析并无一定之规，要具体与如何选择 dvu
都能有时往往多种选择方案并注意积累经验，而且
选择较情况下，就自然应争取得到最终结果，在这种
为于记忆，有人把它简称有规律可循的，为了便
的问题还是与何选择简单，明快的方案，如 dvu
LIATE 法。其中
对数函数?L
反三角函数?I 代数函数?A
三角函数?T 指数函数?E
们所要计算的选择法的意思是说，我
述五种中任何两积分中当被积函数是上
出现在种乘积时，可以选择先 LIATE
vu ?剩下的作为中的那种函数为
LIATE
求积分,co s? xdxx
解（一） 令,c o s xu ? dvdxxdx ?? 221
? x d xx c o s ??? xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu ?,
解（二） 令,xu? dvxdx d x ?? s i nc o s
? x d xx c o s ?? xxd s i n ??? x d xxx s i ns i n
.c o ss i n Cxxx ???
例 1
求积分,2? dxex x
解,2xu ?,dvdedxe xx ??
? dxex x2 ??? dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx ????
（再次使用分部积分法）,xu? dvdxe x ?
若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数
或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函
数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
例 2
结论
求积分,a rct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu ? dvxdx d x ?? 2
2
? xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx ???
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2 ???? ?
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
????? ?
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx ????
例 3
求积分,ln3? xdxx
解,ln xu ?,4
4
3 dvxddxx ??
? xdxx ln3 ??? dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx ???
若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为,u
例 4
结论
求积分,)s i n ( l n? dxx
解 ? dxx )s i n ( l n ??? )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
? ??? dxxxxxx 1)co s (l n)s i n(l n
???? )][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
???? dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
?? dxx )s i n ( l n,)]co s (l n)[s i n(l n2 Cxxx ???
例 5
求积分,s i n? xdxe x
解 ? xdxe x s i n ?? xx d es i n
??? )( s i ns i n xdexe xx
??? x d xexe xx c o ss i n ??? xx xdexe c o ss i n
???? )c o sc o s(s i n xdexexe xxx
???? x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
?? x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
???
例 6
注意循环形式
求积分 ? ?,1
arc t an
2 dxx
xx
解 ? ?,11 22 xxx ?????
? ?? dxx xx 21a r c t a n? ?? 21a r ct a n xxd
)(a r cta n1a r ct a n1 22 xdxxx ? ????
dxxxxx 222 1 11a rct a n1 ?????? ?
例 7
已知 )( xf 的一个原函数是 2xe ?,求 ? ? dxxfx )(,
解 ? ? dxxfx )( ?? )( xx d f,)()( ??? dxxfxxf
,)( 2? ??? ? Cedxxf x? ? ),()( xfdxxf ????
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf ???
??? ? dxxfx )( ?? dxxfxxf )()(
222 xex ???,Ce ?? ?
例 8
dxxxx ? ???? 22 1 1a r c t a n1
令 tx ta n?
dxx? ? 21 1 ?
?? td tt
2
2 s e ct a n1
1?? tdts e c
Ctt ??? )ta nl n( s ec Cxx ???? )1l n( 2
? ?? dxx xx 21a r c t a n
xx a rct a n1 2??,)1l n( 2 Cxx ????
? ? dxx )1ln ( 2求
? ???? )1ln()1ln( 22 xxdxx解：原式
? ???? dxxxxxx 22 1 2)1l n (
? ? ????? dxxxxx 2
2
2
1
1)1(2)1ln(
? ? ????? dxxdxxx 22 1 122)1l n (
Cxxxx ????? a r c t a n22)1l n ( 2
例 9
? ? dxx ex
x
2
2
)2(
求
? ??? )21(2 xdex x解：原式
? ?????? dxx exxex ex
xxx
2
2
2
22
? ? ????? dxx xxex ex
xx
2
)2(
2
2
?? ???????? xxxx x d ex exdxxex ex 22 22
Cexex ex xx
x
?????? 2
2
例 10
?? x d xI 3s e c求解
?? xdxI 3s e c
??? ?? xxdxxxxd s e ct a nt a ns e ct a ns e c 分部
??? x d xxxx s e ct a nt a ns e c 2
? ??? xdxxxx s e c)1( s e ct a ns e c 2
dxxxxx ? ??? )t a n( s e ct a ns e c 3
xIxx c o slnt a ns e c ???
CxxxI ??? )c o slnt a n( s e c21
例 11
这是一个
循环积分
解出 I即可
? ??? dxexI x 15 3求
解 直接用分部积分，计算过程比较复杂，作变换
? ??? ? )(3 33 3 xdexe x?
?? dxex x 15 3
??
??
dyyee y
xy
3
3
Ceyee yy ??? )(3
Ceexe xx ???? ?? )(
3
333
例 12
下面介绍分部积分速算法
? dxxvxu )(')( ? )()( xdvxu
微分部分 积分部分
)(xu )(' xv
)(' xu )(xv
)('' xu ? dxxv )(
? ? dxxv )(...0
?
+
-
+
?
思
路
结 束
例 12 ? xdxx c o s2 竖式算法
微分部分 积分部分
2x xcos
x2 xsin
2 xcos?
0 xsin?
+
+
-
? x d xx c o s2 Cxxxxx ???? s i n2c o s2s i n2
xvxu co s',2 ??选
结 束
2x
x2
2
0
+
+
-
Cexeex xxx ???? 222
求积分,2? dxex x
xe
xe
xe
xe
? dxex x2
xevxu ?? ',2选例 13
竖式算法
微分部分 积分部分
结 束
xa rcta n
21
1
x?
+
Cxxxx ???? )a r c t a n(21a r c t a n21 2
x
2
2
1x
? dxx a r c t a n
xvxu ?? ',a rc t a n选求积分 ? xdxx a r c t a n
-
调整线
1
)1(2 2
2
x
x
?
0 )a r c t a n(21 xx ?
竖式算法
微分部分 积分部分
例 14
结 束
)1l n ( 2 ?x
21
2
x
x
?
+
Cxxxx ????? )a r c t a n(2)1l n ( 2
1
x
? ? dxx )1l n ( 2
1'),1l n ( 2 ??? vxu选
-
调整线
1
2
2
1
2
x
x
?
0 )a r c t a n(2 xx ?
? ? dxx )1ln ( 2求 竖式算法
微分部分 积分部分
例 15
结 束
? ? dxx xx 21a r c t a n
+
Cxxxx ?????? )1l n (a r c t a n1 22? ? dxx )1l n ( 2
21 x
x
?
-
调整线
1
0
xa rcta n
21
1
x? 21 x?
21
1
x?
)1l n ( 2xx ??
21
',a r c t a n
x
xvxu
?
??选
例 16 竖式算法
微分部分 积分部分
结 束
你
能
熟
练
计
算
以
下
积
分
吗
？
? xdxsin
? xdx2s in
? xdx3s in
? xdx4s in
? xdx5s in
? xdxs i n
? xdx2s i n
? xdx3s i n
? xdx4s i n
? xdx5s i n
合理选择,正确使用分部积
分公式
vu ?,
dxvuuvdxvu ?? ????
小 结
在接连几次应用分部积分公
式时，应注意什么？
思
考
题
注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例 ? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1 ?
? x d xe x c o s dxxexe xx ??? s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2 ?
思考题解答
