第五章 定积分
定积分的概念
定积分的性质和定积分中值定理
微积分基本公式
定积分的换元法
定积分的分部积分法
定积分的近似计算
广义积分
第一节 定积分的概念
问题提出
定积分的定义
存在定理
小结
a b x
y
o
?A
曲边梯形由连续曲线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成,
)( xfy ?
实例 1 （求曲边梯形的面积）
一、问题的提出
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近
曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示，
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn ??????? ??个分点，
内插入若干在区间
a b x
y
o i?ix1x 1?ix 1?nx;
],[
],[
1
1
?
?
??? iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间
分成把区间
，上任取一点
在每个小区间
i
ii xx
?
],[ 1?
iii xfA ?? )(?
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx ??
i
n
i
i xfA ?? ?
?
)(
1
?
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
时，趋近于零
即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
?
????
?
? nxxx ?
曲边梯形面积为
（求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv ? 是
时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且
0)( ?tv,求物体在这段时间内所经过的路程,
思路,把整段时间分割成若干小段，每小段上
速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便
得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细
分过程求得路程的精确值．
实例 2
（ 1）分割 212101 TtttttT nn ??????? ??
1???? iii ttt iii tvs ??? )(?
部分路程值 某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
tvs ?? ?
?
)(
1
?
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt ???? ??
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?路程的精确值
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，
记 },,,m a x { 21 nxxx ???? ??,如果不论对 ],[ ba
在 ],[ ba 中任意插入
若干个分点 bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
1???? iii xxx, ),2,1( ??i,在各小区间上任取
一点 i? （ ii x??? ），作乘积 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i 并作和
ii
n
i
xfS ?? ?
?
)(
1
?,
定义
二、定积分的定义
怎样的分法，
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(l i m
10
?
?
被
积
函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
积分区间],[ ba
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx ? 上
点 i? 怎样的取法,只要当 0?? 时，和 S 总趋于
确定的极限 I,我们称这个极限 I 为函数 )( xf
在区间 ],[ ba 上的 定积分,记为
积分上限
积分下限
积分和
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(
（ 2 ）定义中区间的分法和 i? 的取法是任意的,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时，
而与积分变量的字母无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
注
意
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点,则 )( xf 在
区间 ],[ ba 上可积,
定理 1
定理 2
三、存在定理
,0)( ?xf ? ?ba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)( ?xf ? ??ba Adxxf )(曲边梯形的面积
的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a? ?? ? ?
四、定积分的几何意义
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在
数和．之间的各部分面积的代直线
的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
??,
)(
?? ?
?
几何意义：
利用定义计算定积分,
1
0
2dxx?
解 将 ]1,0[ n 等分，分点为 n
ix
i ?, ( ni,,2,1 ?? )
小区间 ],[ 1 ii xx ? 的长度 nx i 1??, ( ni,,2,1 ?? )
取 ii x??, ( ni,,2,1 ?? )
ii
n
i
xf ??
?
)(
1
? ii
n
i
x?? ?
?
2
1
?,
1
2
i
n
i
i xx ?? ?
?
例 1
nn
in
i
12
1
??
?
??
?
?? ?
?
?
?
?
n
i
in
1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
???? nnn
n
,121161 ?????? ??????? ?? nn ???? n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x?? ?
??
2
10
l i m ?
?
?????? ??????? ?? ?? nnn 121161lim,31?
证明
n
n n
nf
nfnf ??
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?21lim
?
?
??
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
???
n
n n
nf
nfnfe ?
21limln
n
n n
nf
nfnf ??
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?21lim试证,
1
0
)(ln?? dxxfe
利用对数的性质得
设函数 在区间 上连续，且
取正值,
)(xf ]1,0[例 2
???????
? ??? n
if
n
n
ine 1
ln1l i m nnif
n
ine
1lnlim
1
??
?
??
?
??
? ???
指数上可理解为,)(ln xf 在 ]1,0[ 区间
上的一个积分和,分割是将 ]1,0[ n 等分
分点为 nix i ?, （ ni,,2,1 ?? ）
?
?
??
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
???
n
n n
nf
nfnfe ?
21lnlim
极限运算与对数运算换序得
nn
ifn
in
1lnlim
1
??
?
??
?
??
??? ?
? 10 )(ln dxxf
故 nn n
nf
nfnf ??
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?21lim
.
1
0
)(ln?? dxxfe
因为 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且 0)( ?xf
所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意义且可积,
)21(11 22222l i m nn nn nn nI
n ?
??????
??
?求例
利用定积分求极限
21
22
)(1
11
limlim
n
inin
n
I
n
n
in ?
?
?
?
?????
?
得在和式中，取 1,0 ?? ba
4[ a r c t a n ]1
1 1
0
1
0 2
???
?? ? dxxI
)21( 22222lim nn nn nn nI
n ?
??????
??
?原式
解
n
nn
n
!l i m
??
求极限
解
???? ???
??
1
01
lnln
1lim
!
lim
xdxn
i
n
n
n
ee
n
n
n
in
)ln
2
ln
1
( l n
1!ln1!
n
n
nnnn
n
n
n
ee
n
n n ???
??
?
?
1limlnlimln ]ln[
0
1
0
1
0 0
???? ???
?? ?? xxx
dxxx d x
??
?
1?? e故原式
12例
分割 化整为零
求和 积零为整
取极限 精确值 —— 定积分
求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
小 结
定积分的实质：特殊和式的极限．
定积分的思想和方法：
将和式极限：
??
?
??
? ???????
?? n
n
nnnn
)1(s i n2s i ns i n1lim ?
表示成定积分,
思
考
题
原式
??
?
??
? ??????????
?? n
n
n
n
nnnn s i n
)1(s i n2s i ns i n1lim ?
?? ?
???
n
in n
i
n 1 s i n
1lim
nn
in
in
???
?
??
?
? ?
?? ???? 1 s i nlim
1
.s i n1 0? ??? x d xix?i?
思考题解答