二重积分
三重积分
重积分的应用
第九章 重积分
第四节 三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念
小结
在直角坐标系下计算三重积分
设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域 ? 上的有界
函数，将闭区域 ? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也
表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
???
作乘积 iiii vf ??),,( ???, ),,2,1( ni ??,并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值
?
趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),,( zyxf 在闭区域
?
上的 三重积分,记为
???
?
dvzyxf ),,(,
一、三重积分的定义
即 ???
?
dvzyxf ),,( iii
n
i
i vf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
.
.叫做体积元素其中 dv
,?的平面来划分
用平行于坐标面在直角坐标系中，如果
.lkji zyxv ?????则
三重积记为
???
?
d x d y d zzyxf ),,( iii
n
i
i vf ?? ?
?
?
),,(l i m
1
0
???
?
.
.积元素叫做直角坐标系中的体其中 d x d y d z
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
x
y
z
o
?
D
1z
2z 2S
1S ),(
1 yxzz ?
),(2 yxzz ?
a
b
)(1 xyy?
)(2 xyy?),( yx
如图，
,D
xoy
面上的投影为闭区域
在闭区域 ?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
?
?
,),( 作直线过点 Dyx ?
穿出．穿入，从从 21 zz
二、三重积分的计算
函数，则
的只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
?? ),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),( ),(2
1?? ???
?
D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF ??
,),()(,21 bxaxyyxyD ????? 得
?
???
?
dvzyxf ),,(
.),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
注意
于两点情形．
相交不多的边界曲面直线与闭区域
内部的轴且穿过闭区域这是平行于
S
z
?
?
例 1 化三重积分 ???
?
? d x d y d zzyxfI ),,( 为三
次积分，其中积分区域 ? 为由曲面
22
2 yxz ??
及
2
2 xz ?? 所围成的闭区域,
解 由 ??
?
??
??
2
22
2
2
xz
yxz
,
得交线投影区域
,122 ?? yx
故 ?,
?
?
?
?
?
????
?????
???
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,(1 1 2 21 1
2
22
2
2? ???
?
?
?
????
x
yx
x
x dzzyxfdydxI
例 2 化三重积分 ???
?
? d x d y d zzyxfI ),,( 为三
次积分，其中 积分区域
? 为由曲面
22
yxz ??,
2
xy ?,1?y,0?z 所围
成的空间闭区域,
? ??? ?? 1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
解
.11,1
,0:
2
22
?????
????
xyx
yxz
如图，
x y
z
例 3 将 ? ? ?
?1
0
1
0 0
22
),,(
yx
dzzyxfdydx 按 xzy,,
的次序积分,
1D,
?
?
?
??
??
10
0 2
y
xz
解
1D
?? ?? ? 1010 0 ),,(2 dyzyxfdzdx x原式
?? ? ?
? 11
0
1
2
2
2 ),,(xz
x
x dyzyxfdzdx,
2D,
?
?
?
???
???
1
1
2
22
yxz
xzx
2D
截面法的一般步骤：
( 1) 把积分区域 ? 向某轴 （例如 z 轴）投影，得投
影区间 ],[ 21 cc ；
( 2 ) 对 ],[ 21 ccz ? 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面去
截 ?,得截面 zD ;
( 3 ) 计算二重积分 ??
z
D
d x d yzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
( 4 ) 最后计算单积分 ?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z
例 4 计算三重积分 ???
?
z d x d yd z,其中 ? 为三个
坐标面及平面 1??? zyx 所围成的闭区域,
解 （一） ???
?
zd x d yd z,
1
0 ???
?
zD
d x d yz d z
}1|),{( zyxyxD z ????
)1)(1(21 zzd x d y
zD
?????
原式 ? ???
1
0
2)1(
2
1 dzzz
24
1?
.
x
o
z
y1
1
1
???
?
z d x d y d z
解 （二）
? ?? ? ??? z zy dxdyz d z 10 1010
?? ? ??? z dyzyz d z 1010 )1(
? ??? 10 2)1(21 dzzz 241?,
x
o
z
y1
1
1
例 5 计算三重积分 dxd y dzz???
?
2
，其中 ? 是由
椭球面 1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
所成的空间闭区域,
:?,|),,{( czczyx ???
}1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
原式,2 ???
?
?
zD
c
c
d x d ydzzx
y
z
o
zD解
)1()1( 2
2
2
2
2
2
c
zb
c
zad x d y
zD
?????? ??
),1( 2
2
c
zab ???
?? ??? c c dzzczab 22
2
)1(,154 3a b c??
|),{( yxD z ?? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
原式
例 6 计算三重积分 d x d y d zxy???
?
?
2
1,其中 ?
由曲面
22
1 zxy ????, 122 ?? zx, 1?y 所
围成,
将 ? 投影到 z ox 平面得
:xzD 122 ?? zx,
先对 y 积分，
再求 xzD 上二重积分,
解 如图,
??? ?????
1
1
2
221 zx
D
dyd x d zxy
xz
原式
dzzxxdx x
x 2
1
221
1
1
1
2
2
2
??? ? ?
?
?
??
dxzzxx x x2 21 1
3
21
1
2 |)
3(1
?
??? ??? ?
?? ??? 1 1 42 )21(31 dxxx.4528?
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
d x d yd zdv ?
（计算时将三重积分化为三次积分）
三、小结
思考题? 为六个平面 0?x, 2?x, 1?y, 42 ?? yx,
xz ?, 2?z 围成的区域,),,( zyxf 在 ? 上连续，
则累次积分 ____ ???
?
? dvzyxf ),,(,
选择题,;),,()( 20 1
22 2
? ? ?? x x dzzyxfdydxA;),,()( 20 221 2? ? ??
x x
dzzyxfdydxB;),,()( 20 1
22
2? ? ?
? x x dzzyxfdydxC
.),,()( 20 221 2? ? ??
x
x dzzyxfdydxD
一,填空题,
1, 若 ? 由曲面
22
yxz ?? 及平面 1?z 所围成,
则三重积分
???
?
d x d y d zzyxf ),,( 化为三次积分是
_ _ ____ ____ ____ _ ____ _ ___,
2, 若
?
是由曲面
0( ?? cxycz
),1
2
2
2
2
??
b
y
a
x
,
0?z
所
围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分
???
?
d x d y d zzyxf ),,( 可化为三次积分为 ____ _____,
3, 若
10,10,10,??????? zyx
,则
???
?
?? d x d y d zzyx )( 可化为三次积分 _______ ___,
其值为 ________ ____.
练 习 题
4,若 ?, 是由 ),0(,0,0 ???? hhzzx
)0(2
222
????? aayxayx 及 所围成,则三重积
分
???
?
dvzyxf ),,( 可化为：
(1) 次序为 xyz ?? 的三次积分 ____ _____ ___.
(2) 次序为 zxy ?? 的三次积分 ______ ____ __.
(3) 次序为 yzx ?? 的三次积分 _________ ___.
二、计算 ???
?
d x d y d zzxy
32
,其中
?
是由曲面 xyz ?,与平
面 01,??? zxxy 和 所围成的闭区域,
三、计算 ???
?
x z d x d y d z,其中 ? 是曲面 1,,0 ??? yyzz,
以及抛物柱面
2
xy ? 所围成的闭区域,
四、计算 ???
?
?
dv
yx
22
1
,其中 ? 是由六个顶点
),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1( DCBA
)4,2,2(),0,2,2( FE 组成的三棱锥台,
一,1,
???
?
?
???
11
1
1
1
22
2
2
),,(
yx
x
x
dzzyxfdydx ；
2,
???
?
c
xy
a
x
ba
dzzyxfdydx
0
1
00
),,(
2
2；
3,
???
??
1
0
1
0
1
0
)( dzzyxdydx,
2
3；
4, ???
?
?
hxa
xa
a
dzzyxfdydx
0
2
0
),,(
22
，
???
?
?
22
2
00
),,(
xa
xa
ah
dyzyxfdxdz；
??????
??
?
?
2222
00
2
20
2
0
),,(),,(
yaha
a
ya
ya
h
a
dxzyxfdzdydxzyxfdzdy
练习题答案
二,
364
1
.
三,0.
四,2ln,