第 5节 空间曲线与曲面
曲面的方程
曲线的方程
旋转曲面
柱面
曲面的实例：
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的
几何轨迹．
一,曲面方程的概念
如果曲面 S 与三元方程 0),,( ?zyxF 有下述关系：（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,( ?zyxF 就叫做曲面 S 的方程,
而曲面 S 就叫做方程的图形,
定义
),(0),,( yxfzzyxF ?? 或
若曲面 S上的每一点的坐标都满足方程（ 1），
而且凡满足方程（ 1）的点都在曲面上，则（ 1）
称为曲面 S的方程，也可以说，曲面 S是方程（ 1）
的图形。
（ 1）
例如 0),,( 2222 ????? rzyxzyxF
)( 2222 zyxrz ????
球面
上半球面
1.曲面的直角方程
定义
二,空间曲线和曲面的方程
0),,(:0),,(,21 ?? zyxGSzyxFS
的交线为 C，那么联立方程组
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
称为曲线 C的方程。 C也称为方程（ 2）的图形。
（ 2）
例如
?
?
?
?
???
3
25222
z
zyx
?
?
?
?
?
??
???
1
1
94
2
2
2
yx
z
y
x
2.空间曲线的直角方程
定义
?
?
?
?
???
3
25222
z
zyx
?
?
?
?
?
??
???
1
1
94
2
2
2
yx
z
y
x
如图所示
?
?
?
?
?
?
???
?
)(
)(
)(
thz
btatgy
tfx参数方程：
参数方程的矢量形式
)())(),(),((),,( tRthtgtfrzyxrr ???
例如原柱螺线的参数方程为：
????
?
?
?
?
?
?
?
?
t
tvz
tay
tax
0s i n
c o s
?
?
3,空间曲线的参数方程
Pit
tz
ty
tx
60
2
s i n5
c o s5
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?如图所示
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
tz ?令
解出
?
?
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
)(
)(
?
?
直角方程 参数方程
空间曲线的直角方程与参数方程的互化
??
?
?
?
0),,(
0),,(
tyxG
tyxF
参数方程 直角方程
)( zkt ?反解出 代入
?
?
?
??
??
0))((
0))((
zkgy
zkfx
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
thz
tgy
tfx
空间曲线的直角方程与参数方程的互化
dvcbua
vuhz
vugy
vufx
S ????
?
?
?
?
?
?
?
?
,
),(
),(
),(
:
特别地，平面的参数方程为：
?
?
?
?
?
???
???
???
210
210
210
:
vnumzz
vmumyy
vlulxx
?平面
?? //},,{,//},,{,222111 nmltnmls ??其中
4,曲线的参数方程
tvsurr ??? 0
用矢量表示为：
例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为
R 的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM ?|| 0根据题意有
? ? ? ? ? ? Rzzyyxx ?????? 202020
? ? ? ? ? ? 2202020 Rzzyyxx ??????所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx ???
以下给出几例常见的曲面,
例 2 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的
点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
?MMMO根据题意有
? ? ? ? ? ?,2
1
432 222
222
?
?????
??
zyx
zyx
? ?,911634132
2
2
2
??
?
??
?
? ?????
?
??
?
? ? zyx
所求方程为
例 3 已知 )3,2,1(A, )4,1,2( ?B,求线段 AB 的
垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA ?
? ? ? ? ? ? 222 321 ????? zyx
? ? ? ? ? ?,412 222 ?????? zyx
化简得所求方程,07262 ???? zyx
解
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 ????? yxz
根据题意有 1??z
用平面 cz ? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ??????? ccyx
当平面 cz ? 上下移动时，
得到一系列圆
圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
以上几例表明研究空间曲面有：
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
如下两个基本问题
以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为 旋
转曲面,
这条定直线叫旋转
曲面的 轴．
播放
定义
三、旋转曲面
x
o
z
y
0),( ?zyf
),,0( 111 zyM??M),,,( zyxM设
1)1( zz ?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd ???
如图
将 代入 2211,yxyzz ????
