函 数 初等函数
数列的极限 函数的极限
第一章 函数与极限
无穷小与无穷大 极限的运算法则
无穷小阶的比较极限存在准则
两个重要极限
函数的连续性与间断点 习题课
绪
高等数学的主要内容
准备知识
第一章 函数
第一讲 函 数
初等数学
研究对象,常量
初等方法,有限的方法
初等数学是用 有限的方法 研究常量的数学
高等数学
研究对象,变量 （ 函数 ）
研究方法,极限的方法
高等数学是用 极限的方法 研究变量的数学
绪
一元微
分学
一元积
分学
多元微
分学
空间解
析几何
多元积
分学
级数
常微分
方程
高等
数学
记作,A <=>B
若 A则 B,称 A是 B的充分条件,B是 A的必要条件
记作,A=>B 或 B<=A
若 A则 B与若 B则 A同时成立，则称 A与 B互为
充要条件，亦称等价
准备知识
一、充分必要条件
3,命题的形式,原命题：若 A则 B
逆命题：若 B则 A
否命题：若非 A则非 B
逆否命题：若非 B则非 A
1,命题,判断一件事理的语言
定理,被证明是正确的命题
2,命题的结构,条件 结论
二、命题的形式
4.命题四种形式的关系
原命题 逆命
题
否命题 逆否命
题
互逆
互否 互否
互逆
1.定义, 具有某种特定性质的事物的 总体,
组成这个集合的事物称为该集合的 元素,
},,,{ 21 naaaA ??
}{ 所具有的特征xxM ?
有限集
无限集
,Ma ?,Ma ?
.,,的子集是就说则必若 BABxAx ??
.BA ?记作
三,集合
N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集
2,数集间的关系,,,,RQQZZN ???
.,,相等与就称集合且若 BAABBA ?? )( BA ?
},2,1{?A例如 },023{ 2 ???? xxxC,CA ?则
不含任何元素的集合称为 空集, )( ?记作
例如,}01,{ 2 ??? xRxx
规定
??
数集分类,
空集为任何集合的子集,
是指介于某两个实数之间的全体实数,
这两个实数叫做 区间的端点,
.,,baRba ??? 且
}{ bxax ?? 称为开区间,),( ba记作
}{ bxax ?? 称为闭区间,],[ ba记作
o xa b
o xa b
四、区间
}{ bxax ??
}{ bxax ??
称为半开区间,
称为半开区间,
),[ ba记作
],( ba记作
}{),[ xaxa ???? }{),( bxxb ????
o xa
o xb
有限区间
无限区间
区间长度的定义,
两端点间的距离 (线段的长度 )称为区间的长度,
.0,??? 且是两个实数与设 a
).(0 aU ?记作
,叫做这邻域的中心点 a,叫做这邻域的半径?
.}{)( ??? ????? axaxaU
xa??a ??a
??
,邻域的去心的点 ?a
.}0{)( ?? ???? axxaU
,}{ 邻域的称为点数集 ?? aaxx ??
五、邻域
).(0 aU ?记作
xa??a
??a
,邻域的去心的点 ?a
.}0{)( ?? ???? axxaU
?
(1) 左邻域
（ 2）右邻域
（ 3）去心邻域
),(),(,aaaU ?? ???记作
),(),(,?? ??? aaaU记作
?
邻域的分类：
Ay ?设平面上直线的邻域,)4(
,的点的全体的距离小于所有与 ?A
),(,?? AUAy 记作邻域的称为 ?
Ay ?设
:几何解释
x
??A
??A
Ay?
0
.,),( 为半径的带形区域以为中心是以可见 ?? AAU
y
空间的点邻域)( 5
空间中所有与为空间的点设,),,(0 cbaM
称为的点的全体的距离小于,?M,邻域的 ?M
:几何意义
})()()(0),,{(),( 222 ?? ???????? czbyaxzyxMU
?
?
),,( cbaM?
?
在某过程中数值保持不变的量称为 常量,
常量与变量是相对“过程”而言
的,
通常用字母 a,b,c等表示常量,
而数值变化的量称为 变量,
常量与变量的表示方法：
用字母 x,y,t等表示 变 量,
五、常量与变量
注
意
??
?
??
??
0
0
aa
aaa
)0( ?a
运算性质, ;baab ?;baba ?,bababa ?????
)0( ?? aax ;axa ???
)0( ?? aax ;axax ??? 或
绝对值不等式,
六、绝对值
第一章 函 数
函数概念
初等函数
数列的极限
函数的极限
无穷小与无穷大
极限的运算法则
函数的连续性与间断点
极限存在法则和两个
重要极限
无穷小的比较
引例 圆内接正多边形的周长
nnrS n
?? s i n2
?,5,4,3?n
3S 5
S4S 6S
圆内接正 n边形
O
r
n?
第 1 节 函数概念
因变量 自变量
.)(,000 处的函数值为函数在点称时当 xxfDx ?
.}),({ 称为函数的值域
函数值全体组成的数集
DxxfyyW ???
