第三章 中值定理与导数的应用
中值定理
罗比达法则
泰勒中值定理
函数单调性的判定法
函数的极值及其求法
最大值最小值问题
曲线的凹凸与拐点
函数图形的描绘
第一节 中值定理
罗尔定理
拉格朗日定理
柯西定理
定理：设 (1) 函数 在闭区间 连续,
（ 2） 在开区间 内可导,
（ 3）
)(xf ],[ ba
),( ba
)()( bfaf ?
则在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,
使得函数 )( xf 在该点的导数等于零,
即 0)(
'
??f
罗尔 （ Rolle） 定理
一、罗尔 (Rolle)定理
例如,32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx
,]3,1[ 上连续在 ?,)3,1( 上可导在 ?,0)3()1( ??? ff且
))3,1(1(,1 ????取,0)( ???f ),1(2)( ??? xxf?
点击图片任意处播放 \暂停
变速直线运动在折
返点处,瞬时速度等
于零,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
.
,
水平的
在该点处的切线是点
上至少有一在曲线弧
C
ABC几何解释,
物理解释,
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有;0)()(lim)( 0 ?? ????????? ???? x fxff x;0)()(li m)( 0 ?? ???????? ???? x fxff x,)( 存在??f?
).()( ?????? ?? ff,0)( ???? f只有
若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论
可能不成立,
例如,];2,2[,??? xxy
,
,)0(]2,2[
一切条件
满足罗尔定理的不存在外上除在 f ??
.0)( ?? xf但在内找不到一点能使;0)0(],1,0(,1 ???? fxxy
].1,0[,?? xxy
又例如,
注意
例 1,1
0155
的正实根
有且仅有一个小于证明方程 ??? xx
证,15)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ??? ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
)1(5)( 4 ??? xxf但 ))1,0((,0 ?? x 矛盾,.为唯一实根?
若 （ 1 ） 函数 f ( x ) 在 闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ） )( xf 在开区间 ),( ba 内可导,
则 在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,
使得 ))(()()(
'
abfafbf ????
).()( bfaf ?去掉了与罗尔定理相比条件中
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
拉格朗日（ Lagrange）中值定理
定理
注
意
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
a b1? 2?x xo
y
)(xfy ?
A
BC
DN
M
.
,
AB
C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
几何解释,
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量
与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),()( 内可导在在设 baxf
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx ???
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式, 微分中值定理
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
例 2 ).11(2a r c c o sa r c s i n ???
??? xxx证明
证 ]1,1[,a r c c o sa r c s i n)( ???? xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf ???????,0?
]1,1[,)( ???? xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0( ??f?又 20 ???,2??
.2??C即
.2a rc co sa rc s in ???? xx
例 3,)1l n(1,0 xxx
xx ???
?? 时证明当
证 ),1ln ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1ln( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
若（ 1 ）函数 )( xf 及 )( xF 在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ） )( xf 在开区间 ),( ba 内可导,
（ 3 ）且 )(
'
xF 在 ),( ba 内每一点处均不为零,
则在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,
使得
)(
)(
)()(
)()(
'
'
?
?
?
?
?
F
f
bFaF
bfaf
柯西（ Cauchy）中值定理
定理
三、柯西 (Cauchy)中值定理
)( 1?F )( 2?F xo
y ??
?
?
?
)(
)(
xfY
xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
??
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
几何解释,
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
??
???
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( ???
?
? f
ab
afbf
例 4
)].0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数
证 分析, 结论可变形为
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
)(
2 ???
??
xx
xf,)( 2xxg ?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0( ??
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff ?????即
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF ?)()()( bfaf ?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间
的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
小 结
试举例说明拉格朗日中值定理的
条件缺一不可,
思
考
题
?
?
?
?
???
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf ??且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个都可说明问题,
思考题解答
一,填空题,
1, 函数
4
)( xxf ? 在区间 [1,2] 上满足拉格朗日中值
定理，则 ξ =_____ _ _,
2, 设
)4)(3)(2)(1()( ????? xxxxxf
,方程
0)( ?? xf
有 ____ _____ _ __ 个根，它们分别在区间
_____________ 上,
3, 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是
_________________,
4, 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的
__ ___ _ _ 与函数在这区间内某点处的 ___ _ ___ 之间
的关系,
5, 如果函数
)( xf
在区间
I
上的导数 ____ _ ____ _,那
么
)( xf
在区间
I
上是一个常数,
练 习 题
二、试证明对函数 rqxpxy ???
2
应用拉氏中值定理
时所求得的点 ? 总是位于区间的正中间,
三、证明等式
2
1
ar c t an1ar c s i n
2
2
?
?
?
??
x
x
x
))1,0(( ?x
,
四、设
0?? ba
，
1?n
，证明
)()(
11
banababanb
nnnn
?????
??
,
五,证明下列不等式：
1, baba ??? a r c ta na r c ta n ；
2,
时当 1?x
，
exe
x
?
,
六、证明方程 015 ??? xx 只有一个正根,
七、设函数 )( xfy ? 在 0?x 的某邻域内且有 n 阶导数,
且 )0()0()0(
)1( ?
