第四节 三重积分的概念与计算
预备知识 空间的三个坐标系
小结
三重积分的概念
在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系中的坐标平面：
y=常数 一组平行于 XOZ的平面
x=常数 一组平行于 YOZ的平面
z=常数 一组平行于 XOY的平面
直角坐标系中的体积元素,dV=dxdydz
（ 1）直角坐标系
一、预备知识 空间的三个坐标系
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
?定点 o
直角坐标系中的坐标平面：
y=常数 一组平行于 XOZ的平面
x=常数 一组平行于 YOZ的平面
z=常数 一组平行于 XOY的平面
（ 1）直角坐标系
一、预备知识 空间的三个坐标系
Ⅶ x
yo
z
xoy 面
yoz 面
zox 面
空间直角坐标系共有 八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
直角坐标系中的体积元素,dV=dxdydz
,0 ???? r
,20 ????
.?????? z
的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影
在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
),,(
?
?
规定：
x
y
z
o
),,( zyxM
),( ?rP?
r
?
?
（ 2）柱坐标系
??
?
?
?
?
?
?
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
?
?柱面坐标与直角坐标的关系为
为常数r
为常数z
为常数?
如图，三組坐标曲面分别为
圆柱面；
半平面；
平 面．
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
z
o
???
?
? d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(???
?
? dzr d r dzrrf ???
?d
r
x
y
z
o
dzdr
?rd如图，柱面坐标系中的体积元素为
,dzr d r ddv ??
2,柱坐标系中的坐标：
1,平面上的极坐标系 +Z轴
3,柱坐标与直角坐标的关系：
4,柱坐标的取值范围：
??
?
?
?
?
?
?
zz
ry
rx
?
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s i n
c o s
222 ryx ??
x
ytg ??
??????????? zr,0,20 ??
zr,,?
柱坐标系要点
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
z
o
d r d zd
zzz
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d x d y d zdV
zr
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???
???
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d r d zdr
r
???
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100
0s i nc o s
0c o ss i n?
?
d x d y d zr?
理论推导：
5,柱坐标系下的体积元：
请观察柱坐标系下的坐标曲面：
?=常数 过 Z轴的半平面
z=常数 平行于 XOY面的平面
r=常数 以 Z轴为中心轴的柱面
所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，
其体积为：
d r d zrddv ??
几何解释
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
z
o
1· 球坐标系下的坐标：
2· 球坐标与直角坐标的关系：
4· 球坐标系下的体积元：
3· 球坐标的取值范围：
r,,??
??
?
?
?
?
?
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?
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??
c o s
s i ns i n
c o ss i n
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2222 rzyx ??? ?2222 s i nryx ??
???? ??????? 0,0,20 r
?s i n2rdV ?
几何解释：（ 3）球坐标系
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
y
xA
,r ????0,20 ????,0 ????
规定：
为常数r
为常数?
为常数?
三坐标面分别为
圆锥面；
球 面；
半平面．
???
?
?d x d y d zzyxf ),,(
???
?
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 ???????? dd rdrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ??? ddrdrdv ?
?d
r
x
y
z
o
dr
??dsinr?rd
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?d ?sinr
如图，
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d x d y d zdV
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c o ss i n0
s i ns i ns i nc o sc o ss i n
c o ss i nc o sc o ss i ns i n
?
?
?
drddr ???s i n2?
理论推导
二重积分的 几何意义,
二重积分的 定 义,
二重积分的 物理意义,平面板块 D的质量
知识回顾
?? ?
??
??
D
n
i
iiifdyxf
10
),(l i m),( ????
?
?? ??? ?? ??
D yxfV
yxfVdyxf
)0,(
0),(),( ?
???
D
D dyxM ?? ),(
二、三重积分的概念及其计算方法
设 u=f (x,y,z) 在空间闭区域 ?上有界，如果
的极限值 I存在，则称 I为 u=f (x,y,z) 在 ?上的三重
积分，其中 dV 称为 体积元素。
????
???
??
n
i
iiii VfdVzyxf
10
),,(lim),,( ???
?
1·〖 三重定义 〗
设 z=f (x,y) 在平面闭区域 D上有界，如果
的极限值 I存在，则称 I为 z=f (x,y) 在 D上的二重积
分，其中 dxdy称为 面积元素 。
???
??
??
n
i
iii
D
fd x d yyxf
10
),(lim),( ???
?
〖 回忆二重定义 〗
（ 1） 三重积分的定义
----------?的体积2·〖 几何意义 〗
?
?
???? VdV
3·〖 物理意义 〗 ---------?的质量
?
?
???? MdVzyx ),,(?
----------区间 [a,b]的长度
----------平面区域 D的面积
? ??ba abdx
D
D
Sd x d y ???
联想
的度量
? ?? ???
?
d1..
概括
三重积分的性质与二重积分类似，不再详述。注意
x
y
z
o
?
D
1z
2z 2S
1S ),(
1 yxzz ?
),(2 yxzz ?
a
b
)(1 xyy?
)(2 xyy ?),( yx
,D
x o y
面上的投影为闭区域
在闭区域 ?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
?
?
