第八节
周期为 2L的周期函数的傅立叶级数
以 2L为周期的函数的傅氏级数
小结
典型例题
,2 lT ??,2 lT ??????
式为则它的傅里叶级数展开定理的条件
满足收敛的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
????? ??
?
)s i nco s(2
1
0 xnbxnaa
n
n
n ???
?
?
??
代入傅氏级数中
定理
一,以 2L为周期的函数的傅氏级数
为其中系数 nn ba,
),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln
,)()1( 为奇函数如果 xf则有
,s i n)(
1
??
?
??
n
n l
xnbxf
,s i n)(2 0 dxl xnxflbb lnn ? ??为其中系数 ),2,1( ??n
,)()2( 为偶函数如果 xf则有,c o s
2)( 1
0 ?
?
?
???
n
n l
xnaaxf
dxl xnxflaa lnn ? ?? 0 co s)(2为其中系数
),2,1,0( ??n
证明,lxz ??令 lxl ???,?????? z
),()()( zFlzfxf ???设,2)( 为周期以 ?zF
),s i nc o s(2)(
1
0 nzbnzaazF
n
n
n ??? ?
?
?
)s i nc o s(2)(
1
0 x
l
nbx
l
naaxf
n
n
n
????? ??
?
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
n z d zzFb
n z d zzFa
n
n其中
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
l
l
n
l
l
n
x d x
l
n
xf
l
b
x d x
l
n
xf
l
a其中
)()( xfzFlxz ????
k
2? x
y
20 44?
设 )( xf 是周期为 4 的周期函数,它在 )2,2[ ?
上的表达式为
?
?
?
??
???
?
20
020
)(
xk
x
xf,将其展
成傅氏级数,
解,,2 满足狄氏充分条件?l?
?? ?? ? 200 20 21021 k d xdxa,k?
例 1
二、典型例题
? ??20 2co s21 x d xnk,0?
? ??? 20 2s i n21 x d xnkb n )co s1( ???? nnk
,
,6,4,20
,5,3,1
2
??
?
?
?
?
?
??
?
?
n
n
n
k
当
当
)25s i n5123s i n312( s i n22)( ??????????? xxxkkxf
),4,2,0;( ?????????? xx
?na ),2,1( ??n
将函数 ? ?10510)( ???? xxxf 展开成傅氏
级数,
解,10?? xz作变量代换
105 ?? x,55 ???? z
)10()( ?? zfxf ),( zFz ???
,)55()( 的定义补充函数 ????? zzzF
,5)5( ??F令 )10()( ?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在 ?
例 2
x
)(zFy
5? 50 1510
),2,1,0(,0 ??? na n
? ??? 50 2s i n)(52 dzznzb n
,10)1( ??? nn ),2,1( ??n
,5s in)1(10)(
1
?
?
?
??
?? n
n zn
nzF )55( ??? z
?
?
?
???????
1
)]10(5s in [)1(1010
n
n
xnnx
.5s in)1(10
1
?
?
?
??
?? n
n
xnn )155( ?? x
[另解 ] ? ??? 15
5 5co s)10(5
1 dxxnxa
n
? ??? 155 5s i n)10(51 dxxnxb n
? ??? ?? 155155 5co s515co s2 dxxnxdxxn,0?
? ?? 1550 )10(51 dxxa,0?
,10)1( ?nn?? ),2,1( ??n
?
?
?
??
???? 1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故
)155( ?? x
),2,1( ??n
小 结
以 2L为周期的傅氏系数 ;
利用变量代换求傅氏展开式 ;
求傅氏展开式的步骤 ;
画图形验证是否满足狄氏条件 (收敛域,奇偶性 );1
求出傅氏系数 ;2
写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf3