第七节 空间直线及其方程
直线方程的定义
直线方程的类型
两条直线的位置关系
直线和平面的位置关系
点到直线的距离
x
y
z
o
s? L
0M?
M?
方向向量的定义：
如果一非零向量平行
于一条已知直线，这个
向量称为这条直线的方
向向量．
一,直线方程的定义
),,,( 0000 zyxM
,LM ??
),,,( zyxM
sMM ?0 //
},,,{ pnms ??
},,{ 0000 zzyyxxMM ????
x
y
z
o
s? L
0M?
M?
1.空间直线的对称式方程与参数方程
二,直线方程的类型
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
直线的对称式方程
tp zzn yym xx ?????? 000令
?
?
?
?
?
??
??
??
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数
方向向量的余弦称为
直线的 方向余弦
直线的参数方程,
例 1 用对称式方程及参数方程表示直线,
0432
01
??
?
????
????
zyx
zyx
解 在直线上任取一点 ),,( 000 zyx
取 10 ?x,063
02
00
00
?
?
?
???
???
? zy
zy
解得 2,0 00 ??? zy
点坐标 ),2,0,1( ?
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取 21 nns ??? ?? },3,1,4{ ???
对称式方程,3 21 04 1 ??????? zyx
参数方程
.
32
41
?
?
?
?
?
???
??
??
tz
ty
tx
例 2 一直线过点 )4,3,2( ?A,且和 y 轴垂直相
交，求其方程,
解 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 ),0,3,0( ?B
取 BAs ?? },4,0,2{?
所求直线方程,4 40 32 2 ????? zyx
若 L过两点 ),,(),,,(
22221111 zyxMzyxM
),,( 11110 zyxMM ?取 )),,(( 22220 亦可取 zyxMM ?
},,{ 12121221 zzyyxxMMv ?????
则 L的方程为：
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
2,直线方程的两点式
x
y
z
o
1?
2?
空间直线可看成两平面的交线．
0,11111 ????? DzCyBxA
0,22222 ????? DzCyBxA
?
?
?
????
????
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
(亦称交面式方程 )
L
3,空间 直线的一般方程
定义
例 7 把 化成对称式方程
?
?
?
????
????
0332
05423:
zyx
zyxL
关键找一点、找一方向向量
?
?
?
??
??
?
32
523
,0
yx
yx
z 得令
解方程组得：
1
12
23
32
53
,1
12
23
13
25
???? yx
分析
.)0,1,1( 点过如此 L
},,{ cbav ?设直线的方向向量为
}3,1,2{},4,2,3{ 21 ???? nvnv由于
312
423
21
kji
nnv ??? }1,17,10{ ???
1
0
17
1
10
1
?
????
?
? zyx直线为
直线,1L
直线,2L
},0,4,1{1 ??s?
},1,0,0{2 ?s?
,021 ?? ss ???,21 ss ?? ??
例如，
.21 LL ?即
,0212121 ????? ppnnmm
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ????
向量的数量积
21)1( LL ?1
21 // LL
2
斜交与 21 LL3
三,两直线的位置关系
直线,1L,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx ?????
直线,2L,
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx ?????
两直线的方向向量的夹角称为直线的夹角,（锐角）
两直线的夹角公式
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
?????
???^
定义
例 3 求过点 )5,2,3( ? 且与两平面 34 ?? zx 和
152 ??? zyx 的交线平行的直线方程,
解 设所求直线的方向向量为 },,,{ pnms ??
根据题意知,1ns ???,2ns ???
取 21 nns ??? ?? },1,3,4{ ????
.1 53 24 3 ????? zyx所求直线的方程
例 4 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
?
?
?
?
? zyx
垂直相交的直线方程,
解 先作一过点 M且与已知直线垂直的平面 ?
0)3()1(2)2(3 ?????? zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx ?????? 12 13 1
.12
13
?
?
?
?
?
??
??
??
?
tz
ty
tx
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72( ?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ ????? },724,76,12{ ???
所求直线方程为,4 31 12 2 ?????? zyx
??L)1(,p
C
n
B
m
A ????
?L)2( //,0????? CpBnAm
?L与 斜交
2
3
1
四,直线与平面的位置关系
直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．?
,,000 p zzn yym xxL ?????
,0,????? DCzByAx
},,,{ pnms ??
},,,{ CBAn ??
?
?? ?? 2),( ns ??^ ?? ?? 2),( ns ??^
???0,2?
定义
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
?????
????
直线与平面的夹角公式
? ?,c o s ??? 2? ? ??? ?? c o ss in 2?
例 5 设直线,L
2
1
12
1 ?
?
?
?
? zyx
，平面
:? 32 ??? zyx,求直线与平面的夹角,
解 },2,1,1{ ??n? },2,1,2{ ??s?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
?????
????
96
|22)1()1(21|
?
????????,
63
7?
63
7a rc s i n?? ? 为所求夹角．
回忆有多少？
五、点到直线的距离
设 ),,( 1111 zyxM, ),,( 2222 zyxM 为空间两点
x
y
z
o
?1M
P N
Q
R ?
2M
21 ?? MMd
在直角 21 NMM?
及直角 PNM 1?
中，使用勾股定
理知
,222212 NMPNPMd ???
一、空间两点间的距离
,121 xxPM ???
,12 yyPN ??
,122 zzNM ??
22221 NMPNPMd ????
? ? ? ? ? ?,21221221221 zzyyxxMM ??????
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为,),,( zyxM )0,0,0(O
OMd ?,222 zyx ???
x
y
z
o
?1M
P NQ
R ?
2M
设点 M（ x,y,z）,则有：
22.1 zydx x ??轴的距离为：点到
22.2 zxdy
y ??轴的距离为：点到
22.3 yxdz
z ??轴的距离为：点到
二,几个特别距离
设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx ? 0??? DCz
外一点
??? ),,( 1111 zyxP
},,{ 10101001 zzyyxxPP ????
NPd 0?
如图
NPd 0? 00 nPP ??
?1P N
n?
0P?
0n
三、点到平面的距离
??
?
??
?
??????? 222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
CBA
An
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA
??
??
??
??
??
??
,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx ?? ??????
NPd 0? 00 nPP ??
.|| 222 000 CBA DCzByAxd ?? ????? 点到平面距离公式
)( 111 CzByAxD ????其中
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
直线的对称式方程
),,,( 0000 zyxM,
0 LM ? },,,{ pnmv ?
若
),,,( 1111 zyxM 为直线外一点，
dM 到直线的距离求 1
四、点到直线的距离
0M
1M
d
v
L
vdS ??平行四边形
不难看出
于是
v
vMM
v
S
d
?
??
10
平行四边形
222
000
pnm
zzyyxx
pnm
kji
??
???
?
如图