第四章 受弯构件正截面受力性能
一、工程实例
梁板结构
挡土墙板
梁式桥
一、工程实例
主要截面形式
归纳为
箱形截面 T形截面 倒 L形截面 I形截面
多孔板截面 槽形板截面
T形截面
二、受弯构件的配筋形式
弯筋
箍筋P P 剪力引起的斜裂缝
弯矩引起的
垂直裂缝
架立
三、截面尺寸和配筋构造
1,梁
净距 ?25mm
钢筋直径 d
c c
c
b
h
c?25mm
d
h0=h-35
b
h
h0=h-60
净距 ?30mm
钢筋直径 d
净距 ?30mm
钢筋直径 d
??
??
)(0.4~5.2
)(5.3~2
形截面
矩形截面
Tb
h )40~14(28~10 mmmmd 桥梁中?
三、截面尺寸和配筋构造
1,板
hh0
c?15mm
d
分布 钢筋
mmd 12~8?
200 ?? hh
板厚的模数为 10mm
四、受弯构件的试验研究
1,试验装置
0bh
A s??
P
荷载分
配梁
L
数据采集
系统外加荷载
L/3 L/3
试验
梁
位移
计
应变
计
h
As
b
h0
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
MI
?c
?sAs
?t<ft
Mcr
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?t=ft(?t =?tu)
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MIII
?c
(?c=?cu)
(Mu)
当配筋适中时 ----适筋梁的破坏
过程
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
适筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
MI
?c
?sAs
?t<ft
Mcr
?c
?sAs
?t=ft(?t =?tu)
MII
?c
?sAs
?s<?y ?s <?y
?sAs
?c
(?c=?cu)
Mu
当配筋很多时 ----超筋梁的破坏
过程
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
超筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
MI
?c
?sAs
?t<ft
Mcr=
My
?c
?sAs
?t=ft(?t =?tu)
当配筋很少时 ----少筋梁的破坏
过程
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
少筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
I
II
III
?
O
M
适筋
超筋
少筋
平衡
最小配筋率
结论一
I
II
III
?
O
P
适筋
超筋
少筋
平衡
最小配筋率
?适筋梁具有较好的变形能力，超
筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，
设计时应予避免
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
平衡破坏（界限破坏，界
限配筋率）
结论二
?在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢
筋屈服的同时，混凝土压碎，是 区分适筋破坏和超筋破坏的
定量指标
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
最小配筋率
结论三 ?在适筋和少筋破坏之间也存在一种, 界限, 破坏。其破坏特
征是屈服弯矩和开裂弯矩相等，是 区分适筋破坏和少筋破坏
的定量指标
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
平截面假定 ----平均应变意义上
L
P
L/3 L/3
000 )1('
'
hahyh n
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c
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h0
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
混凝土受压时的应力 -应
变关系
?u?0o
?c
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?
???????? ???
n
ccc f
0
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22),50(6012 ????? nnfn cu 时，取当
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002.0002.0
10505.0002.0
00
50
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时，取
cuf ? ? 0 0 33.00 0 33.0 10500 0 33.0
5
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uu
cuu f
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时，取
ccc
cc
E
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? 时，可取当应力较小时，如 3.0
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
混凝土受拉时的应力 -应变关系
?t
?t
o ?t0
ft
?t=Ec?t
?tu
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
钢筋的应力 -应变关系
?s
?s
?s=Es?s
?
y ?su
fy
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
?tb
?ct
?s
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As
b
hh0 M
?c
?sAs
xn
采用线形的物理关系
c
cc E?? ?
s
ss E?? ?
c
tt E?? ?
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
（ ?E-1） As
ts ?? ? tEt
c
s
sss E
EE ????? ???
tsEss AAT ??? ??
将钢筋等效成混凝土
用材料力学的方法求解
?tb
?ct
?s
?
b
hh0 M
?c
?sAs
xn
As
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
当 ?tb =?tu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作 （约束受拉）
b
hh0A
s
xn=?n
h0
?ct
?tb= ?tu
?s
?
?c
?t0 为了计算方便用矩形应力
分布代替原来的应力分布
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t
c
cr
tu
xhxxh ????? 0
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C
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?t
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ft
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tuct Ef ?5.0?
