不定积分的概念与性质
第四章 不定积分
换元积分法
分部积分法
几种特殊类型函数的积分
第一节 不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念
基本积分表
不定积分的性质
小结
例 ? ? xx c o ss i n ?? xs i n 是 xc os 的原函数,
? ? )0(1ln ??? xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( ?? 内的原函数,
如果在区间 I 内，可导函数 )( xF 的
即 Ix ??,都有 )()( xfxF ??
或 dxxfxdF )()( ?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
定义
一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，简言之：连续函
数一定
有原函
数,
(1) 原函数是否唯一？
例 ? ? xx c o ss i n ??? ? xCx c o ss i n ???
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix ??,都有 )()( xfxF ??,
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
问题：
关于原函数的说明：
就有无限多个原函数。发
有一个原函数，那么如果
的原函数。这说明，也是
函数即对任何常数
)(
)(
)(
)(,
xf
xf
xf
CxFC ?
)(]))([
)()()(
)()1(
xfCxF
C
xfxFIxxF
Ixf
???
???
，显然也有那么，对任何常数
，都有，使对任一
上有原函数在区间：如果
证
（ 为任意常数）C
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
CxGxF ?? )()(则：
? ? )()()()( xGxFxGxF ???????
0)()( ??? xfxf
CxGxF ??? )()( （ 为任意常数）C
的任意一个原函数。表示
就可为任意常数时，表达式当
只差一个常数，因此与这说明
)(
)(
)()(
xf
CxFC
xGxF
?
任
意
常
数
积
分
号
被
积
函
数
不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf ??? )()(
被
积
表
达
式
积
分
变
量
函数 )( xf 的带有任意
常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的
不定积分,记为 ? dxxf )(,
例 1,5dxx?
解,6
5
6
xx ?
?
?
?
??
?
??
.6
6
5 Cxdxx ??? ?
解
例 2,1
1
2? ? dxx
? ?,1 1a rcta n 2xx ????
.a rcta n1 1 2? ???? Cxdxx
求
求
设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线
斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy ?
根据题意知,2 xdxdy ?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2? ?? Cxx d x?,)( 2 Cxf ???
由曲线通过点（ 1,2）,1?? C
所求曲线方程为,12 ?? xy
例 3
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知 ? ?
),()( xfdxxfdxd ??,)(])([ dxxfdxxfd ??
,)()(? ??? CxFdxxF,)()(? ?? CxFxdF
微分运算与求不定积分
的运算是 互逆 的,结论
?
?
?
xx ?
?
?
?
??
?
?
?
?
1
1
.1
1
Cxdxx ?????
??
??
能否根据求导公式得出积分公式？
既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1( ???
实例
启示
结论
二,基本积分表
??,0x,ln? ?? Cxxdx
???? ])[l n (,0 xx,1)(1 xxx ????
,)l n(? ???? Cxxdx,||ln? ??? Cxxdx
简写为,ln? ?? Cxx
dx
基
本
积
分
表
? ?? kCkxk d x ()1( 是常数 );1 );1(
1)2(
1
???????
??
?? Cxdxx
2;ln)3( ? ?? Cxxdx3
说明：;a r c t a n Cx ? ??? dxx 21 1)4(4;a r c s i n Cx ? ??? dxx 21 1)5(5;s i n Cx ?? ?xdxc o s)6(6
? ?x d xs i n)7( ;c o s Cx ??7
?? xdx 2co s)8( ? ?xdx2s e c ;t a n Cx ?8
?? xdx 2s i n)9( ? ?xdx2c s c ;c o t Cx ??9
? ?xdxx t a ns e c)10( ;s e c Cx ?10
? ?xdxx c o tc s c)11( ;c s c Cx ??11
?? dxe x)12( ;Ce x ?12
?? dxa x)13( ;ln Caa
x
?13
? ?xdxs i n h)14( ;c o s h Cx ?14
? ?xdxc o s h)15( ;s i n h Cx ?15
求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx?? 2
5
C
x
?
?
?
?
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx ??
根据积分公式（ 2） C
xdxx ?
??
?
? 1
1
?
?
?
例 4
C
x
Cx
C
x
dxxdx
xx
dx
xx
??????
?
??
??
?
??
?
??
?
3 2
3
2
1
3
5
3
5
3 2
3 2
2
3
2
3
1
3
5
1
1
5
解：
求例
? ?? dxxgxf )]()([)1( ;)()(? ?? dxxgdxxf
证 ? ???? ? dxxgdxxf )()(?
? ? ? ????? ?? dxxgdxxf )()( ).()( xgxf ??
? 等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
? ?dxxkf )()2(,)(? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
求积分
解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx? ???
dxxx )1 21 3( 22? ???
dxxdxx? ? ???? 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s i n2? C?
例 6
求积分
解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
?
??
dxxx xx? ??? )1(1 2
2
dxxx xx? ???? )1( )1( 2
2
dxxx? ?????? ??? 11 1 2 dxxdxx? ???? 11 1 2
.lna r c t a n Cxx ???