,),( 作直线过点 Dyx ?
穿出．穿入，从从 21 zz
直角坐标系中将三重积分化为三次积分,
如图
（ 2） 三重积分的计算
函数，则
的只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
?? ),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),( ),(2
1?? ???
?
D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF ??
,),()(,21 bxaxyyxyD ????? 得
?
???
?
dvzyxf ),,(
.),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
于两点情形．
相交不多的边界曲面直线与闭区域
内部的轴且穿过闭区域这是平行于
S
z
?
?
注
意
例 1 化三重积分 ???
?
? dx dy dzzyxfI ),,( 为三
次积分，其中积分区域 ? 为由曲面
22
2 yxz ??
及
2
2 xz ?? 所围成的闭区域,
解 由 ??
?
??
??
2
22
2
2
xz
yxz
,
得交线投影区域
,122 ?? yx
故 ?,
?
?
?
?
?
????
?????
???
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,(1 1 2 21 1
2
22
2
2? ???
?
?
?
????
x
yx
x
x dzzyxfdydxI
例 2 化三重积分 ???
?
? dx dy dzzyxfI ),,( 为三
次积分，其中 积分区域
? 为由曲面
22
yxz ??,
2
xy ?,1?y,0?z 所围
成的空间闭区域,
解
.11,1
,0:
2
22
?????
????
xyx
yxz
如图
? ??? ?? 1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
例 3 计算三重积分 ???
?
z d x d y d z,其中 ? 为三个
坐标面及平面 1??? zyx 所围成的闭区域,
解 （一） ???
?
z d x d yd z,
1
0 ???
?
zD
d x d yz d z
}1|),{( zyxyxD z ????
)1)(1(21 zzd x d y
zD
?????
原式 ? ???
1
0
2)1(
2
1 dzzz
24
1?
.
x
o
z
y1
1
1
???
?
z d x d y d z
解 （二）
? ?? ? ??? z zy dxdyz d z 10 1010
?? ? ??? z dyzyz d z 1010 )1(
? ??? 10 2)1(21 dzzz 241?,
x
o
z
y1
1
1
例 4 计算三重积分 dx dy dzz???
?
2
，其中 ? 是由
椭球面 1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
所成的空间闭区域,
:?,|),,{( czczyx ???
}1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
原式,2 ???
?
?
zD
c
c
d x d ydzzx
y
z
o
zD解
)1()1( 2
2
2
2
2
2
c
zb
c
zad x d y
zD
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),1( 2
2
c
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?? ??? c c dzzczab 22
2
)1(,154 3a b c??
|),{( yxD z ?? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
原式
例 5 计算三重积分 dxdy dzxy???
?
?
2
1,其中 ?
由曲面
22
1 zxy ????, 1
22
?? zx, 1?y 所
围成,
将 ? 投影到 z ox 平面得
:xzD 122 ?? zx,
先对 y 积分，
再求 xzD 上二重积分,
解 如图
??? ?????
1
1
2
221 zx
D
dyd x d zxy
xz
原式
dzzxxdx x
x 2
1
221
1
1
1
2
2
2
??? ? ?
?
?
??
dxzzxx x x2 21 1
3
21
1
2 |)
3(1
?
??? ??? ?
?? ??? 1 1 42 )21(31 dxxx.4528?
? 为六个平面 0?x, 2?x, 1?y, 42 ?? yx,
xz ?, 2?z 围成的区域,),,( zyxf 在 ? 上连
续，则累次积分 ____ ???
?
? dvzyxf ),,(,
选择题,
思
考
题;),,()( 20 1
22 2
? ? ?? x x dzzyxfdydxA;),,()( 20 221 2? ? ??
x x
dzzyxfdydxB;),,()( 20 1
22
2? ? ?
? x x dzzyxfdydxC
.),,()( 20 221 2? ? ??
x
x dzzyxfdydxD
思考题解答
预备知识 空间的三个坐标系
小结
三重积分的概念
在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系中的坐标平面：
y=常数 一组平行于 XOZ的平面
x=常数 一组平行于 YOZ的平面
z=常数 一组平行于 XOY的平面
直角坐标系中的体积元素,dV=dxdydz
（ 1）直角坐标系
一、预备知识 空间的三个坐标系
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
?定点 o
直角坐标系中的坐标平面：
y=常数 一组平行于 XOZ的平面
x=常数 一组平行于 YOZ的平面
z=常数 一组平行于 XOY的平面
（ 1）直角坐标系
一、预备知识 空间的三个坐标系
Ⅶ x
yo
z
xoy 面
yoz 面
zox 面
空间直角坐标系共有 八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
直角坐标系中的体积元素,dV=dxdydz
,0 ???? r
,20 ????
.?????? z
的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影
在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
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?
?
规定：
x
y
z
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（ 2）柱坐标系
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?柱面坐标与直角坐标的关系为
为常数r
为常数z
为常数?
如图，三組坐标曲面分别为
圆柱面；
半平面；
平 面．
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x
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? d x d y d zzyxf ),,(
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dzdr
?rd如图，柱面坐标系中的体积元素为
,dzr d r ddv ??
