第二节 换元积分法
第一换元积分法
小结
第二换元积分法
? x d x2c o s,2s i n Cx ??
利用复合函数，设置中间变量,
令 xt 2?,21 dtdx ??
? x d x2c o s dtt?? co s21 Ct ?? s i n21,2s i n21 Cx ??
问题
解决方法
过程
一、第一类换元法
在一般情况下：
设 ),()( ufuF ?? 则,)()(? ?? CuFduuf
如果 )( xu ?? （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???
? ???? CxFdxxxf )]([)()]([ ???
? ?? )(])([ xuduuf ?由此可得换元法定理
设 )( uf 具有原函数，
? ?? dxxxf )()]([ ??? ? )(])([ xuduuf ?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
? dxxg )( 化为,)()]([? ? ?? dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu ?? 可导，
则有换元公式
定理 1
例 1 求,2s in? xdx
解 （一） ? xdx2s i n ?? )2(2s i n21 xxd;2co s21 Cx ???
解 （二） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
?? )( s i ns i n2 xxd? ? ;s i n 2 Cx ??
解 （三） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
??? )( c o sc o s2 xxd? ?,c o s 2 Cx ???
例 2 求,23
1 dx
x? ?
解,)23(23 12123 1 ??????? xxx
dxx? ? 23 1 dxxx )23(23 121 ????? ?
duu?? 121 Cu ?? ln21,)23l n(21 Cx ???
? ? dxbaxf )( ? ??? baxuduufa ])([1一般地
例 3 求,)ln21(
1 dx
xx? ?
解 dxxx? ? )ln21( 1 )(l n
ln21
1 xd
x? ??
)ln21(ln21 121 xdx ??? ?
xu ln21 ??
?? duu121 Cu ?? ln21,)ln21l n(21 Cx ???
例 4 求,)1( 3 dxx
x?
?
解 dxxx? ? 3)1( dxx
x?
?
???
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx ????? ?
221 )1(2
1
1
1 C
xCx ???????
.)1(2 11 1 2 Cxx ??????
例 5 求,
1
22 dxxa? ?
解 dxxa? ? 22 1
dx
a
xa ?
?
? 2
2
2
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a rcta n1 Caxa ??
例 6 求,258
1
2 dxxx? ??
解 dxxx? ?? 25812 dxx? ??? 9)4(
1
2
dx
x
?
??
?
?
?
?
? ?
?
1
3
4
1
3
1
22 ??
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? ?
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a rcta n31 Cx ???
例 7 求,1
1 dx
e x? ?
解 dxe x? ?1 1 dxe
ee
x
xx
? ? ??? 11
dxee x
x
? ?????? ??? 11 dxeedx x
x
?? ??? 1
)1(1 1 xx ededx ???? ??
.)1l n( Cex x ????
例 8 求,)
11( 1
2 dxex
xx? ??
解,
111
2xxx ??
?
?????? ??
dxex xx? ???
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx ?? ? ?,1 Ce xx ?? ?
例 9 求,1232
1 dx
xx? ???
原式 ? ?? ?dxxxxx xx? ?????? ???? 12321232 1232
dxxdxx ?? ???? 12413241
)12(1281)32(3281 ?????? ?? xdxxdx
? ? ? ?,1212132121 33 Cxx ?????
例 10 求
解
.c o s1 1? ? dxx
? ? dxxco s1 1 ? ?? ?? ??
?? dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
? ??? dxxx2co s1 co s1 ? ?? dxx x2s i nco s1
?? ?? )(s i ns i n1s i n1 22 xdxdxx
.s i n1co t Cxx ????
例 11 求
解
.co ss i n 52? ? x d xx
? ? x d xx 52 c o ss i n ? ?? )( s i nco ss i n 42 xxdx
? ??? )( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
? ??? )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx ????
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇
次项去凑微分,
例 12 求
解
.2co s3co s? x d xx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ????
),5co s(co s212co s3co s xxxx ??
?? ?? dxxxxdxx )5co s(co s212co s3co s
.5s i n101s i n21 Cxx ???
例 13 求
解 （一） ?? dxxs i n1
.cs c? xdx
? xdxc s c
?? dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
c o s
2
t a n
1
2
x
d
xx? ??
?
?
?
??
2
t a n
2
t a n
1 x
d
x
Cx ?? 2ta nln,)co tl n(c s c Cxx ???
（使用了三角函数恒等变形）
解 （二） ?? dxxs i n1? xdxc s c ?? dxx
x
2s i n
s i n
? ??? )(co sco s1 1 2 xdxxu c o s?
? ??? duu 21 1 ? ?????? ????? duuu 1 11 121
Cuu ???? 11ln21,co s1 co s1ln21 Cxx ????
类似地可推出,)ta nl n(s ecs ec? ??? Cxxx d x
解
例 14 设 求,,co s)( s i n 22 xxf ?? )(xf
令 xu 2s i n?,1co s 2 ux ???
,1)( uuf ???
? ?duuuf ? ?? 1)(,21 2 Cuu ???
.21)( 2 Cxxxf ???
例 15 求
解
.
2
arcs i n4
1
2
dx
x
x
?
?
dx
x
x
?
?
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
?
?
?
?
?
?
??
?
)
2
( a r c s i n
2
a r c s i n
1 x
d
x?
?
.2a rc s i nln Cx ??
? dxx
x
s in
2
ta nln
??? ??
2
c o s
2
c o s
2
s in
2
2
t a nln
2
c o s
2
s in2
2
t a nln
s in
2
t a nln
2
x
x
x
x
xx
x
x
x
?? )2(
2
c o s
2
t a n
2
t a nln
2
x
d
xx
x
例 16
解
C
x
x
d
xx
d
x
x
x
d
x
x
x
??
??
?
??
?
)
2
( t a nln
2
1
2
t a nln
2
t a nln
2
t a n
2
t a n
2
t a nln
)
2
(
2
s e c
2
t a n
2
t a nln
2
2
? ? dxxx 6)1(求
? ? ????? dxxxdxxx 66 )1)](1(1[)1(
dxxx ])1()1[( 76? ????
? ? ??????? )1()1()1()1( 76 xdxxdx
C
xx
?
?
?
?
??
8
)1(
7
)1( 87
例 17
解
? ?? dxxx x 2)ln( ln1
??
?
?
?
?
?
dx
x
x
x
x
dx
xx
x
22
2
)
ln
1(
ln1
)ln(
ln1
?
?
?? ? dx
x
x
x
x
2
2 ln1)ln1(
)ln()ln1( 2? ???
x
xd
x
x
例 18
解
)
ln
1()
ln
1( 2? ??? ?
x
x
d
x
x
C
x
x
???? ? 1)
ln
1(
C
xx
x
?
?
??
ln
??? dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25? ?
td tt 25 c o ss i n?? ???
1 25 ??? dxxx问题
改变中间变量的设置方法,
令 tx s in?,c o s td tdx ??
（应用, 凑微分, 即可求出结
果）
解决方法
过程
二、第二类换元法
)(
,)(
tx
dxxf
??
?
，足一定条件的变代换量
设法选取满是对于待积式
其指导思想用就是第二类换元法，
过程反过来将换元法第一类的积分
即转化为较易的积分使,)(? dxxf
?? ?? dtttftxdxxf )()]([)()( ???
思想方法
? ??? CtGdtt )()(?
CxtG ?? )]([
的反函数（是 ))( txxt ??
)()]([)( ttft ??? ??
其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf ?? ?
令 )]([)( xxF ???
则 dxdtdtdxF ???? )( )()]([ ttf ?? ??,)(1t???
设 )( tx ?? 是单调的、可导的函数，
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??则有换元公式
并且 0)( ?? t?,又设 )()]([ ttf ?? ? 具有原函数，
定理 2
? ??? CxFdxxf )()(,)]([ Cx ???? ? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??