例 7
求积分
解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
?
?
dxxx x? ?? )1( 21 22
2 dx
xx
xx?
?
???
)1(
1
22
22
dxxdxx ?? ??? 22 1 11
.a r c t a n1 Cxx ????
例 8
Cxxx
x
dx
x
xx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
??????
?
????
?
??
?
?
?
?
??
?
)3l n (279
2
3
3
]
3
1
27)93[(
3
2727
3
3
9
2
3
2
33
3
求积分类型之后，就可以逐项
化为表中所列同上题一样经过变形，
型的积分，基本积分表没有这种类解
求例
Cxxdxxdx
dxxxdx
xdx
?????
??
??
??
?
t ans e c
)1s e ct an
t an10
2
22
2
（
分：等式变形，然后再求积
角恒类型的积分，先利用三
基本积分表中没有这种解
求例
求积分
解
.2c o s1 1? ? dxx
? ? dxx2co s1 1 ? ??? dxx 1c o s21
1
2
?? dxx2co s121,ta n21 Cx ??
以上几例中的被积函数都需要进行
恒等变形，才能使用基本积分表,
例 11
说明：
例 12 已知一曲线 )( xfy ? 在点 ))(,( xfx 处的
切线斜率为 xx s i ns e c
2
?,且此曲线与 y 轴的交
点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns ec 2 xxdxdy ???
? ? dxxxy ? ??? s i ns e c 2
,c o st a n Cxx ???
,5)0( ?y?,6?? C
所求曲线方程为,6co sta n ??? xxy
)()( xfxF ??原函数的概念：1
? ?? CxFdxxf )()(不定积分的概念：2
基本积分表 (1)3
求微分与求积分的互逆关系4
不定积分的性质5
四,小结
在 内是否存在原函数？为什么？
符号函数 ?
?
?
?
?
??
?
?
??
0,1
0,0
0,1
s gn)(
x
x
x
xxf
),( ????
思
考
题
不存在,
假设有原函数 )(xF ?
?
?
?
?
???
?
??
?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误
所以 在 内不存在原函数,),( ????)(xf
每一个含有第一类间断
点的函数都没有原函数,结论
思考题解答
一,填空题：
1, 一个已知的函数，有 ______ 个原函数，其中任意
两个的差是一个 ______ ；
2, )( xf 的 ________ 称为 )( xf 的不定积分；
3, 把
)( xf
的一个原函数
)( xF
的图形叫做函数
)( xf
的 ________,它的方程是
)( xFy ?
，这样不定积
? dxxf )( 在几何上就表示 ___ _ ___ _,它的方程是
CxFy ?? )(；
4, 由 )()(
'
xfxF ? 可 知, 在 积 分 曲 线 族
CxFy ?? )(
)( 是任意常数C
上横坐标相同的点
处作切线，这些切线彼此是 ______ 的；
5, 若
)( xf
在某区间上 ___ __ _,则在该区间上
)( xf
的
原函数一定存在；
练 习 题
6, ?
?
dxxx ___ ___ ___ __ ___ __ ___ _ _ _ ；
7, ??
xx
dx
2
___ ___ ___ __ __ ___ ___ _ ___ ；
8, ???? dxxx )23(
2
___ ___ ___ _ _ ___ __ _ ；
9, ???? dxxx )1)(1(
3
_____ _ ___ __ __ ；
10, ?
?
?
dx
x
x
2
)1(
=__ ___ ___ __ ___ __ ___ _ _,
二,求下列不定积分：
1, ?
?
dx
x
x
2
2
1
2, ?
???
dx
x
xx
3
2532
3, ? dx
x
2
c o s
2
4, ? dx
xx
x
22
s i nc o s
2c o s
5, ? ? dxxx
x
)
1
1(
2
6, ?
?
?
xdx
x
xx
2
2
22
s e c
1
s i n
三、一曲线通过点 )3,(
2
e,且在任一点处的切线的斜
率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程,
四、证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i n hc o s h
c o s hs i n h,
2
1
2
?
都是和
的原函数,
一,1,无穷多,常数； 2,全体原函数；
3,积分曲线,积分曲线族； 4,平行； 5,连续；
6, Cx ?
2
5
5
2； 7, Cx ??
?
2
3
3
2；
8, Cxx
x
??? 2
2
3
3
2
3；
9, Cxxx
x
????
2
3
2
53
3
2
5
2
3
,
10, Cxxx ???
2
5
2
3
5
2
3
4
2,
练习题解答 请记录
二,1, Cxx ?? a rc t a n ； 2, Cx
x
?
?
?
3ln2ln
)
3
2
(5
2 ；
3, C
xx
?
?
2
s i n； Cxx ??? )t an( c ot.4 ；
5, C
x
x
?
?
4
2
7
)7(4； 6, Cxa r cx ?? co tt a n,
三,Cxy ?? ln,