0),( 11 ?zyf
d
旋转过程中的特征：
将 代入 2211,yxyzz ???? 0),( 11 ?zyf
? ?,0,22 ??? zyxf
y o z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf 绕 z 轴旋
转一周的 旋转曲面方程,
得方程
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
? ?,0,22 ??? zxyf
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的
顶点,两直线的夹角 ?
?
?
?
?
? ?
????
2
0 叫圆锥面的 半顶
角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶
角为 ? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
?c o tyz ? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
?c o t22 yxz ???
?
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
??
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zyax
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
双
曲
面
（ 2 ）椭圆
??
?
?
?
?
??
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zxay
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
椭
球
面
（ 3 ）抛物线
?
?
?
?
?
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 ?? 旋转抛物面
播放
观察柱面的形
成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线
所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线
叫柱面的 准线
，动直线 叫
柱面的 母线,
C
L
定义
四、柱 面
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22 ?
抛物柱面
xy?
平面
举例说明：
从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),( ?yxF,在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy 面上曲线 C, （其他类推）
实
例
12
2
2
2
?? czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
?? byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22 ? 抛物柱面 // 轴y
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程
曲线上的点都满足
方程，满足方程的点都在
曲线上，不在曲线上的点
不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
五,空间曲线的一般方程
例 1 方程组 表示怎样的曲线？??
?
???
??
6332
122
zyx
yx
解 122 ?? yx 表示圆柱面，
6332 ??? zyx 表示平面，
?
?
?
???
??
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？?
?
?
?
?
???
???
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz ???
上半球面,
4)2(
2
22 ayax ??? 圆柱面,
交线如图,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt ? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全
部点,
空间曲线的参数方程
六, 空间曲线的参数方程
动点从 A点出
发，经过 t时间，运动到 M点
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx ?? 上以
角速度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平
行于 z 轴的正方向上升（其中 ?, v 都是常
数），那么 点 M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立
其参数方程,
A
?M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM ?
tax ?c os?
tay ?s i n?
vtz ?t?
螺旋线的参数方程
取时间 t为参数，
解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
s i n
c o s
),( ??? vbt ??
螺旋线的重要 性质,
,,00 ???? ??,,00 ??? bbbz ??
上升的高度与转过的角度成正比．
即
上升的高度 ?? bh 2 螺距?,2??
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),( ?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
设空间曲线的一般方程：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
七、空间曲线在坐标面上的投影
投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面
实例
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影,?
?
?
?
?
?
???
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 ?? yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
??
?
?
?
?
??
z
yx
所以在 面上的投影为线段,xoz;
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段,yoz
.
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
例 5 求抛物面 xzy ?? 22 与平面 02 ??? zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
?
?
?
???
??
02
22
zyx
xzy
解
如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
?
?
?
?
????
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
?
?
?
?
????
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
?
?
?
?
????
z
xxyyx
空
间
立
体
曲
面
补充, 空间立体或曲面在坐标面上的投影
例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影
求它在锥面所围成和
由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
??
???
解 半球面和锥面的交线为
??
?
?
?
??
???
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 ?? yxz 得投影柱面消去
面上的投影为在则交线 xoyC
?
?
?
?
??
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 ?? yx
空间曲线的一般方程、参数方程
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tz
tyy
txx
空间曲线在坐标面上的投影
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
小 结
求椭圆抛物面 zxy ?? 222 与抛物柱面
zx ?? 22 的交线关于 x o y 面的投影柱面和
在 x o y 面上的投影曲线方程,
思
考
题
,
2
2
2
22
?
?
?
??
??
zx
zxy
交线方程为
消去 z 得投影柱面,122 ?? yx
在 面上的投影为xoy,0
122
?
?
?
?
??
z
yx
思考题解答
曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法,
柱面的概念 (母线、准线 ).