????
n
fff ? 试用柯西中值定理
证明：
!
)()(
)(
n
xf
x
xf
n
n
?
?,（ 10 ?? ? ）,
八、设
)( xf
在 [
ba,
] 内上连续，在 (
ba,
) 内可导，若
ba ??0
,则在 (
ba,
) 内存在一
?点
，使
)) ] (()([)()( baffabfbaf ???? ???
],
中值定理
罗比达法则
泰勒中值定理
函数单调性的判定法
函数的极值及其求法
最大值最小值问题
曲线的凹凸与拐点
函数图形的描绘
第一节 中值定理
罗尔定理
拉格朗日定理
柯西定理
定理：设 (1) 函数 在闭区间 连续,
（ 2） 在开区间 内可导,
（ 3）
)(xf ],[ ba
),( ba
)()( bfaf ?
则在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,
使得函数 )( xf 在该点的导数等于零,
即 0)(
'
??f
罗尔 （ Rolle） 定理
一、罗尔 (Rolle)定理
例如,32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx
,]3,1[ 上连续在 ?,)3,1( 上可导在 ?,0)3()1( ??? ff且
))3,1(1(,1 ????取,0)( ???f ),1(2)( ??? xxf?
点击图片任意处播放 \暂停
变速直线运动在折
返点处,瞬时速度等
于零,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
.
,
水平的
在该点处的切线是点
上至少有一在曲线弧
C
ABC几何解释,
物理解释,
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有;0)()(lim)( 0 ?? ????????? ???? x fxff x;0)()(li m)( 0 ?? ???????? ???? x fxff x,)( 存在??f?
).()( ?????? ?? ff,0)( ???? f只有
若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论
可能不成立,
例如,];2,2[,??? xxy
,
,)0(]2,2[
一切条件
满足罗尔定理的不存在外上除在 f ??
.0)( ?? xf但在内找不到一点能使;0)0(],1,0(,1 ???? fxxy
].1,0[,?? xxy
又例如,
注意
例 1,1
0155
的正实根
有且仅有一个小于证明方程 ??? xx
证,15)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ??? ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
)1(5)( 4 ??? xxf但 ))1,0((,0 ?? x 矛盾,.为唯一实根?
若 （ 1 ） 函数 f ( x ) 在 闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ） )( xf 在开区间 ),( ba 内可导,
则 在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,
使得 ))(()()(
'
abfafbf ????
).()( bfaf ?去掉了与罗尔定理相比条件中
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
拉格朗日（ Lagrange）中值定理
定理
注
意
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
a b1? 2?x xo
y
)(xfy ?
A
BC
DN
M
.
,
AB
C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
几何解释,
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量
与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),()( 内可导在在设 baxf
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx ???
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式, 微分中值定理
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
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例 2 ).11(2a r c c o sa r c s i n ???
??? xxx证明
证 ]1,1[,a r c c o sa r c s i n)( ???? xxxxf设
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]1,1[,)( ???? xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0( ??f?又 20 ???,2??
.2??C即
.2a rc co sa rc s in ???? xx
例 3,)1l n(1,0 xxx
xx ???
?? 时证明当
证 ),1ln ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1ln( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
若（ 1 ）函数 )( xf 及 )( xF 在闭区间 ],[ ba 上连续,
（ 2 ） )( xf 在开区间 ),( ba 内可导,
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?
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定理
三、柯西 (Cauchy)中值定理
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,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
几何解释,
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
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例 4
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:,)1,0(,]1,0[)(
fff
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???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数
证 分析, 结论可变形为
?
???
?
?
2
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)0()1( fff,
)(
)(
2 ???
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,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0( ??
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2
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中值定理
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中值定理
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罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间
的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
小 结
试举例说明拉格朗日中值定理的
条件缺一不可,
思
考
题
?
?
?
?
???
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf ??且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个都可说明问题,
思考题解答
一,填空题,
1, 函数
4
)( xxf ? 在区间 [1,2] 上满足拉格朗日中值
定理，则 ξ =_____ _ _,
2, 设
)4)(3)(2)(1()( ????? xxxxxf
,方程
0)( ?? xf
有 ____ _____ _ __ 个根，它们分别在区间
_____________ 上,
3, 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是
_________________,
4, 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的
__ ___ _ _ 与函数在这区间内某点处的 ___ _ ___ 之间
的关系,
5, 如果函数
)( xf
在区间
I
上的导数 ____ _ ____ _,那
么
)( xf
在区间
I
上是一个常数,
练 习 题
二、试证明对函数 rqxpxy ???
2
应用拉氏中值定理
时所求得的点 ? 总是位于区间的正中间,
三、证明等式
2
1
ar c t an1ar c s i n
2
2
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,
四、设
0?? ba
，
1?n
，证明
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11
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nnnn
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,
五,证明下列不等式：
1, baba ??? a r c ta na r c ta n ；
2,
时当 1?x
，
exe
x
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,
六、证明方程 015 ??? xx 只有一个正根,
七、设函数 )( xfy ? 在 0?x 的某邻域内且有 n 阶导数,
且 )0()0()0(
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证明：
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