变量 y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的 函数,记作
设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集,
数集 D叫做这个函数的 定义域)( xfy ?
如果对于每个数 Dx ?,
定理 1
一、函数的定义
(
(
)
)
0x
)( 0xf
自变量
因变量
对应法则 f
定义域 与 对应法则,
x
y
D
W
约定, 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一
切实数值,
21 xy ??例如,]1,1[,?D
21
1
xy ??例如,)1,1(,?D
2.函数的两要素,
定义,
.)(
}),(),{(
的图形函数
称为点集
xfy
DxxfyyxC
?
???
o x
y
),( yx
x
yW
D
?
3,如果自变量在定义域内任
取一个数值时，对应的函数
值总是只有一个，这种函数
叫做 单值函数,否则叫做 多
值函数．
．例如,222 ayx ??
的定义域求例
12
1ln
1
?
?
?
x
x
y
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
2
1
1
012
01
x
x
x
x
?解
),1()1,
2
1( ????? ?X定义域为
Dxy 定义域求例
10
lga r c s i n2 ?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
1
10
lg1
0
10
1
10
lg
:
x
x
x
x
?解
}1001{
101
0
????
?
?
?
??
?
? xxD
x
x
?
?
?
?
?
??
?
?
??
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
当
当
当1
-1
x
y
o
xxx ?? s g n
(1) 符号函数
二、几个特殊的函数举例
[x] 表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4 3
2 1
-1
-3
x
y
o
阶梯曲线
x
(2) 取整函数 y=[x]
??
???
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点无理数点
?
1
x
y
o
(3) 狄利克雷函数
)}(),(m a x { xgxfy ? )}(),(m i n{ xgxfy ?
y
xo
)(xf
)(xg
y
xo
)(xf
)(xg
(4) 取最值函数
??
?
??
???
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如
12 ?? xy12 ?? xy
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为 分段函数,
(5)分段函数
例 1
解
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
?
,]2,0[ 时当 ??t
t
E
U
2
?
?;2 tE??
单三角脉冲信号的电压,],
2( 时当 ?
??t
),(
2
0
0 ???
??
?
?
?? t
E
U
)(2 ?? ??? tEU即
脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,
写出电压 U与时间 t(t>0) 的函数关系式,
,),( 时当 ????t,0?U
其表达式为
是一个分段函数,)( tUU ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
???
?
?
?
?
?
?
),(,0
],
2
(),(
2
]
2
,0[,
2
)(
t
tt
E
tt
E
tU
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
?
例 2,)3(,
212
101)( 的定义域求函数设 ?
??
?
???
??? xf
x
xxf
解
??
?
????
??????
2312
1301)3(
x
xxf
??
?
???
???
212
101)(
x
xxf?
??
?
?????
?????
122
231
x
x
]1,3[,??fD故
M
-M
y
xo
y=f(x)
X有界 无界
M
-M
y
xo X0x
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX ??????
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
1．函数的有界性,
三、函数的特性
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
),()()1( 21 xfxf ?恒有
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o I
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数(1)
2．函数的单调性,
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?
),()()2( 21 xfxf ?恒有
(2)
是严格单调函数证明例 xxf ln1)( ??
),0()(,??的定义域为证 xf
,),,0(,2121 xxxx ???? 不妨设任取
01lnln)()(
1
2
12 ???? x
xxfxf有
)()( 21 xfxf ?从而
证完
的选取的任意性知由
),0()(
:,21
???xf
xx
0)()(,,)(?2121 ???? xfxfXxx 证对一
1
)(
)(,,)(?
2
1
21 ??? xf
xfXxx 证对二
),0(,???? xey证明练习
证明单调性的方法：
偶函数
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??
y
x
)( xf ?
)( xfy ?
o x-x
)(xf;)( 为偶函数称 xf
3．函数的奇偶性,
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??? ;)( 为奇函数称 xf
奇函数
)( xf ?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy ?
（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
.)()( 恒成立且 xflxf ??
为周则称 )( xf,)(,,DlxDxl ???使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl
2l? 2l23l? 23l
4．函数的周期性,
0x
0y
0x
0y
x
y
D
W
)( xfy ?函数
o x
y
D
W
)( yx ??反函数
o
四、反函数
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
直接函数与反函数的图形关于直线 对称, xy ?
例 3
解
,01)(
??
?
?
??
Qx
QxxD设
.))(().21(),57( 的性质并讨论求 xDDDD ??
,1)57( ??D,0)21( ??D,1))(( ?xDD
o x
y
1单值函数,有界函数,
偶函数,
周期函数 (无最小正周期 )
不是单调函数,
基本概念
集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值,
函数的概念
函数的特性
有界性,单调性,奇偶性,周期性,
反函数
小 结
设 0?? x,函数值
21)1( xx
x
f ???,
求函数 )0()( ?? xxfy 的解析表达式,
思考题
设 ux ?1
则 ? ? 2111 uuuf ???,11
2
u
u???
故 )0(.11)(
2
???? xx xxf
思考题解答