第三节 格林公式及其应用（ 2）
曲线积分与路经无关的定义
小结
曲线积分与路经无关的条件
二元函数的全微分求积
G
y
xo
? ?1L Q d yP d x
则称曲线积分 ? ?L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
? ?2L Q d yP d x
1L
2L
?B
?A
如果在区域 G内有
?
否则与路径有关,
一、曲线积分与路径无关的定义
思
考
题
为什么要讨论曲线积分
与路经无关呢？
? ?
c
Q dyPdx
从数学角度看：曲线积分 与路经无关，
则可选一条比较简单的路经简化曲线积分的计算。
? ?
c
Q dyPdx
从物理角度看：曲线积分 与路经无关，
就是指力作功与路经无关。在这种情况下，可选
择简单路经使功的计算简化。
? ?
c
Q dyPdx
设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分 ? ?
L
Q d yPd x 在 G 内与路径无关
（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 2
二、曲线积分与路径无关的条件
证 充分性 在 G内任取一条闭曲线 C，设曲线 C围成
的闭区域为 D。 因为 G但连通,所以 GD?
在 D上有：
x
Q
y
P
?
??
?
?
应用格林公式,??? ??
?
??
?
?
CD
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
0)( ???????? d x d yyPxQ
D
从而
由于
0???
C
Q d yP d x
x
Q
y
P
?
??
?
?
在区域 G内 沿内任意闭曲线的曲线积分为零 时，假设
不恒成立
那么在 G内至少有一点
0M
使得：
0)(
0
??????? ηMyPxQ不妨假定
0)(
0
?????? MyPxQ
由于
内取得一个内连续，可以在在由于 GG,xQyp ????
必要性 (反证法 )证
KM 圆形闭区域为圆心，半径足够小的以 0
上恒有使得在 K
2
η?
?
??
?
?
y
P
x
Q
积分的性质就有于是由格林公式及二重
??? ?????????
K
dxdyyPxQ σ
η
2)(Q d yP d xr
的面积。是的正向边界曲线，是这里 KKr σ
从而因为,0,0 ?? ση
? ??
r
0Q d yp d x
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
，不成立的点不可能存在
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
内使见为零的假定相矛盾，可
分内任意闭曲线的曲线积这结果与沿
G
G
内处处成立在 G
(1) 开区域 G 是一个单连通域,
( 2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连
续偏导数,
两条件缺一不可
有关定理的说明
设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导
数,则 dyyxQdxyxP ),(),( ? 在 G 内为某一
函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在
G
内恒成立,
定理 3
三、二元函数的全微分求积
x
Q
y
P
?
??
?
?若
? ?),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x则
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??
),( 01 yxC?
),( 11 yxB?
x
y
o
),( 00 yxA?
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??或
例 1 计算 ? ???
L
dyyxdxxyx )()2( 422, 其中
L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
s i n
x
y
?
?,
xxyx
yy
P
2)2(
2
??
?
?
?
?
?
xyx
xx
Q
2)(
42
??
?
?
?
?
?解
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
?,
原积分与路径无关
故原式 ? ? ???
1
0
1
0
42 )1( dyydxx
.1523?
例 2 设曲线积分 ? ??
L
dyxydxxy )(
2
与路径无
关,其中 ? 具有连续的导数,且 0)0( ??,
计算 ? ??
)1,1(
)0,0(
2
)( dyxydxxy,
积分与路径无关 xQyP ?????,
解
,2)( 2 xyxyyyP ?????? ),()]([ xyxy
xx
Q ? ???
?
??
?
?
,),( 2xyyxP ? ),(),( xyyxQ ??
由 0)0( ??, 知 0?c 2)( xx ???,
故 ? ??)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy
由 xyxy 2)( ?? ? cxx ???? 2)(
?? ?? 1010 0 y d ydx,21?
与路径无关的四个等价命题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续
的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1( ? ???
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2( Q d yP d xduyxUD ??使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题
小 结
曲线积分与路经无关的定义
小结
曲线积分与路经无关的条件
二元函数的全微分求积
G
y
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则称曲线积分 ? ?L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
? ?2L Q d yP d x
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如果在区域 G内有
?
否则与路径有关,
一、曲线积分与路径无关的定义
思
考
题
为什么要讨论曲线积分
与路经无关呢？
? ?
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从数学角度看：曲线积分 与路经无关，
则可选一条比较简单的路经简化曲线积分的计算。
? ?
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从物理角度看：曲线积分 与路经无关，
就是指力作功与路经无关。在这种情况下，可选
择简单路经使功的计算简化。
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设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分 ? ?
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（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是
x
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P
?
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在 G 内恒成立,
定理 2
二、曲线积分与路径无关的条件
证 充分性 在 G内任取一条闭曲线 C，设曲线 C围成
的闭区域为 D。 因为 G但连通,所以 GD?
在 D上有：
x
Q
y
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由于
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在区域 G内 沿内任意闭曲线的曲线积分为零 时，假设
不恒成立
那么在 G内至少有一点
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使得：
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0)(
0
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由于
内取得一个内连续，可以在在由于 GG,xQyp ????
必要性 (反证法 )证
KM 圆形闭区域为圆心，半径足够小的以 0
上恒有使得在 K
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内使见为零的假定相矛盾，可
分内任意闭曲线的曲线积这结果与沿
G
G
内处处成立在 G
(1) 开区域 G 是一个单连通域,
( 2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连
续偏导数,
两条件缺一不可
有关定理的说明
设开区域 G 是一个单连通域,函数
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数,则 dyyxQdxyxP ),(),( ? 在 G 内为某一
函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
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在
G
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定理 3
三、二元函数的全微分求积
x
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x
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例 1 计算 ? ???
L
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例 2 设曲线积分 ? ??
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与路径无
关,其中 ? 具有连续的导数,且 0)0( ??,
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与路径无关的四个等价命题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续
的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1( ? ???
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2( Q d yP d xduyxUD ??使内存在在 ),()3(
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题
小 结