2,柱坐标系中的坐标：
1,平面上的极坐标系 +Z轴
3,柱坐标与直角坐标的关系：
4,柱坐标的取值范围：
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柱坐标系要点
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理论推导：
5,柱坐标系下的体积元：
请观察柱坐标系下的坐标曲面：
?=常数 过 Z轴的半平面
z=常数 平行于 XOY面的平面
r=常数 以 Z轴为中心轴的柱面
所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，
其体积为：
d r d zrddv ??
几何解释
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
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o
1· 球坐标系下的坐标：
2· 球坐标与直角坐标的关系：
4· 球坐标系下的体积元：
3· 球坐标的取值范围：
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几何解释：（ 3）球坐标系
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规定：
为常数r
为常数?
为常数?
三坐标面分别为
圆锥面；
球 面；
半平面．
???
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?d x d y d zzyxf ),,(
???
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球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ??? ddrdrdv ?
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理论推导
二重积分的 几何意义,
二重积分的 定 义,
二重积分的 物理意义,平面板块 D的质量
知识回顾
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10
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D yxfV
yxfVdyxf
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二、三重积分的概念及其计算方法
设 u=f (x,y,z) 在空间闭区域 ?上有界，如果
的极限值 I存在，则称 I为 u=f (x,y,z) 在 ?上的三重
积分，其中 dV 称为 体积元素。
????
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10
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1·〖 三重定义 〗
设 z=f (x,y) 在平面闭区域 D上有界，如果
的极限值 I存在，则称 I为 z=f (x,y) 在 D上的二重积
分，其中 dxdy称为 面积元素 。
???
??
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n
i
iii
D
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10
),(lim),( ???
?
〖 回忆二重定义 〗
（ 1） 三重积分的定义
----------?的体积2·〖 几何意义 〗
?
?
???? VdV
3·〖 物理意义 〗 ---------?的质量
?
?
???? MdVzyx ),,(?
----------区间 [a,b]的长度
----------平面区域 D的面积
? ??ba abdx
D
D
Sd x d y ???
联想
的度量
? ?? ???
?
d1..
概括
三重积分的性质与二重积分类似，不再详述。注意
x
y
z
o
?
D
1z
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1S ),(
1 yxzz ?
),(2 yxzz ?
a
b
)(1 xyy?
)(2 xyy ?),( yx
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x o y
面上的投影为闭区域
在闭区域 ?
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22
11
yxzzS
yxzzS
?
?
,),( 作直线过点 Dyx ?
穿出．穿入，从从 21 zz
直角坐标系中将三重积分化为三次积分,
如图
（ 2） 三重积分的计算
函数，则
的只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
?? ),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.]),,([),( ),( ),(2
1?? ???
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D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF ??
,),()(,21 bxaxyyxyD ????? 得
?
???
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1
2
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xy
xy
yxz
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于两点情形．
相交不多的边界曲面直线与闭区域
内部的轴且穿过闭区域这是平行于
S
z
?
?
注
意
例 1 化三重积分 ???
?
? dx dy dzzyxfI ),,( 为三
次积分，其中积分区域 ? 为由曲面
22
2 yxz ??
及
2
2 xz ?? 所围成的闭区域,
解 由 ??
?
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2
22
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得交线投影区域
,122 ?? yx
故 ?,
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11
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例 2 化三重积分 ???
?
? dx dy dzzyxfI ),,( 为三
次积分，其中 积分区域
? 为由曲面
22
yxz ??,
2
xy ?,1?y,0?z 所围
成的空间闭区域,
解
.11,1
,0:
2
22
?????
????
xyx
yxz
如图
? ??? ?? 1 1 01 222 ),,(yxx dzzyxfdydxI,
例 3 计算三重积分 ???
?
z d x d y d z,其中 ? 为三个
坐标面及平面 1??? zyx 所围成的闭区域,
解 （一） ???
?
z d x d yd z,
1
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}1|),{( zyxyxD z ????
)1)(1(21 zzd x d y
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解 （二）
? ?? ? ??? z zy dxdyz d z 10 1010
?? ? ??? z dyzyz d z 1010 )1(
? ??? 10 2)1(21 dzzz 241?,
x
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例 4 计算三重积分 dx dy dzz???
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，其中 ? 是由
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原式
例 5 计算三重积分 dxdy dzxy???
?
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2
1,其中 ?
由曲面
22
1 zxy ????, 1
22
?? zx, 1?y 所
围成,
将 ? 投影到 z ox 平面得
:xzD 122 ?? zx,
先对 y 积分，
再求 xzD 上二重积分,
解 如图
??? ?????
1
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2
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D
dyd x d zxy
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原式
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1
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3
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??? ??? ?
?? ??? 1 1 42 )21(31 dxxx.4528?
? 为六个平面 0?x, 2?x, 1?y, 42 ?? yx,
xz ?, 2?z 围成的区域,),,( zyxf 在 ? 上连
续，则累次积分 ____ ???
?
? dvzyxf ),,(,
选择题,
思
考
题;),,()( 20 1
22 2
? ? ?? x x dzzyxfdydxA;),,()( 20 221 2? ? ??
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思考题解答