.0),,( ?zyxF
小 结
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？;2)1( ?x ;4)2( 22 ?? yx
.1)3( ?? xy
思
考
题
平面解析几何中 空间解析几何中
2?x
422 ?? yx
1?? xy
平行于 y 轴的直线平行于 y o z 面的平面
圆心在 )0,0(,
半径为 2 的圆
以 z 轴为中心轴的圆柱面
斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面
方 程
思考题解答
曲面的方程
曲线的方程
旋转曲面
柱面
曲面的实例：
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的
几何轨迹．
一,曲面方程的概念
如果曲面 S 与三元方程 0),,( ?zyxF 有下述关系：（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,( ?zyxF 就叫做曲面 S 的方程,
而曲面 S 就叫做方程的图形,
定义
),(0),,( yxfzzyxF ?? 或
若曲面 S上的每一点的坐标都满足方程（ 1），
而且凡满足方程（ 1）的点都在曲面上，则（ 1）
称为曲面 S的方程，也可以说，曲面 S是方程（ 1）
的图形。
（ 1）
例如 0),,( 2222 ????? rzyxzyxF
)( 2222 zyxrz ????
球面
上半球面
1.曲面的直角方程
定义
二,空间曲线和曲面的方程
0),,(:0),,(,21 ?? zyxGSzyxFS
的交线为 C，那么联立方程组
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
称为曲线 C的方程。 C也称为方程（ 2）的图形。
（ 2）
例如
?
?
?
?
???
3
25222
z
zyx
?
?
?
?
?
??
???
1
1
94
2
2
2
yx
z
y
x
2.空间曲线的直角方程
定义
?
?
?
?
???
3
25222
z
zyx
?
?
?
?
?
??
???
1
1
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2
2
2
yx
z
y
x
如图所示
?
?
?
?
?
?
???
?
)(
)(
)(
thz
btatgy
tfx参数方程：
参数方程的矢量形式
)())(),(),((),,( tRthtgtfrzyxrr ???
例如原柱螺线的参数方程为：
????
?
?
?
?
?
?
?
?
t
tvz
tay
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0s i n
c o s
?
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3,空间曲线的参数方程
Pit
tz
ty
tx
60
2
s i n5
c o s5
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?如图所示
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
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tz ?令
解出
?
?
?
?
?
?
?
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tz
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)(
)(
?
?
直角方程 参数方程
空间曲线的直角方程与参数方程的互化
??
?
?
?
0),,(
0),,(
tyxG
tyxF
参数方程 直角方程
)( zkt ?反解出 代入
?
?
?
??
??
0))((
0))((
zkgy
zkfx
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
thz
tgy
tfx
空间曲线的直角方程与参数方程的互化
dvcbua
vuhz
vugy
vufx
S ????
?
?
?
?
?
?
?
?
,
),(
),(
),(
:
特别地，平面的参数方程为：
?
?
?
?
?
???
???
???
210
210
210
:
vnumzz
vmumyy
vlulxx
?平面
?? //},,{,//},,{,222111 nmltnmls ??其中
4,曲线的参数方程
tvsurr ??? 0
用矢量表示为：
例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为
R 的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM ?|| 0根据题意有
? ? ? ? ? ? Rzzyyxx ?????? 202020
? ? ? ? ? ? 2202020 Rzzyyxx ??????所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx ???
以下给出几例常见的曲面,
例 2 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的
点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
?MMMO根据题意有
? ? ? ? ? ?,2
1
432 222
222
?
?????
??
zyx
zyx
? ?,911634132
2
2
2
??
?
??
?
? ?????
?
??
?
? ? zyx
所求方程为
例 3 已知 )3,2,1(A, )4,1,2( ?B,求线段 AB 的
垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA ?
? ? ? ? ? ? 222 321 ????? zyx
? ? ? ? ? ?,412 222 ?????? zyx
化简得所求方程,07262 ???? zyx
解
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 ????? yxz
根据题意有 1??z
用平面 cz ? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ??????? ccyx
当平面 cz ? 上下移动时，
得到一系列圆
圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
以上几例表明研究空间曲面有：
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
如下两个基本问题
以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为 旋
转曲面,
这条定直线叫旋转
曲面的 轴．
播放
定义
三、旋转曲面
x
o
z
y
0),( ?zyf
),,0( 111 zyM??M),,,( zyxM设
1)1( zz ?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd ???
如图
将 代入 2211,yxyzz ????
