第六节 最大值最小值问题
最值的求法
应用举例
小结
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存
在为零的点，则并且至多有有限个导数
处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf一、最值的求法
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极
值就是最值,(最大值或最小值 )
步骤,
例 1
解 )1)(2(6)( ???? xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值
的在求函数 ????? xxxy
得解方程,0)( ?? xf,1,2 21 ??? xx
计算 ?? )3(f ;23 ?? )2(f ;34
?)1(f ;7 ;142?)4(f
二、应用举例
，最大值 1 4 2)4( ?f比较得,7)1( ?f最小值
141232 23 ???? xxxy
点击图片任意处播放 \暂停
例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟
的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的
南岸 B处向正东追击，
速度为 2千米 /分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
解
公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间
处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts ????公里4B
?
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss ?
?? )(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
???
?
,0)( ?? ts令
得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
实际问题求最值应注意,
例 3 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定
为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租
金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护
费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套,?????? ?? 10 1 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( ?? x ??
??
?
? ??
10
18050 x
?????? ??? 1068)20()( xxxR
?????? ????????? ??? 101)20(1068)( xxxR 570 x??
0)( ?? xR 3 5 0?? x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为 ?
?
??
?
? ???
10
35068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?
形面积最大．
所围成的三角
及线
处的切线与直
使曲线在该点
上求一点，曲边成一个曲边三角形，在
围及抛物线，由直线
80
80
2
2
??
?
???
xy
xy
xyxy
点击图片任意处播放 \暂停
例 4
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为
为则切线 PT
),(2 000 xxxyy ???
,200 xy ?? ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB ?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC ???? ? )80( 0 ?? x
,0)1616643(41 020 ?????? xxS令
解得 ).(16,316 00 舍去?? xx
8)316( ????s?,0?,2174096)316( 为极大值?? s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故 ?s
注意最值与极值的区别,
小 结
最值是整体概念而极值是
局部概念,
实际问题求最值的步骤,
若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最
小值，且 )( af ? 存在，是否一定有 0)( ?? af？
思
考
题
结论不成立, 因为最值点不一定是内点,
例 xxfy ?? )( ]1,0[?
在 有最小值，但0?x 01)0( ???f
思考题解答
一,填空题：
1,最值可 _ ___ __ __ ___ __ 处取得,
2,函数
23
32 xxy ?? ( 41 ??? x ) 的最大值为 __ __
____ _ ；最小值为 ___ __ ___ __,
3, 函数
2
1 0 0 xy ?? 在 [0,8] 上的最大值为 _ __ ___
____ __ ；最小值为 __ __ ___ __ __,
4, 设有重量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力
f
的作用而开始移动，摩擦系数
?
=0,25,问力
f
与
水平线的交角 ? 为 __ __ _ 时，才可使力
f
的大小为
最小，则此问题的目标函数为 _ __ __ ___ _ _ _ _ __,
讨论区间为 __ __ ___ __ ___ _.
练 习 题
5, 从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个
漏斗，问留下的扇形的中心角为 ___ __ _ _ _ _ 时，做
成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
___ __ ___ __ ___ __ _ 考察区间为 ___ __ ___ _ _ _ _ ___,
二,求函数
x
xy
54
2
?? ( 0?x ) 的最值,
三,求数列
?
?
?
?
?
?
n
n
2
10
的最大项,
四,要造一圆柱形油灌，体积为
V
，问底半径
r
和高
h
等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与
高的比是多少？
五、由 2xy ?,0?y,ax ? ( 0?a ) 围成一曲边三角形
O AB,在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲
线 2xy ? 的切线与 OA, OB 围成的三角形面积最大,
一,1,区间端点及极值点；
2,最大值 80)4( ?y,最小值 5)1( ???y ；
3, 10,6 ； 4, )
2
,0[,
s i nc os
,ar c t an
?
????
?
??
p
f ；
5, ?
3
8
,)2,0(,4
24
642
2
3
?????
?
?
R
V,
二、
3??x
时函数有最小值 27.
三,14.
四,.1:1:;
2
2,
2
33
?
?
?
?
