第九节 函数的连续性与间断点
函数的连续性
函数的间断点
.,
),(,)()(
00
00
的增量称为自变量在点
内有定义在设函数
xxxx
xUxxUxf
???
?? ??
.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy ????
x
y
0 x
y
00x xx ??0
)( xfy ?
x?
0x xx ??0
x?y?
y?
)( xfy ?
1,函数的增量
一、函数的连续性
定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如
果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函
数的增量 y? 也趋向于零,
即 0l i m
0
??
??
y
x
或
0)]()([l i m
00
0
????
??
xfxxf
x
,
那末就称函数 )( xf 在点 0
x
连续,
0
x 称为
)( xf 的连续点,
2,连续的定义
,0 xxx ???设 ),()( 0xfxfy ???
,0 0xxx ??? 就是
).()(0 0xfxfy ??? 就是
定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如果函
数 )( xf 当
0
xx ? 时的极限存在,且等于它在点
0
x 处的函数值 )( 0xf,
即 )()(l i m
0
0
xfxf
xx
?
?
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义???
?
???
??
???????
Axf
xx
)(
,0,0,0 0
恒有
时使当
函数连续的3定义
:"" 定义???
.)()(
,,0,0
0
0
?
???
??
??????
xfxf
xx
恒有
时使当
:比较 Axf
xx
?
?
)(lim
0
注意两个概念的区别
例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续
在试证函数 ?
??
?
?
?
?
?
? x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 ?? xxx?
,0)0( ?f又
由定义 2知
.0)( 处连续在函数 ?xxf
),0()(l i m 0 fxfx ??;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??
定理
.
)()( 00
处既左连续又右连续
在是函数处连续在函数 xxfxxf ?
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??
3.单侧连续
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性
处的在讨论函数 ?
?
?
?
??
??
? x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 ?? ?? ?? xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数 ?xxf
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间
上的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,,),( 内是连续的有理函数在区间 ????
4,连续函数与连续区间
例 3,),(s i n 内连续在区间函数证明 ????? xy
证 ),,( ?????x任取
xxxy s in)s in ( ????? )2co s (2s i n2 xxx ?????
,1)2c o s ( ?? xx ??
.2s in2 xy ???则
,0,时当对任意的 ???,s in ???有
,2s in2 xxy ?????故,0,0 ????? yx 时当
.),(s i n 都是连续的对任意函数即 ?????? xxy
点连续在证明 2)( 2 ?? xxxf
证,0?? ?对 不妨设 )31(,12 ???? xx
??????? 252242 xxxx要使
52
???x只要 }
5,1m i n {
?? ?取
?? ???? 4,2 2xx 时则
44lim 0222 ????? xCxyxx即
例 4
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点
为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
二、函数的间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
???
例 5,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 ???? ?? ??? xxx xxxf
解,0)00( ??f,1)0( ??f
),00()00( ??? ff?
.0 为函数的跳跃间断点?? x o x
y
1.跳跃间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
例 6
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在
讨论函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy ?? 1
xy 2?
2.可去间断点
解,1)1( ?f?
,2)01( ??f,2)01( ??f
2)(lim 1 ?? ? xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点?? x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数
的定义,则可使其变为连续点,
如例 5中,,2)1( ?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在
则
?
?
?
?
??
??
?
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点
为函数则称点在右极限至少有一个不存
处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 7
.0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数 ?
??
?
?
?
?
?? x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00( ??f,)0( ????f
.1 为函数的第二类间断点?? x
.断点这种情况称为无穷间
3.第二类间断点
例 8,0
1s i n)( 处的连续性在讨论函数 ?? x
xxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在 ?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx ?
.0 为第二类间断点?? x
.断点这种情况称为的振荡间
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点,
??
???
,,0
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
狄利克雷函数
在定义域 R内每一点处都间断,且都是第二类间断点,
??
?
??,,
,,)(
是无理数时当
是有理数时当
xx
xxxf
仅在 x=0处连续,其余各点处处间断,
★
★
o1x 2x 3x
y
x
? ?xfy ?
??
?
??,,1
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxf
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续,
★
判断下列间断点类型,
例 9,0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数
取何值时当
?
?
?
?
??
?
? x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ??,a?
,)0( af ??
),0()00()00( fff ????要使
,1 时故当且仅当 ?a,0)( 处连续在函数 ?xxf
,1?? a
10例 型的连续性与间断点的类讨论 xxxxf nn
n 2
2
1
1lim)(
?
??
??
解 的表达式先求 )( xf
xxxxf n
n
n 2
2
1
1l i m)(
?
??
?? ?
?
?
?
?
??
?
?
?
1
10
1
xx
x
xx
:图示
x
y
1?
1
xxf ?)( xxf ??)(
xxf ??)( 00
1)01( ???f
1)01( ????f
1)01( ??f
1)01( ???f
均为跳跃间断点和 11 ??? xx
解
设
??
?
?
?
??
?
?
0
0
1
s i n
)(
xe
x
x
x
xf
x ?
?
点的连续性
在讨论的不同情况和根据
0
)(,
?x
xf??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
??
0
1
s i nlim
00
1
s i nlim
)00(
00
00
?
?
?
?
不存在
x
x
x
x
f
x
x
?? ????? ?? 1lim)00( 00 xx ef
点连续在 0)(,1,0 ????? xxf??
为第一类跳跃间断点0,1,0 ???? x??
的第二类间断点为 )(0,0 xfx ???
例 11
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点 (见下图 )
函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
小 结
区间上的连续函数 ;
3.间断点的分类与判别 ;
可去型第一
类
间
断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
o
y
x0x
o
y
x0x
o
y
x0x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??
??
不存在或
不存在或
且都不是
至少有一个为不存在振荡间断点
至少有一个为无穷间断点
第二类
有跳跃
可去
可改变
可补充定义不存在
第一类
)0(
)0(
)0(),0(:
)0(),0(:
)(),0()0(
)(
)(lim)(),(lim)(
)(lim)(,)(
)(lim
0
0
00
00
00
00
00
)0(
)0(
00
0
0
0
0
xf
xf
xfxf
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
xfxfxf
xf
xxxx
xx
xx
xf
xf
函数间断点的分类
若 )( xf 在
0
x 连续，则 |)(| xf, )(
2
xf 在
0
x
是 否连续？又若 |)(| xf, )(
2
xf 在
0
x 连续,)( xf 在
0
x 是否连续？
思
考
题
? )( xf 在 0x 连续,)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
)()()()(0 00 xfxfxfxf ????且
)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
?????????????? ??? )(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx )( 0
2 xf?
故 |)(| xf, )(2 xf 在 0x 都连续,
思考题解答
但反之不成立,
例 ??
?
?
???
0,1
0,1)(
x
xxf
在 00 ?x 不连续
但 |)(| xf, )(2 xf 在 00 ?x 连续
函数的连续性
函数的间断点
.,
),(,)()(
00
00
的增量称为自变量在点
内有定义在设函数
xxxx
xUxxUxf
???
?? ??
.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy ????
x
y
0 x
y
00x xx ??0
)( xfy ?
x?
0x xx ??0
x?y?
y?
)( xfy ?
1,函数的增量
一、函数的连续性
定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如
果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函
数的增量 y? 也趋向于零,
即 0l i m
0
??
??
y
x
或
0)]()([l i m
00
0
????
??
xfxxf
x
,
那末就称函数 )( xf 在点 0
x
连续,
0
x 称为
)( xf 的连续点,
2,连续的定义
,0 xxx ???设 ),()( 0xfxfy ???
,0 0xxx ??? 就是
).()(0 0xfxfy ??? 就是
定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如果函
数 )( xf 当
0
xx ? 时的极限存在,且等于它在点
0
x 处的函数值 )( 0xf,
即 )()(l i m
0
0
xfxf
xx
?
?
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义???
?
???
??
???????
Axf
xx
)(
,0,0,0 0
恒有
时使当
函数连续的3定义
:"" 定义???
.)()(
,,0,0
0
0
?
???
??
??????
xfxf
xx
恒有
时使当
:比较 Axf
xx
?
?
)(lim
0
注意两个概念的区别
例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续
在试证函数 ?
??
?
?
?
?
?
? x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 ?? xxx?
,0)0( ?f又
由定义 2知
.0)( 处连续在函数 ?xxf
),0()(l i m 0 fxfx ??;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??
定理
.
)()( 00
处既左连续又右连续
在是函数处连续在函数 xxfxxf ?
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??
3.单侧连续
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性
处的在讨论函数 ?
?
?
?
??
??
? x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 ?? ?? ?? xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数 ?xxf
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间
上的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,,),( 内是连续的有理函数在区间 ????
4,连续函数与连续区间
例 3,),(s i n 内连续在区间函数证明 ????? xy
证 ),,( ?????x任取
xxxy s in)s in ( ????? )2co s (2s i n2 xxx ?????
,1)2c o s ( ?? xx ??