)]([ tf ?? ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
第二类积分换元公式
此类换元法常用的有四种类型：
实施这些变换的目的是去掉
被积函数中的根号
三角函数代换法
双曲函数代换法
换根代换法
倒代换法
dxxaR )().1( 22? ?
弦换）或可令 (co ss i n taxtax ??
dxxaR )(2 22? ?）（
切换）或可令 (co tt a n taxtax ??
? ? dxaxR )().3( 22
割换）或可令 (cs cs e c taxtax ??
1,三角函数代换法
例 19
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec??
??? dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1 ??
?? td ts e c Ctt ??? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax ?,ln 22 C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
?????? ???? 2,2t
求
求
解
.4 23 dxxx? ?
令 tx s in2? td tdx c o s2? ??
??
?
? ????
2,2t
dxxx? ? 23 4 ? ? t d ttt c o s2s i n44s i n2 23 ??? ?
td tt 23 c o ss i n32 ?? t d ttt 22 c o s)c o s1(s i n32 ? ??
tdtt c o s)c o s( c o s32 42 ??? ?
Ctt ???? )co s51co s31(32 53t2 x
24 x?? ? ? ?,45
14
3
4 5232 Cxx ??????
例 20
求
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax s e c? ?????? ?? 2,0t td ttadx t a ns e c?
??? dxax 22 1 dtta tta? ?ta nta ns ec
?? td ts e c Ctt ??? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax ?
.ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
例 21
以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉二次根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
说明 (1)
22 xa ?
可令 ;s i n tax ?
22 xa ?
可令 ;t a n tax ?
22 ax ?
可令,s e c tax ?
? ?? )0(1 22 adxax计算
1s i n hco s h 22 ?? tt解：利用恒等式
dtdxtax s i n hco s h ?? 于是作双曲代换
taataax s i n hc o s h 22222 ????
例 22
2.双曲函数代换法
taxdxaxR c o s h)( 22 ??? 可令
? ?? txdxaxR s in h)( 22 可令
? ? ??? t d tatadxax s i n hs i n h11 22从而
? ??? 1ctdt
为此中反解出函数
从代换，需要还原成为了将变量
,c o s h
,
ttax
xt
?
taaxtax s i n hc o s h 22 ???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
2
2
22
tt
tt
ee
aax
ee
ax
taeaxx ???? 22
a
axxe t 22 ???
aaxxa axxt ln)l n (ln 22
22
???????
122 ct
ax
dx ??
??
于是原式
1
22 ln)l n ( caaxx ?????
)ln()l n ( 122 caCCaxx ???????
积分中为了化掉根式除采用三角代
换外还可用 双曲代换,
1s i n hc o s h 22 ?? tt?
taxtax co s h,s i nh ??? 也可以化掉根式
例 中,令 dxax? ? 221 tax s i n h? td tadx c o sh?
dxax? ? 221 ?? dtta ta co s hco s h? ??? Ctdt
Caxar ?? s i nh,ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
说明 (2)
积分中为了化掉根式是否一定采用三角
代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积
函数的情况来定,
下面介绍换根换元法
tbaxdxbaxR nn ???? 可令形如 )(
? ?? 3 11 xdx计算
dttdxtxtx 233 311 ????? 则解：令
例 23
说明 (3)
3.换根换元法
? ?? ? ??????? dtttdtttxdx 1 1131311
22
3
dt
t
t )
1
11(3 ?
?
???
]1 )1([3]2[3
2
? ????? t tdtt
Cttt ????? ]1ln
2
[3
2
求 dxx
x?
? 2
5
1 （三角代换很繁琐）
,122 ??? tx,tdtxdx ?
dxxx? ? 2
5
1
? ? td t
t
t? ?? 22 1 ? ?
dttt? ??? 12 24
Cttt ???? 35 3251,1)348(151 242 Cxxx ?????
21 xt ??令解
? ? Cxxx ???????? ])1(1l n [)1(2)1[(
2
3 313132
例 24
求
解
.1 1 dxe x? ?
xet ?? 1令,12 ??? te x
,122 dtt tdx ??
dxe x? ?1 1 dt
t? ?? 1
2
2 dttt? ??
??
?
?
???? 1
1
1
1
Ctt ???? 11ln ? ?,11ln2 Cxe x ?????
? ?,1ln 2 ?? tx
例 25
当分母的阶较高时,可采用 倒代换,1tx ?
根号以便消去被积函数中的即令,1
t
x ?
适用以下各种不定积分的一种方法。倒代换 tx 1?
??? ??? 2222222 axx dxxax dxxax dx
说明 (4)
4.倒代换法
? ??
??
?
dx
x
axdx
x
xa
axx
dx
4
22
4
22
222
? ? dxxax dx 222计算积分
现采用解：本题亦可采用 tx t a n?
则令倒代换 tx 1?
1111
11
22
3
2
22
2
2
2
2
222 ?
?
?
?
?
?
? ta
t
t
ta
t
t
a
t
xax
例 26
dt
tt
ddx 21)1( ???
?? ? ??????? 1)1(11 22222
3
222 ta
t d tdt
tta
tdx
xax
Cta
ata
tad
a
????
?
??? ? 11
1
)1(
2
1 22
222
22
2
)1(11 2
2
2 xtCx
a
a
?????
Cxaxa ???? 2221
求 dxxx? ? )2(
1
7
,12 dttdx ???
dxxx? ? )2( 17
dt
t
t
t
?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
?
?
?
? ? 27
1
2
1 ?
??? dtt
t
7
6
21
Ct ???? |21|ln141 7,||ln21|2|ln141 7 Cxx ?????
令 tx 1?解
例 27
求
解
.11 24 dxxx? ?
dxxx? ? 11 24
令 tx 1?,12 dttdx ??? dx
t
tt
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? 2
24
1
1
11
1
（分母的阶较高）
dttt? ??? 2
3
1
2
2
2
12
1 dt
t
t?
??? 2tu?
例 28
? ??? duuu121 ? ?
??? du
u
u
1
11
2
1
? ??????? ???? )1(11 121 uduu
? ? Cuu ?????? 1131 3
.11
3
1 2
32
C
x
x
x
x ???
???
?
???
? ?
??
当被积函数含有两种或两种以上的
根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx ?
n
求,)1(
1
3 dxxx? ?
解 令 6tx ?,6 5 dttdx ??
dxxx? ? )1( 1 3? ?? dttt t )1( 6 23
5
? ?? dttt 2
2
1
6
例 29
说明 (5)
? ? ??? dttt 2
2
1
116
? ?????? ??? dtt 21 116
Ctt ??? ]a r ct a n[6
.]ar c t an[6 66 Cxx ???
分以上只是就对于无理函数的不定积
它不是唯一和公式式的典型类型给出解法，但
一题多种解法。要学会灵活应用，学会;co slnta n)16( ? ??? Cxx d x;s i nlnco t)17( ? ?? Cxxdx;)ta nl n( s ecs ec)18( ? ??? Cxxxdx;)co tl n( c s ccs c)19( ? ??? Cxxx d x;a rcta n11)20( 22 Caxadxxa ????
基
本
积
分
表;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa ??????;a r c s i n1)23( 22 Caxdxxa ????
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax ??????;ln2 11)21( 22 Cax axadxax ??????
凑微分
三角代换、倒代换、根式代换
小 结
两类积分换元法：
基本积分表 (2)
求积分
.)1( l n)ln( dxxxx p ??
思
考
题
dxxxxd )ln1()ln( ???
dxxxx p )1( l n)ln( ?? ? )ln()ln( xxdxx p??
?
?
?
?
?
???
???
??
?
1,)lnl n (
1,
1
)ln( 1
pCxx
pC
p
xx p
思考题解答
第一换元积分法
小结
第二换元积分法
? x d x2c o s,2s i n Cx ??
