第七章 空间解析几何
空间直角坐标系
向量的坐标
向量代数及其基本运算
空间曲线与曲面
向量的内积 外积 混合积
空间平面及其方程
空间直线及其方程
二次曲面
第一节 空间直角坐标系
空间直角坐标系
空间两点间的距离
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
?定点 o
空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向
符合 右手系,
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指
从正向 x 轴以
2
?
角
度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向,
一,空间点的直角坐标
Ⅶ x
yo
z
xoy 面
yoz 面
zox 面
空间直角坐标系共有 八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
空间的点 有序数组 ),,( zyx?? ?? ?? 11
特殊点的表示,
)0,0,0(O
),,( zyxM?
x
y
z
o
)0,0,(xP
)0,,0( yQ
),0,0( zR
)0,,( yxA
),,0( zyB
),,( zoxC
坐标轴上的点,P,Q,R
坐标面上的点,A,B,C
设 ),,( 1111 zyxM, ),,( 2222 zyxM 为空间两点
x
y
z
o
?1M
P N
Q
R ?
2M
21 ?? MMd
在直角 21 NMM?
及直角 PNM 1?
中，使用勾股定
理知
,222212 NMPNPMd ???
二,空间两点间的距离
,121 xxPM ???
,12 yyPN ??
,122 zzNM ??
22221 NMPNPMd ????
? ? ? ? ? ?,21221221221 zzyyxxMM ??????
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为,),,( zyxM )0,0,0(O
OMd ?,222 zyx ???
x
y
z
o
?1M
P NQ
R ?
2M
例 1 求证以 )1,3,4(1M, )2,1,7(2M, )3,2,5(3M
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解 ?221 MM,14)12()31()47( 222 ??????
?232 MM,6)23()12()75( 222 ??????
?213 MM,6)31()23()54( 222 ??????
32 MM?,13 MM? 原结论成立,
例 2 设 P 在 x 轴上，它到 )3,2,0(1P 的距离为
到点 )1,1,0(2 ?P 的距离的两倍，求点 P 的坐标,
解 设 P点坐标为 ),0,0,(x因为 P 在 x 轴上，
?1PP ? ? 222 32 ??x,112 ?? x
?2PP ? ? 222 11 ???x,22 ?? x
?1PP?,2 2PP 112 ?? x 22 2 ?? x
,1??? x 所求点为 ).0,0,1(),0,0,1( ?
（注意它与平面直角坐标系的 区别 ）
空间直角坐标系（轴、面、卦限）
空间两点间的距离公式
小 结
在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
,)3,2,1( ?A,)4,3,2( ?B
,)4,3,2( ??C,)1,3,2( ??D
思
考
题
A:Ⅳ ; B:Ⅴ ; C:Ⅷ ; D:Ⅲ ;
思考题解答