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
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t
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xhEbx
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?? )(5.05.0
tus
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7~6
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对一般钢筋混凝土梁
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h0
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?tb= ?tu
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?c
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xn=xc
r
M
?ct
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C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
? ? 0M
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3
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)
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2
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cr
stE
crcr
crtcr
x
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?tb= ?tu
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?c
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M
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C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
?ct
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?
?c
y
xn
M
?ct
?sAs
C
yc
M较小时,?c可以认为
是按线性分布，忽略拉
区混凝土的作用
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h
y
h
y
EE
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c
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ccccc
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A
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h
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0222 ??? ?????? EnEn
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s
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h0
压区混凝土处于弹性阶段
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
? ? 0M )311()311(5.0 020 nssnntc hAhbM ????? ????
b
hh0A
s
xn=?n
h0
?ct
?tb
?s
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?c
y
xn
M
?ct
?sAs
C
yc
压区混凝土处于弹性阶段
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?ct<?0
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn
=?
nh0
b
hh0
As T
s=?sA
s
?ct
xn
C
M
yc
?ct
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2
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? ??????? nstcnc Ef ?????????? ? 121 2
00
2
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?ct<?0
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn
=?
nh0
b
hh0
As T
s=?sA
s
?ct
xn
C
M
yc
?ct
?cb
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0
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c
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c
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t
c
t
c
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c
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c
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五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?0 <?ct< ?cu
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
?ct
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y0
)311( 00 t
c
nc hbfC ?
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ns
tcnc AEhbf ??
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31 00
? ? ?????? tcnst
c
nc Ef ?????
???
?
? ? 1
31
02
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?0 <?ct< ?cu
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
?ct
?cb
?s ?
y0
)(
3
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12
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2
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0
2
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c
t
c
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t
c
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c
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c
nc
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?
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
0033.0,002.0,2
50
0 ???
??
cu
cucu
t
c
n
M p af
??
?? 时，。当
应用前面
公式
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
?ct
?cb
?s ?
y0
0)1(0 0 0 0 5 5.02 ??? ??? nsnc Ef
)()4 1 2.01()4 1 2.01(7 9 8.0 020 ysnssnncu fhAbhfM ????? ?????
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
yscutc f??? ???,0 0 3 3.0
对适筋梁，达极限状态时，
? ? 0M )329.0798.0( )412.01(2
00
0
nnc
nsy
bh
hAfM
???
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??
??
? ? 0X
c
y
sn f
f?? 253.1?
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
?ct
?cb
?s ?
y0
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
?sAs
Mu
fc
C
ycxn=?nh
0
Mu
xn=?nh0
b
hh0A
s
?cu
?s ?sAs
C
xn=?nh
0
?1 fc
Mu
C
ycxn=?nh
0
?sAs
x=?1xn
引入参数 ?1,?1进行简
化
原则,C的大小和作用点
位置不变
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
?sAs
Mu
fc
C
ycxn=?nh
0
?1 fc
Mu
C
ycxn=?nh
0
?sAs
x=?1xn由 C的大小不变
)
3
1
1(
1
)
3
1
1(
0
1
1
011
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01
cu
nc
cu
nc bhfhbfC
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???
由 C的位
置不变
cu
cucu
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cu
cu
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0
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3
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2
1
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?
??
?
?
??
?
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??
?
??
?
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??
?
?
?
??
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
?sAs
Mu
fc
C
ycxn=?nh
0
?1 fc
Mu
C
ycxn=?nh
0
?sAs
x=?1xn
)311(1 0
1
1
cu
c
?
?
?? ??
cu
cucu
?
?
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?
?
?
?
0
2
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1
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1
6
1
3
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?
??
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?
??
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0 0 3 3.0,0 0 2.0
50
0 ??
?
cu
cu M p af
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9 6 9.0
1
1
?
?
??
?
???
???
M p af
M p af
cu
cu
80,74.0,94.0
508.0,0.1
11
11
??
??
线性插值（, 混凝土结构设计
规范, GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度
界限受压区相对高度
界限受压区高度
?
?
nb
nbx
?
ycu
cunb
nb h
x
??
??
