第四节 函数单调性的判定法
单调性的判别法
单调区间求法
小结
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
0)( ?? xf 0)( ?? xf
定理
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导
内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
?
??
???
?
a b
B
A
一、单调性的判别法
证 ),,(,21 baxx ??,21 xx ?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??
,012 ?? xx?
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调增加在 baxfy ??
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调减少在 baxfy ??
例 1
解
.1 的单调性讨论函数 ??? xey x
.1??? xey?
,)0,( 内在 ??,0??y
函数单调减少；?
,),0( 内在 ??,0??y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用
导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一
点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,????D?又
如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
若函数在其定义域的某个区间内是单调的，
则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间
的分界点．
.
,)(
)(0)(
数的符号
然后判断区间内导的定义区间来划分函数
不存在的点的根及用方程
xf
xfxf ???
问题
定义
方法
二、单调区间求法
例 2
解
.312
92)( 23
的单调区间
确定函数
??
??
x
xxxf
).,(,????D?
12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ?? xx
得，解方程 0)( ?? xf,2,1 21 ?? xx
时，当 1???? x,0)( ??f 上单调增加；在 ]1,( ???
时，当 21 ?? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 ???? x2,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),2[ ???
单调区间为,]1,(??,]2,1[ ).,2[ ??
例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf ?
).,(,????D?
)0(,3 2)( 3 ??? xxxf
.,0 导数不存在时当 ?x
时，当 0???? x
,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),0[ ??? 时，当 ???? x0
,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]0,( ???
单调区间为,]0,(?? ).,0[ ??
3 2xy ?
例 4
证
.)1l n(,0 成立试证时当 xxx ???
),1ln ()( xxxf ???设,1)( xxxf ???则
,0)(),0(,),0[)( ?????? xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[ ???,0)0( ?f?
时，当 0?? x,0)1l n ( ??? xx ).1ln( xx ??即
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,),( 上单调增加但在 ????
注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的
重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，
结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方
程实根的个数和证明不等式,
小 结
若 0)0( ??f,是否能断定 )( xf 在原点的
充分小的邻域内单调递增？
思
考
题
不能断定, 例 ?
?
?
?
?
?
??
?
0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
x
x
xx
xf
?? )0(f )1s i n21(l i m 0 xxx ??????? 01 ??
但 0,1co s21s i n41)( ????? xxxxxf
思考题解答
??
?
)
2
1
2(
1
k
x
当 时，
0
)
2
1
2(
4
1)( ?
??
???
k
xf
?? kx 2
1当 时,01)( ???? xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻
域内,都不单调递增．
k 00 ?x
)(xf
一,填空题：
1, 函数 71862
23
???? xxxy 单调区间为 ____ __ __
_ ___ __ ___ __ __,
2, 函数
2
1
2
x
x
y
?
? 在区间 [ -1,1] 上单调 ___ __ __ _,
在 ____ __ ___ 上单调减,
3,函数
22
ln xxy ?? 的单调区间为 _____ __ ___ __,
单减区间为 ____ __ ___ __ __.
二,确定下列函数的单调区间：
1,
xxx
y
694
10
23 ??
? ；
2, 3
2))(2( xaaxy ???
( 0?a ) ；
3, xxy 2s i n??,
练 习 题
三,证明下列不等式：
1, 当 0?x 时，
22
1)1l n (1 xxxx ????? ；
2, 当 4?x 时，
2
2 x
x
? ；
3, 若 0?x,则
3
6
1
s i n xxx ??,
四,方程 )0(ln ?? aaxx 有几个实根,
五,设 )( xf 在 [
ba,
] 上连续，在 (
ba,
) 内
)( xf ??
,试证
明：对于 [
ba,
] 上任意两 1
x
,2
x
有
2
)()(
)
2
(
2121
xfxfxx
f
?
?
?
[ 提示：方法 （ 1 ）
0)( ??? xf
，
)( xf ?
单增；方法 （ 2 ）
0)( ??? xf
，
利用泰勒公式 ]
一,1, ),3[],1,( ????? 单调增加,]3,1[ ? 单调减少；
2,增加,),1[],1,( ?????
3, ]1,( ???,),1[ ?? ； ]1,0(],1,(];1,0(),0,1[ ????,
二,1,在 ),1[],
2
1
,0(),0,( ???? 内单调减少,
在
]1,
2
1
[
上单调增加；
2,在
),[],
3
2
,( ???? aa
内单调增加,
在
],
3
2
[ aa
上单调减少；
练习题解答 请记录
3,在 ]
32
,
2
[
?