利用复合函数，设置中间变量,
令 xt 2?,21 dtdx ??
? x d x2c o s dtt?? co s21 Ct ?? s i n21,2s i n21 Cx ??
问题
解决方法
过程
一、第一类换元法
在一般情况下：
设 ),()( ufuF ?? 则,)()(? ?? CuFduuf
如果 )( xu ?? （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???
? ???? CxFdxxxf )]([)()]([ ???
? ?? )(])([ xuduuf ?由此可得换元法定理
设 )( uf 具有原函数，
? ?? dxxxf )()]([ ??? ? )(])([ xuduuf ?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
? dxxg )( 化为,)()]([? ? ?? dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu ?? 可导，
则有换元公式
定理 1
例 1 求,2s in? xdx
解 （一） ? xdx2s i n ?? )2(2s i n21 xxd;2co s21 Cx ???
解 （二） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
?? )( s i ns i n2 xxd? ? ;s i n 2 Cx ??
解 （三） ? xdx2s i n ?? xdxx c o ss i n2
??? )( c o sc o s2 xxd? ?,c o s 2 Cx ???
例 2 求,23
1 dx
x? ?
解,)23(23 12123 1 ??????? xxx
dxx? ? 23 1 dxxx )23(23 121 ????? ?
duu?? 121 Cu ?? ln21,)23l n(21 Cx ???
? ? dxbaxf )( ? ??? baxuduufa ])([1一般地
例 3 求,)ln21(
1 dx
xx? ?
解 dxxx? ? )ln21( 1 )(l n
ln21
1 xd
x? ??
)ln21(ln21 121 xdx ??? ?
xu ln21 ??
?? duu121 Cu ?? ln21,)ln21l n(21 Cx ???
例 4 求,)1( 3 dxx
x?
?
解 dxxx? ? 3)1( dxx
x?
?
???
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx ????? ?
221 )1(2
1
1
1 C
xCx ???????
.)1(2 11 1 2 Cxx ??????
例 5 求,
1
22 dxxa? ?
解 dxxa? ? 22 1
dx
a
xa ?
?
? 2
2
2
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a rcta n1 Caxa ??
例 6 求,258
1
2 dxxx? ??
解 dxxx? ?? 25812 dxx? ??? 9)4(
1
2
dx
x
?
??
?
?
?
?
? ?
?
1
3
4
1
3
1
22 ??
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? ?
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a rcta n31 Cx ???
例 7 求,1
1 dx
e x? ?
解 dxe x? ?1 1 dxe
ee
x
xx
? ? ??? 11
dxee x
x
? ?????? ??? 11 dxeedx x
x
?? ??? 1
)1(1 1 xx ededx ???? ??
.)1l n( Cex x ????
例 8 求,)
11( 1
2 dxex
xx? ??
解,
111
2xxx ??
?
?????? ??
dxex xx? ???
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx ?? ? ?,1 Ce xx ?? ?
例 9 求,1232
1 dx
xx? ???
原式 ? ?? ?dxxxxx xx? ?????? ???? 12321232 1232
dxxdxx ?? ???? 12413241
)12(1281)32(3281 ?????? ?? xdxxdx
? ? ? ?,1212132121 33 Cxx ?????
例 10 求
解
.c o s1 1? ? dxx
? ? dxxco s1 1 ? ?? ?? ??
?? dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
? ??? dxxx2co s1 co s1 ? ?? dxx x2s i nco s1
?? ?? )(s i ns i n1s i n1 22 xdxdxx
.s i n1co t Cxx ????
例 11 求
解
.co ss i n 52? ? x d xx
? ? x d xx 52 c o ss i n ? ?? )( s i nco ss i n 42 xxdx
? ??? )( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
? ??? )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx ????
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇
次项去凑微分,
例 12 求
解
.2co s3co s? x d xx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ????
),5co s(co s212co s3co s xxxx ??