??? 0
?cu
?y
xn
b
h0
平衡破坏
适筋破坏
超筋破坏
压区相对高度矩形应力图形的界限受
压区高度矩形应力图形的界限受
?
?
b
bx
?
cus
y
cu
yycu
cubb
b
E
fh
x
h
x
?
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
???
11
111
0
1
0
六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度
时：M p af cu 50?
?cu
?y
xn
b
h0
平衡破坏
适筋破坏
超筋破坏
s
y
b
E
f
0 0 3 3.0
1
8.0
?
??
nbnb ???? ?? 即 适筋梁
nbnb ???? ?? 即 平衡配筋梁
nbnb ???? ?? 即 超筋梁
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
??
?
?
?
????
?
)
2
()
2
( 001
1
x
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x
hbxfM
Abxf
sscu
ssc
??
??
基本公式
Mu
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C
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x
h0
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
??
?
?
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?
)
2
()
2
( 001
1
x
hAf
x
hbxfM
Afbxf
sycu
syc
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?
适筋梁
fyAs
Mu
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x/2
C x
h0
c
y
s
c
sy
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f
bhf
Af
h
x
1010 ?
??? ???
0
2
0
2
01
2
01
)5.01(
)5.01(
hfAbhf
bhfbhfM
sysys
cscu
????
?????
???
???
截面抵抗矩系数
截面内力臂系数
将 ?,?s,?s
制成表格，
知道其中一
个可查得另
外两个
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
适筋梁的最大配筋率 （平衡配筋梁的
配筋率）
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
y
c
bsbs f
f1
m a x
???? ??
)5.01(m a x bb ??? ??
保证不发生超筋破坏
2
01m a x
2
01m a x )5.01( bhfbhfM csbbcu ????? ???
m a x
m a x
uu
ss
b
MM ?
?
?
或
或
??
??
,混凝土结
构设计规范,
GB50010中各
种钢筋所对
应的 ?b、
?smax、列于
教材表 4-1中
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
适筋梁的最小配筋率 x
n
xn/3
fyAs
Mu
C
h0钢筋混凝土梁的 Mu=素混凝土梁的受弯承载力 Mcr
00 9.0)3( hAf
xhAfM
sy
n
syu ????
,混凝土结构设计
规范, GB50010中
取,Asmin=?sminbh
配筋较少压
区混凝土为
线性分布
? ? 20202 322.005.1292.0292.0 bhfhbfbhfM tttcr ???
y
ts
s f
f
bh
A 36.0
0
m i n ???
偏于安全地
y
t
s f
f45.0
m i n ??
具体应用时，应根据
不同情况，进行调整
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
超筋梁的极限承载力
h0
?cu
?s
xnb=x/?1
?si
h0i
关键在于求出钢筋的应力
任意位置处钢筋的
应变和应力
)1()1(
0
10100 ??????
h
h
x
h
x
xh i
cu
i
cucu
yn
ni
si ?
??????
)1(
0
10 ??
h
hE i
cussi ?
???
只有一排钢筋
)1( 1 ?? ???? cuss E
)18.0(0 0 3 3.0 ?? ?? ss E
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
?sAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
超筋梁的极限承载力
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
1
8.0
0 0 3 3.0
)
2
()
2
(
001
1
?
?
??
?
ss
sscu
syc
E
x
hA
x
hbxfM
Afbxf
8.0
8.0
?
??
b
ys f ?
??
解方程可求
出 Mu
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用
已有构件的承载力 （已知 b,h0,fy,As，求 Mu）
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
??????? bhAbhA ss,
0
?
?min ??? ?b素混凝土梁的
受弯承载力 Mcr
适筋梁的受弯
承载力 Mcr
超筋梁的受弯
承载力 Mcr
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用
截面的设计 （已知 b,h0,fy,M,求 As ）
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
??
?
?
?
?????
?
)
2
()
2
( 001
1
xhAfxhbxfMM
Afbxf
sycu
syc
?
? 先求 x再求 A
s
?min ??? ?b
OK！
加大截面尺寸重新进行
设计 (或先求出 Mumax，
若 M>Mumax,加大截面
尺寸重新进行设计 )
??????? bhAbhA ss,
0
?
bhA s m in??
六、受弯构件正截面简化分析
1
1 0 0( ) ( )22
c y s
u c y s
f b x f A
xxM M f b x h f A h
?
