第六节
隐函数求导与参数方程求导
隐函数的导数
对数求导法
由参数方程所确定的函数的导数
小结
.)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
隐函数不易显化或不能显化如何求导?
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
定义
问题
隐函数求导法则,
一、隐函数的导数
例 1,,
0
0?
???
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解,求导方程两边对 x
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
?
??,0,0 ?? yx由原方程知
0
00
?
?? ?
???
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点
在该点的法并证明曲线的切线方程点
上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC ??
解,求导方程两边对 x yxyyyx ????? 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
?
????
.1??
所求切线方程为 )23(23 ???? xy,03 ??? yx即
2
3
2
3 ??? xy法线方程为,xy ?即 显然通过原点,
例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx ?????
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 ?????? yyyxyx
得代入 1,0 ?? yx ;4110 ?? ??yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 ??????????? yyyyyxyx
得41
1
0 ??
?
?
y
xy,1,0 ?? yx代入,16
1
1
0 ????
?
?
y
xy
观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy ?
?
???
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导
方法求出导数,
--------对数求导法
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
方法,
适用范围,
二、对数求导法
例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
??????? ????? xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy ??????? )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 ???????? xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x ?? ??? 求设
例 5
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
一般地 )0)(()()(
)( ?? xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd ???又
)(ln)()( xfdxdxfxf ????
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv ???????
)(ln)()(ln xuxvxf ???
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
例如
??
?
?
?
,
,2
2ty
tx
2
xt ?
22 )
2(
xty ???
4
2x
? xy 21???
消去参数
消参困难或无法消参如何求导?
t
问题
三、由参数方程所确定的函数的导数
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?即
,)( )( 中在方程
??
?
??
??
ty
tx
,)( )( 二阶可导若函数
??
?
??
??
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????即
例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
c o s1
s i n
?? taa
ta
co s
s i n
??
2
co s1
2
s i n
2
?
?
?
?? ?
?tdx
dy
.1?
.方程
处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n( ??
??
?
??
?? t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt ???? ?? 时当
所求切线方程为
)12( ???? ?axay
)22( ???? axy即
例 7
解
.)2(;)1(
,
2
1
s in
,c os
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻
的运动方向炮弹在时刻求
其运动方程为发射炮弹
发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映
时刻的切线方向轨迹在
时刻的运动方向即在
t
t
)c o s(
)
2
1s in(
0
2
0
??
???
?
tv
gttv
dx
dy
?
?
c o s
s i n
0
0
v
gtv ??
.co ss i n
0
00
0 ?
????
? v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
?? ???? ?co s0v?
00 )2
1s in( 2
0 tttty gttvdt
dyv
?? ????? 00 s i n gtv ?? ?
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv ?? 2020020 s i n2 tggtvv ??? ?
例 8
解
.
s i n
co s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
?
?
?
?
?
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
)s i n(co s3
co ss i n3
2
2
tta
tta
?? tta n??
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
)co s(
)t a n(
3 ?
???
ta
t
tta
t
s inc o s3
s e c
2
2
?
??
ta
t
s i n3
s e c 4?
隐函数求导法则, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 解法, 通过建立两者之间的关系,用链
式求导法求解,
小 结
设
?
?
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
，由
)(
)(
t
t
y
x
?
?
?
?
?? )0)(( ?? t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
?
?
??
??
???,对吗？
思
考
题
不对．
? ?xx ydxdy ???? dxdtdtyd x ??? )(1)( )( ttt
t ??
?
??
??
?
??
?
?
?
??
思考题解答