.2s in2 xy ???则
,0,时当对任意的 ???,s in ???有
,2s in2 xxy ?????故,0,0 ????? yx 时当
.),(s i n 都是连续的对任意函数即 ?????? xxy
点连续在证明 2)( 2 ?? xxxf
证,0?? ?对 不妨设 )31(,12 ???? xx
??????? 252242 xxxx要使
52
???x只要 }
5,1m i n {
?? ?取
?? ???? 4,2 2xx 时则
44lim 0222 ????? xCxyxx即
例 4
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点
为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
二、函数的间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
???
例 5,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 ???? ?? ??? xxx xxxf
解,0)00( ??f,1)0( ??f
),00()00( ??? ff?
.0 为函数的跳跃间断点?? x o x
y
1.跳跃间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
例 6
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在
讨论函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy ?? 1
xy 2?
2.可去间断点
解,1)1( ?f?
,2)01( ??f,2)01( ??f
2)(lim 1 ?? ? xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点?? x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数
的定义,则可使其变为连续点,
如例 5中,,2)1( ?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在
则
?
?
?
?
??
??
?
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点
为函数则称点在右极限至少有一个不存
处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 7
.0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数 ?
??
?
?
?
?
?? x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00( ??f,)0( ????f
.1 为函数的第二类间断点?? x
.断点这种情况称为无穷间
3.第二类间断点
例 8,0
1s i n)( 处的连续性在讨论函数 ?? x
xxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在 ?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx ?
.0 为第二类间断点?? x
.断点这种情况称为的振荡间
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点,
??
???
,,0
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
狄利克雷函数
在定义域 R内每一点处都间断,且都是第二类间断点,
??
?
??,,
,,)(
是无理数时当
是有理数时当
xx
xxxf
仅在 x=0处连续,其余各点处处间断,
★
★
o1x 2x 3x
y
x
? ?xfy ?
??
?
??,,1
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxf
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续,
★
判断下列间断点类型,
例 9,0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数
取何值时当
?
?
?
?
??
?
? x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ??,a?
,)0( af ??
),0()00()00( fff ????要使
,1 时故当且仅当 ?a,0)( 处连续在函数 ?xxf
,1?? a
10例 型的连续性与间断点的类讨论 xxxxf nn
n 2
2
1
1lim)(
?
??
??
解 的表达式先求 )( xf
xxxxf n
n
n 2
2
1
1l i m)(
?
??
?? ?
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?
?
?
??
?
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1
10
1
xx
x
xx
:图示
x
y
1?
1
xxf ?)( xxf ??)(
xxf ??)( 00
1)01( ???f
1)01( ????f
1)01( ??f
1)01( ???f
均为跳跃间断点和 11 ??? xx
解
设
??
?
?
?
??
?
?
0
0
1
s i n
)(
xe
x
x
x
xf
x ?
?
点的连续性
在讨论的不同情况和根据
0
)(,
?x
xf??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
??
0
1
s i nlim
00
1
s i nlim
)00(
00
00
?
?
?
?
不存在
x
x
x
x
f
x
x
?? ????? ?? 1lim)00( 00 xx ef
点连续在 0)(,1,0 ????? xxf??
为第一类跳跃间断点0,1,0 ???? x??
的第二类间断点为 )(0,0 xfx ???
例 11
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点 (见下图 )
函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
小 结
区间上的连续函数 ;
3.间断点的分类与判别 ;
可去型第一
类
间
断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
o
y
x0x
o
y
x0x
o
y
x0x
?
?
?
?
?
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???
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???
?
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??
?
?
??
??
不存在或
不存在或
且都不是
至少有一个为不存在振荡间断点
至少有一个为无穷间断点
第二类
有跳跃
可去
可改变
可补充定义不存在
第一类
)0(
)0(
)0(),0(:
)0(),0(:
)(),0()0(
)(
)(lim)(),(lim)(
)(lim)(,)(
)(lim
0
0
00
00
00
00
00
)0(
)0(
00
0
0
0
0
xf
xf
xfxf
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
xfxfxf
xf
xxxx
xx
xx
xf
xf
函数间断点的分类
若 )( xf 在
0
x 连续，则 |)(| xf, )(
2
xf 在
0
x
是 否连续？又若 |)(| xf, )(
2
xf 在
0
x 连续,)( xf 在
0
x 是否连续？
思
考
题
? )( xf 在 0x 连续,)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
)()()()(0 00 xfxfxfxf ????且
)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
?????????????? ??? )(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx )( 0
2 xf?
故 |)(| xf, )(2 xf 在 0x 都连续,
思考题解答
但反之不成立,
例 ??
?
?
???
0,1
0,1)(
x
xxf
在 00 ?x 不连续
但 |)(| xf, )(2 xf 在 00 ?x 连续