?
?
? ? ? ? ?
221 0 1 0( 1 0.5 )u c s cM f bh f bh? ? ? ? ?? ? ?
(1 0,5 )s? ? ???
例 4-1,已知梁截面弯距设计值,混凝土强度等级为 C30,
钢筋采用, 梁的截面尺寸为,环
境类别为一类 。 试求,所需纵向钢筋截面面积 As。
2 0 0 m m 5 0 0 m mbh? ? ?335HRB
9 0 k N mM ?
C=? fcbx
Ts= As
M
?1fc
x=?1xn
fy
b
hh0
As
x=?h0
基本公式：
c
y
s
c
sy
f
f
bhf
Af
h
x
1010 ?
??? ???
1 1 2 sb? ? ?? ? ?
则,
<
? ?
? ?
0
00 0
00
1 0, 5 1 1 2() ()
2 2
0, 5 1 1 2
u u u
s
ysy y
uu
ysys
M M M
A
xh fh
fh fh
MM
fhfh
? ?
??
? ? ?
??? ? ?? ?
??
??
??
5,计算实例
已知条件：梁截面弯距设计值,混凝
土强度等级为 C30,钢筋采用, 梁的截面
尺寸为,环境类别为一
类 。 试求,所需纵向钢筋截面面积 As。
2 0 0 m m 5 0 0 m mbh? ? ?
335H R B
9 0 k N mM ?
【 解 】 由 附表 5-4可知,环境类别为一类,混凝土强度
等级为 C30时梁的混凝土保护层最小厚度为 25mm,故
可设 3 5 m m
sa ?
,则 h0=500-35=465mm。
根据混凝土和钢筋的等级,查 附表 2-2,2-7,得：
fc=14.3N/mm2,ft=1.43N/mm2,fy=300N/mm2,
由 表 4-5,4-6知,
111, 0,0, 8,0, 5 5,b? ? ?? ? ?求计算系数
6
22
10
9 0 1 0 0, 1 4 6
1, 0 1 4, 3 2 0 0 4 6 5s c
M
f b h? ?
?? ? ?
? ? ?
2
0
1 1 2 0,5 5,
0,5 ( 1 1 2 )
7 0 0 m m
sb
ss
s
ys
M
A
fh
? ? ?
??
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
6
则：
＝0, 1 5 8 < 符合要求。
＝0, 9 2 1
9 0 1 0
故 ＝ ＝
3 0 0 0, 9 2 1 4 6 5
选用 3Φ18,As ＝ 763mm2 （注意：选用钢筋时应满足
有关间距、直径、及根数等的构造要求），配置见下图。
h0=465
35
200
3Φ18
2Φ12
验算适用条件：
（ 1）适用条件（ 1）已满足。
m in
7632 0,8 2 0,4 5 0,2 1 4 %,
2 0 0 4 6 5
0,2 %,
t
y
f
f
??
?
??
?
?
（ ） ＝ ＝ ％ >
同 时 满 足 要 求 。
七、双筋矩形截面受弯构件
1,应用情况
截面的弯矩较大 （ 按单筋矩矩形截
面计算所得的 ξ又大于 ξb），而梁截面尺
寸受到限制，混凝土强度等级又不能提高
时，即 在受压区配置钢筋以补充混凝土受
压能力的不足 。
b
h0 h
截面承受正、负变化的弯矩，
即在不同荷载组合情况下，其中在某一
组合情况下截面承受正弯矩，另一种组
合情况下承受负弯矩，。
对箍筋有一定要求，即
做成封闭式，且间距不
大于 15d(d为受压钢筋
最小直径）防止纵向凸
出
抗震要求,由于受压钢筋可以提高截
面的延性，因此，在抗震结构中要求框架
梁必须配置一定比例的受压钢筋。
七、双筋矩形截面受弯构件
2,试验研究
不会发生少筋破坏
b
h0 h
和单筋矩形截面受弯构
件类似分三个工作阶段
分析略
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
弹性阶段
As
?cb
?ct
?s
?
b
hh0 M
?c
?sAs
xn
As’
（ ?E-1） As
（ ?E-1） As’
用材料力学的方法按换算截面进行求解
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
弹性阶段 ----开裂弯矩 (考虑 ?s’As’的作用 )
xcr
b
hh0A
s
As’ ?
ct
?cb= ?tu
?s
?