?? ?? dxxxxdxx )5co s(co s212co s3co s
.5s i n101s i n21 Cxx ???
例 13 求
解 （一） ?? dxxs i n1
.cs c? xdx
? xdxc s c
?? dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
c o s
2
t a n
1
2
x
d
xx? ??
?
?
?
??
2
t a n
2
t a n
1 x
d
x
Cx ?? 2ta nln,)co tl n(c s c Cxx ???
（使用了三角函数恒等变形）
解 （二） ?? dxxs i n1? xdxc s c ?? dxx
x
2s i n
s i n
? ??? )(co sco s1 1 2 xdxxu c o s?
? ??? duu 21 1 ? ?????? ????? duuu 1 11 121
Cuu ???? 11ln21,co s1 co s1ln21 Cxx ????
类似地可推出,)ta nl n(s ecs ec? ??? Cxxx d x
解
例 14 设 求,,co s)( s i n 22 xxf ?? )(xf
令 xu 2s i n?,1co s 2 ux ???
,1)( uuf ???
? ?duuuf ? ?? 1)(,21 2 Cuu ???
.21)( 2 Cxxxf ???
例 15 求
解
.
2
arcs i n4
1
2
dx
x
x
?
?
dx
x
x
?
?
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
?
?
?
?
?
?
??
?
)
2
( a r c s i n
2
a r c s i n
1 x
d
x?
?
.2a rc s i nln Cx ??
? dxx
x
s in
2
ta nln
??? ??
2
c o s
2
c o s
2
s in
2
2
t a nln
2
c o s
2
s in2
2
t a nln
s in
2
t a nln
2
x
x
x
x
xx
x
x
x
?? )2(
2
c o s
2
t a n
2
t a nln
2
x
d
xx
x
例 16
解
C
x
x
d
xx
d
x
x
x
d
x
x
x
??
??
?
??
?
)
2
( t a nln
2
1
2
t a nln
2
t a nln
2
t a n
2
t a n
2
t a nln
)
2
(
2
s e c
2
t a n
2
t a nln
2
2
? ? dxxx 6)1(求
? ? ????? dxxxdxxx 66 )1)](1(1[)1(
dxxx ])1()1[( 76? ????
? ? ??????? )1()1()1()1( 76 xdxxdx
C
xx
?
?
?
?
??
8
)1(
7
)1( 87
例 17
解
? ?? dxxx x 2)ln( ln1
??
?
?
?
?
?
dx
x
x
x
x
dx
xx
x
22
2
)
ln
1(
ln1
)ln(
ln1
?
?
?? ? dx
x
x
x
x
2
2 ln1)ln1(
)ln()ln1( 2? ???
x
xd
x
x
例 18
解
)
ln
1()
ln
1( 2? ??? ?
x
x
d
x
x
C
x
x
???? ? 1)
ln
1(
C
xx
x
?
?
??
ln
??? dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25? ?
td tt 25 c o ss i n?? ???
1 25 ??? dxxx问题
改变中间变量的设置方法,
令 tx s in?,c o s td tdx ??
（应用, 凑微分, 即可求出结
果）
解决方法
过程
二、第二类换元法
)(
,)(
tx
dxxf
??
?
，足一定条件的变代换量
设法选取满是对于待积式
其指导思想用就是第二类换元法，
过程反过来将换元法第一类的积分
即转化为较易的积分使,)(? dxxf
?? ?? dtttftxdxxf )()]([)()( ???
思想方法
? ??? CtGdtt )()(?
CxtG ?? )]([
的反函数（是 ))( txxt ??
)()]([)( ttft ??? ??
其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf ?? ?
令 )]([)( xxF ???
则 dxdtdtdxF ???? )( )()]([ ttf ?? ??,)(1t???
设 )( tx ?? 是单调的、可导的函数，
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??则有换元公式
并且 0)( ?? t?,又设 )()]([ ttf ?? ? 具有原函数，
定理 2
? ??? CxFdxxf )()(,)]([ Cx ???? ? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??
)]([ tf ?? ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
第二类积分换元公式
此类换元法常用的有四种类型：
实施这些变换的目的是去掉
被积函数中的根号
三角函数代换法
双曲函数代换法
换根代换法
倒代换法
dxxaR )().1( 22? ?
弦换）或可令 (co ss i n taxtax ??
dxxaR )(2 22? ?）（
切换）或可令 (co tt a n taxtax ??
? ? dxaxR )().3( 22
割换）或可令 (cs cs e c taxtax ??
1,三角函数代换法
例 19
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec??
??? dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1 ??
?? td ts e c Ctt ??? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax ?,ln 22 C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
?????? ???? 2,2t
求
求
解
.4 23 dxxx? ?
令 tx s in2? td tdx c o s2? ??
??
?
? ????
2,2t
dxxx? ? 23 4 ? ? t d ttt c o s2s i n44s i n2 23 ??? ?
td tt 23 c o ss i n32 ?? t d ttt 22 c o s)c o s1(s i n32 ? ??
tdtt c o s)c o s( c o s32 42 ??? ?
Ctt ???? )co s51co s31(32 53t2 x
24 x?? ? ? ?,45
14
3
4 5232 Cxx ??????
例 20
求
解
).0(1 22 ??? adxax
令 tax s e c? ?????? ?? 2,0t td ttadx t a ns e c?
??? dxax 22 1 dtta tta? ?ta nta ns ec
?? td ts e c Ctt ??? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax ?
.ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
例 21
以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉二次根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
说明 (1)
22 xa ?
可令 ;s i n tax ?
22 xa ?
可令 ;t a n tax ?
22 ax ?
可令,s e c tax ?
? ?? )0(1 22 adxax计算
1s i n hco s h 22 ?? tt解：利用恒等式
dtdxtax s i n hco s h ?? 于是作双曲代换
taataax s i n hc o s h 22222 ????
例 22
2.双曲函数代换法
taxdxaxR c o s h)( 22 ??? 可令
? ?? txdxaxR s in h)( 22 可令
? ? ??? t d tatadxax s i n hs i n h11 22从而
? ??? 1ctdt
为此中反解出函数
从代换，需要还原成为了将变量
,c o s h
,
ttax
xt
?
taaxtax s i n hc o s h 22 ???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
2
2
22
tt
tt
ee
aax
ee
ax
taeaxx ???? 22
a
axxe t 22 ???
aaxxa axxt ln)l n (ln 22
22
???????
122 ct
ax
dx ??
??
于是原式
1
22 ln)l n ( caaxx ?????
)ln()l n ( 122 caCCaxx ???????
积分中为了化掉根式除采用三角代
换外还可用 双曲代换,
1s i n hc o s h 22 ?? tt?
taxtax co s h,s i nh ??? 也可以化掉根式
例 中,令 dxax? ? 221 tax s i n h? td tadx c o sh?
dxax? ? 221 ?? dtta ta co s hco s h? ??? Ctdt
Caxar ?? s i nh,ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
说明 (2)
积分中为了化掉根式是否一定采用三角
代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积
函数的情况来定,
下面介绍换根换元法
tbaxdxbaxR nn ???? 可令形如 )(
? ?? 3 11 xdx计算
dttdxtxtx 233 311 ????? 则解：令
例 23
说明 (3)
3.换根换元法
? ?? ? ??????? dtttdtttxdx 1 1131311
22
3
dt
t
t )
1
11(3 ?
?
???
]1 )1([3]2[3
2
? ????? t tdtt
Cttt ????? ]1ln
2
[3
2
求 dxx
x?
? 2
5
1 （三角代换很繁琐）
,122 ??? tx,tdtxdx ?
dxxx? ? 2
5
1
? ? td t
t
t? ?? 22 1 ? ?
dttt? ??? 12 24
Cttt ???? 35 3251,1)348(151 242 Cxxx ?????