?
?? kk
上单调增加,
在 ]
22
,
32
[
?
?
??
?
? kk
上单调减少,),2,1,0( ????k,
四,(1)
e
a
1
? 时没有实根；
(2)
e
a
1
0 ?? 时有两个实根；
(3)
e
a
1
? 时只有
ex ?
一个实根,
单调性的判别法
单调区间求法
小结
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
0)( ?? xf 0)( ?? xf
定理
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导
内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
?
??
???
?
a b
B
A
一、单调性的判别法
证 ),,(,21 baxx ??,21 xx ?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??
,012 ?? xx?
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调增加在 baxfy ??
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调减少在 baxfy ??
例 1
解
.1 的单调性讨论函数 ??? xey x
.1??? xey?
,)0,( 内在 ??,0??y
函数单调减少；?
,),0( 内在 ??,0??y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用
导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一
点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,????D?又
如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
若函数在其定义域的某个区间内是单调的，
则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间
的分界点．
.
,)(
)(0)(
数的符号
然后判断区间内导的定义区间来划分函数
不存在的点的根及用方程
xf
xfxf ???
问题
定义
方法
二、单调区间求法
例 2
解
.312
92)( 23
的单调区间
确定函数
??
??
x
xxxf
).,(,????D?
12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ?? xx
得，解方程 0)( ?? xf,2,1 21 ?? xx
时，当 1???? x,0)( ??f 上单调增加；在 ]1,( ???
时，当 21 ?? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 ???? x2,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),2[ ???
单调区间为,]1,(??,]2,1[ ).,2[ ??
例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf ?
).,(,????D?
)0(,3 2)( 3 ??? xxxf
.,0 导数不存在时当 ?x
时，当 0???? x
,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),0[ ??? 时，当 ???? x0
,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]0,( ???
单调区间为,]0,(?? ).,0[ ??
3 2xy ?
例 4
证
.)1l n(,0 成立试证时当 xxx ???
),1ln ()( xxxf ???设,1)( xxxf ???则
,0)(),0(,),0[)( ?????? xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[ ???,0)0( ?f?
时，当 0?? x,0)1l n ( ??? xx ).1ln( xx ??即
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,),( 上单调增加但在 ????
注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的
重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，
结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方
程实根的个数和证明不等式,
小 结
若 0)0( ??f,是否能断定 )( xf 在原点的
充分小的邻域内单调递增？
思
考
题
不能断定, 例 ?
?
?
?
?
?
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0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
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思考题解答
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1当 时,01)( ???? xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻
域内,都不单调递增．
k 00 ?x
)(xf
一,填空题：
1, 函数 71862
23
???? xxxy 单调区间为 ____ __ __
_ ___ __ ___ __ __,
2, 函数
2
1
2
x
x
y
?
? 在区间 [ -1,1] 上单调 ___ __ __ _,
在 ____ __ ___ 上单调减,
3,函数
22
ln xxy ?? 的单调区间为 _____ __ ___ __,
单减区间为 ____ __ ___ __ __.
二,确定下列函数的单调区间：
1,
xxx
y
694
10
23 ??
? ；
2, 3
2))(2( xaaxy ???
( 0?a ) ；
3, xxy 2s i n??,
练 习 题
三,证明下列不等式：
1, 当 0?x 时，
22
1)1l n (1 xxxx ????? ；
2, 当 4?x 时，
2
2 x
x
? ；
3, 若 0?x,则
3
6
1
s i n xxx ??,
四,方程 )0(ln ?? aaxx 有几个实根,
五,设 )( xf 在 [
ba,
] 上连续，在 (
ba,
) 内
)( xf ??
,试证
明：对于 [
ba,
] 上任意两 1
x
,2
x
有
2
)()(
)
2
(
2121
xfxfxx
f
?
?
?
[ 提示：方法 （ 1 ）
0)( ??? xf
，
)( xf ?
单增；方法 （ 2 ）
0)( ??? xf
，
利用泰勒公式 ]
一,1, ),3[],1,( ????? 单调增加,]3,1[ ? 单调减少；
2,增加,),1[],1,( ?????
3, ]1,( ???,),1[ ?? ； ]1,0(],1,(];1,0(),0,1[ ????,
二,1,在 ),1[],
2
1
,0(),0,( ???? 内单调减少,
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]1,
2
1
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上单调增加；
2,在
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内单调增加,
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2
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上单调减少；
练习题解答 请记录
3,在 ]
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,
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[
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,
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e
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1
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一个实根,