? hd
v
h
v
r
五,)
9
4
,
3
2
(
2
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练习题解答 请记录
最值的求法
应用举例
小结
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存
在为零的点，则并且至多有有限个导数
处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf一、最值的求法
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极
值就是最值,(最大值或最小值 )
步骤,
例 1
解 )1)(2(6)( ???? xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值
的在求函数 ????? xxxy
得解方程,0)( ?? xf,1,2 21 ??? xx
计算 ?? )3(f ;23 ?? )2(f ;34
?)1(f ;7 ;142?)4(f
二、应用举例
，最大值 1 4 2)4( ?f比较得,7)1( ?f最小值
141232 23 ???? xxxy
点击图片任意处播放 \暂停
例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟
的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的
南岸 B处向正东追击，
速度为 2千米 /分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
解
公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间
处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts ????公里4B
?
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss ?
?? )(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
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???
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,0)( ?? ts令
得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
实际问题求最值应注意,
例 3 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定
为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租
金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护
费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套,?????? ?? 10 1 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( ?? x ??
??
?
? ??
10
18050 x
?????? ??? 1068)20()( xxxR
?????? ????????? ??? 101)20(1068)( xxxR 570 x??
0)( ?? xR 3 5 0?? x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为 ?
?
??
?
? ???
10
35068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?
形面积最大．
所围成的三角
及线
处的切线与直
使曲线在该点
上求一点，曲边成一个曲边三角形，在
围及抛物线，由直线
80
80
2
2
??
?
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xy
xy
xyxy
点击图片任意处播放 \暂停
例 4
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为
为则切线 PT
),(2 000 xxxyy ???
,200 xy ?? ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB ?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC ???? ? )80( 0 ?? x
,0)1616643(41 020 ?????? xxS令
解得 ).(16,316 00 舍去?? xx
8)316( ????s?,0?,2174096)316( 为极大值?? s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故 ?s
注意最值与极值的区别,
小 结
最值是整体概念而极值是
局部概念,
实际问题求最值的步骤,
若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最
小值，且 )( af ? 存在，是否一定有 0)( ?? af？
思
考
题
结论不成立, 因为最值点不一定是内点,
例 xxfy ?? )( ]1,0[?
在 有最小值，但0?x 01)0( ???f
思考题解答
一,填空题：
1,最值可 _ ___ __ __ ___ __ 处取得,
2,函数
23
32 xxy ?? ( 41 ??? x ) 的最大值为 __ __
____ _ ；最小值为 ___ __ ___ __,
3, 函数
2
1 0 0 xy ?? 在 [0,8] 上的最大值为 _ __ ___
____ __ ；最小值为 __ __ ___ __ __,
4, 设有重量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力
f
的作用而开始移动，摩擦系数
?
=0,25,问力
f
与
水平线的交角 ? 为 __ __ _ 时，才可使力
f
的大小为
最小，则此问题的目标函数为 _ __ __ ___ _ _ _ _ __,
讨论区间为 __ __ ___ __ ___ _.
练 习 题
5, 从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个
漏斗，问留下的扇形的中心角为 ___ __ _ _ _ _ 时，做
成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
___ __ ___ __ ___ __ _ 考察区间为 ___ __ ___ _ _ _ _ ___,
二,求函数
x
xy
54
2
?? ( 0?x ) 的最值,
三,求数列
?
?
?
?
?
?
n
n
2
10
的最大项,
四,要造一圆柱形油灌，体积为
V
，问底半径
r
和高
h
等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与
高的比是多少？
五、由 2xy ?,0?y,ax ? ( 0?a ) 围成一曲边三角形
O AB,在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲
线 2xy ? 的切线与 OA, OB 围成的三角形面积最大,
一,1,区间端点及极值点；
2,最大值 80)4( ?y,最小值 5)1( ???y ；
3, 10,6 ； 4, )
2
,0[,
s i nc os
,ar c t an
?
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?
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3
8
,)2,0(,4
24
642
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R
V,
二、
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时函数有最小值 27.
三,14.
四,.1:1:;
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五,)
9
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,
3
2
(
2
aa,
练习题解答 请记录