?c
?t0
?s’
)'
3
1
(''
)5.21(292.0 2
scrss
tAcr
axA
bhfM
??
??
?
?
c
t
cr
scr
tu
cr
scr
s
E
f
xh
ax
xh
ax
?
?
?
?
?
?
'
2
'
' ??
2)'25.05.21(292.0 bhfM tAAcr ?? ???
)'(2' bhA sEA ?? ?
Mcr
xn=xc
r
?ct
?sAs
C
T
c
?s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
带裂缝工作阶段
xn
b
hh0A
s
As’ ?
ct
?cb
?s
?
?c
?t0
?s’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
荷载较小时，混凝土的应力可简化为直线型分布
荷载增大时，混凝土的应力由为直线型分布转化
为曲线型分布
和单筋矩形
截面梁类似
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
破坏阶段（标志 ?ct= ?cu）
压区混凝土的压力 C
C的作用位置 yc
和单筋矩形截面梁的受压区相同
xn
b
hh0A
s
As’ ?
ct
?cb
?s
?
?c
?t0
?s’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
Mu
?ct=?cu?ct= ?c0
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
?s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
破坏阶段（标志 ?ct= ?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平截面假定有：
Mu
?ct=?cu?ct= ?c0
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1'(0 0 3 3.0' ??
n
s
ss x
aE?
以 Es=2?105Mpa,as’=0.5?0.8xn代入上式，则有,?s’=-
396Mpa
结论,
当 xn?2 as’/0.8 时,HPB235,HRB335,HRB400及 RRB400钢均能受压屈服
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
破坏阶段（标志 ?ct= ?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平衡条件则有：
Mu
?ct=?cu?ct= ?c0
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1()329.0798.0(
)412.0()412.01(
)'(253.1
0
'
0
''2
00
0
'
0
''
0
00
h
a
hAfbh
h
a
hAfhAfM
ff
s
synnc
s
nsynsyu
c
y
s
c
y
sn
????
????
??
???
??
?
?
?
??
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
?ct=?cufc
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
Mu
?1fc
?sAs（ fyAs）
C
ycxn=?nh
0
fy’As’
x?1,?1的计算方
法和单筋矩形截
面梁相同
??
?
?
?
????
??
)('')
2
( '001
''
1
ssycu
sysyc
ahAf
x
hbxfM
AfAfbxf
?
?
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
fyAs
?1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’
fyAs1
As1 Mu1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21 sss AAA ??
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
fyAs1
As1 Mu1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
承载力公式的适用条件
1,保证不发生少筋破坏, ?>?min (可自动满足 )
2,保证不发生超筋破坏,
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
b
s
b
??
?
???
??
?
???
??
或
或
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
承载力公式的适用条件
3,保证受压钢筋屈服, x>2as’，（即受压钢筋位置不低
于矩形受压应力图形的重心，否则其离中和轴太近，
压应变太小，达不到,当该条件不满足时，应按下
式求承载力
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
)1(
)('')
2
(
0
'
1'
'
001
''
1
h
a
E
ahA
x
hbxfM
AfAfbxf
s
cuss
ssscu
sysyc
?
?
??
??
?
或近似取 x=2as’则，
'0()u y s sM f A h a??
Mu
fyAs
?1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’/yf
例 4-2 已知一双筋矩形截面梁，梁的尺寸 b× h=200mm× 500mm，采用的
混凝土强度等级为 C25，钢筋为 HRB335，截面设计弯矩 M =210kN·m，环境
类别为一类。试求纵向受拉钢筋和受压钢筋的截面面积。
【 解 】 由附表 1-1可知,环境类别为一类,混凝土强度等级为 C25时
梁的混凝土保护层最小厚度为 25mm,假定钢筋放两排，故可设
as=60mm,则 h0=500-60=440mm。
根据混凝土和钢筋的等级,查附表 1-2,1-3,得,
fc=11.9N/mm2,fy=300N/mm2,ft=1.27N/mm2 。
6
22
10
210 10 0.456
1.0 11.9 200 440
1 1 2 0.703 0.55
s
c
sb
M
f bh
?