21 xt ??令解
? ? Cxxx ???????? ])1(1l n [)1(2)1[(
2
3 313132
例 24
求
解
.1 1 dxe x? ?
xet ?? 1令,12 ??? te x
,122 dtt tdx ??
dxe x? ?1 1 dt
t? ?? 1
2
2 dttt? ??
??
?
?
???? 1
1
1
1
Ctt ???? 11ln ? ?,11ln2 Cxe x ?????
? ?,1ln 2 ?? tx
例 25
当分母的阶较高时,可采用 倒代换,1tx ?
根号以便消去被积函数中的即令,1
t
x ?
适用以下各种不定积分的一种方法。倒代换 tx 1?
??? ??? 2222222 axx dxxax dxxax dx
说明 (4)
4.倒代换法
? ??
??
?
dx
x
axdx
x
xa
axx
dx
4
22
4
22
222
? ? dxxax dx 222计算积分
现采用解：本题亦可采用 tx t a n?
则令倒代换 tx 1?
1111
11
22
3
2
22
2
2
2
2
222 ?
?
?
?
?
?
? ta
t
t
ta
t
t
a
t
xax
例 26
dt
tt
ddx 21)1( ???
?? ? ??????? 1)1(11 22222
3
222 ta
t d tdt
tta
tdx
xax
Cta
ata
tad
a
????
?
??? ? 11
1
)1(
2
1 22
222
22
2
)1(11 2
2
2 xtCx
a
a
?????
Cxaxa ???? 2221
求 dxxx? ? )2(
1
7
,12 dttdx ???
dxxx? ? )2( 17
dt
t
t
t
?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
?
?
?
? ? 27
1
2
1 ?
??? dtt
t
7
6
21
Ct ???? |21|ln141 7,||ln21|2|ln141 7 Cxx ?????
令 tx 1?解
例 27
求
解
.11 24 dxxx? ?
dxxx? ? 11 24
令 tx 1?,12 dttdx ??? dx
t
tt
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? 2
24
1
1
11
1
（分母的阶较高）
dttt? ??? 2
3
1
2
2
2
12
1 dt
t
t?
??? 2tu?
例 28
? ??? duuu121 ? ?
??? du
u
u
1
11
2
1
? ??????? ???? )1(11 121 uduu
? ? Cuu ?????? 1131 3
.11
3
1 2
32
C
x
x
x
x ???
???
?
???
? ?
??
当被积函数含有两种或两种以上的
根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx ?
n
求,)1(
1
3 dxxx? ?
解 令 6tx ?,6 5 dttdx ??
dxxx? ? )1( 1 3? ?? dttt t )1( 6 23
5
? ?? dttt 2
2
1
6
例 29
说明 (5)
? ? ??? dttt 2
2
1
116
? ?????? ??? dtt 21 116
Ctt ??? ]a r ct a n[6
.]ar c t an[6 66 Cxx ???
分以上只是就对于无理函数的不定积
它不是唯一和公式式的典型类型给出解法，但
一题多种解法。要学会灵活应用，学会;co slnta n)16( ? ??? Cxx d x;s i nlnco t)17( ? ?? Cxxdx;)ta nl n( s ecs ec)18( ? ??? Cxxxdx;)co tl n( c s ccs c)19( ? ??? Cxxx d x;a rcta n11)20( 22 Caxadxxa ????
基
本
积
分
表;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa ??????;a r c s i n1)23( 22 Caxdxxa ????
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax ??????;ln2 11)21( 22 Cax axadxax ??????
凑微分
三角代换、倒代换、根式代换
小 结
两类积分换元法：
基本积分表 (2)
求积分
.)1( l n)ln( dxxxx p ??
思
考
题
dxxxxd )ln1()ln( ???
dxxxx p )1( l n)ln( ?? ? )ln()ln( xxdxx p??
?
?
?
?
?
???
???
??
?
1,)lnl n (
1,
1
)ln( 1
pCxx
pC
p
xx p
思考题解答