0),( 11 ?zyf
d
旋转过程中的特征：
将 代入 2211,yxyzz ???? 0),( 11 ?zyf
? ?,0,22 ??? zyxf
y o z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf 绕 z 轴旋
转一周的 旋转曲面方程,
得方程
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
? ?,0,22 ??? zxyf
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的
顶点,两直线的夹角 ?
?
?
?
?
? ?
????
2
0 叫圆锥面的 半顶
角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶
角为 ? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
?c o tyz ? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
?c o t22 yxz ???
?
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
??
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zyax
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
双
曲
面
（ 2 ）椭圆
??
?
?
?
?
??
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zxay
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
椭
球
面
（ 3 ）抛物线
?
?
?
?
?
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 ?? 旋转抛物面
播放
观察柱面的形
成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线
所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线
叫柱面的 准线
，动直线 叫
柱面的 母线,
C
L
定义
四、柱 面
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22 ?
抛物柱面
xy?
平面
举例说明：
从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),( ?yxF,在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy 面上曲线 C, （其他类推）
实
例
12
2
2
2
?? czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
?? byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22 ? 抛物柱面 // 轴y
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程
曲线上的点都满足
方程，满足方程的点都在
曲线上，不在曲线上的点
不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
五,空间曲线的一般方程
例 1 方程组 表示怎样的曲线？??
?
???
??
6332
122
zyx
yx
解 122 ?? yx 表示圆柱面，
6332 ??? zyx 表示平面，
?
?
?
???
??
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？?
?
?
?
?
???
???
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz ???
上半球面,
4)2(
2
22 ayax ??? 圆柱面,
交线如图,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt ? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全
部点,
空间曲线的参数方程
六, 空间曲线的参数方程
动点从 A点出
发，经过 t时间，运动到 M点
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx ?? 上以
角速度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平
行于 z 轴的正方向上升（其中 ?, v 都是常
数），那么 点 M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立
其参数方程,
A
?M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM ?
tax ?c os?
tay ?s i n?
vtz ?t?
螺旋线的参数方程
取时间 t为参数，
解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
s i n
c o s
),( ??? vbt ??
螺旋线的重要 性质,
,,00 ???? ??,,00 ??? bbbz ??
上升的高度与转过的角度成正比．
即
上升的高度 ?? bh 2 螺距?,2??
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),( ?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
设空间曲线的一般方程：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
七、空间曲线在坐标面上的投影
投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面
实例
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影,?
?
?
?
?
?
???
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 ?? yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
??
?
?
?
?
??
z
yx
所以在 面上的投影为线段,xoz;
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段,yoz
.
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
例 5 求抛物面 xzy ?? 22 与平面 02 ??? zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
?
?
?
???
??
02
22
zyx
xzy
解
如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
?
?
?
?
????
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
?
?
?
?
????
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
?
?
?
?
????
z
xxyyx
空
间
立
体
曲
面
补充, 空间立体或曲面在坐标面上的投影
例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影
求它在锥面所围成和
由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
??
???
解 半球面和锥面的交线为
??
?
?
?
??
???
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 ?? yxz 得投影柱面消去
面上的投影为在则交线 xoyC
?
?
?
?
??
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 ?? yx
空间曲线的一般方程、参数方程
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tz
tyy
txx
空间曲线在坐标面上的投影
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
小 结
求椭圆抛物面 zxy ?? 222 与抛物柱面
zx ?? 22 的交线关于 x o y 面的投影柱面和
在 x o y 面上的投影曲线方程,
思
考
题
,
2
2
2
22
?
?
?
??
??
zx
zxy
交线方程为
消去 z 得投影柱面,122 ?? yx
在 面上的投影为xoy,0
122
?
?
?
?
??
z
yx
思考题解答
曲面方程的概念
旋转曲面的概念及求法,
柱面的概念 (母线、准线 ).
.0),,( ?zyxF
小 结
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？;2)1( ?x ;4)2( 22 ?? yx
.1)3( ?? xy
思
考
题
平面解析几何中 空间解析几何中
2?x
422 ?? yx
1?? xy
平行于 y 轴的直线平行于 y o z 面的平面
圆心在 )0,0(,
半径为 2 的圆
以 z 轴为中心轴的圆柱面
斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面
方 程
思考题解答