?
? ? ?
?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
七、双筋矩形截面受弯构件
6,计算实例
这说明如果设计成单筋矩形截面，将会出现 的超筋情况。若不
能加大截面尺寸，又不能提高混凝土等级，则应设计成双筋矩形截面。
0bxh??
2
2
2 1 0
2
'62
''
0
( 1 0, 5 )
1, 0 1 1, 9 2 0 0 4 4 0 0, 5 5 ( 1 0, 5 0, 5 5 )
1 8 3, 7 3 k N m
2 1 0 1 8 3, 7 3
1 0 2 1 6, 2 m m
( ) 3 0 0 ( 4 4 0 3 5 )
u c b b
u
s
ss
M f b h
MM
A
f h a
? ? ???
? ? ? ? ? ? ?
??
? ?
? ? ? ?
? ? ?
取,则b???
fyAs2
As
1
Mu
1
?1fc
Cx=
b
hh0
受拉钢筋选用 6Φ22,As ＝ 2281mm2。受
压钢筋选用 2Φ12,As‘ ＝ 226mm2 。配置
见右图。
2Φ12
10
2
300 1.0 11.9 200 440216.2 0.55
300 300
2136.1 m m
y c
s s b
yy
f f bh
AA
ff
??? ? ? ??? ? ? ? ? ?
?
475
25
200
6Φ22
0bh?
上例中取受压区高度 即为单筋截面时最大配筋率，
是与超筋破坏临界状态,x必大于 2as,不必验证适用条件。
但下面情况需作适用条件验证。
0 bxh??
例 4-3 已知条件同例 4-2，但在受压区已配置了
2Φ20,As? ＝ 628mm2。
求：纵向受拉钢筋截面面积 As 。
【 解 】
? ? 620 3 0 0 6 2 8 ( 4 4 0 3 5 ) 7 6, 3 1 0u y s sM f A h a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
6 6 6u1 2 210 10 76.3 10 133.7 10uM M M? ? ? ? ? ? ? ?则
已知 Mu1后，就可以按照单筋矩形截面求 As1。设 as=60mm,
则 h0=500-60=440mm。
6
1
22
10
1 3 3, 7 1 0 0, 2 9
1, 0 1 1, 9 2 0 0 4 4 0
u
s
c
M
f b h? ?
?? ? ?
? ? ?
由已知条件可知：
2u1
1
0
1 1 2 0,55,
0,35 2 44 0 15 4,8 2 12 0 m m,2
0,5 ( 1 1 2 )
13 3,7
mm
sb
ss
s
ys
x b a
M
A
fh
? ? ?
?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
6
则：
＝0,3 52 < 满足适用条件（1 ）。
满足条件（ ）。
＝0.824
10
故 ＝ ＝1 22 9
30 0 0,82 4 44 0
最后得：
As=As1+As2=1229+628=1857mm2
选用 6Φ20,As ＝ 1884mm2 。
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用
已有构件的承载力
fyAs1
As1 Mu1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21''2,/ sssyyss AAAffAA ???
)( '0''' ssyu ahAfM ??
求 x
2as’?x ??bh0
适筋梁的受弯
承载力 Mu1
超筋梁的受
弯承载力 Mu1'0()u y s sM f A h a??
21,m a x 0u s cM f b h????
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用
截面设计 I----As’未知
fyAs1
As1 M1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
0hx b??
)5.0(,/ 01111 xhfAMfbxfA ysycs ??? ?
'2''021 /,)/(',' yyssyss ffAAfahMAMMM ?????
截面设计 I----As’已知
fyAs1
As1 M1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
)(',/ '02''2 sysyyss ahfAMffAA ???
xMMM 求,'1 ??
2as’?x ??bh0
按适筋梁求 As1
按 As’未知重
新求 As’和 As按适筋梁求 As1,
但应进行最小
配筋率验算
? ?'0s ysMA f h a? ?
?受拉钢筋较多，可将截面底部宽度适当增大，形成工形
截面。工形截面的受弯承载力的计算与 T形截面相同。
挖去
中和轴
? 受弯构件在破坏时，大部分受拉区混凝土早已退出工
作，故将受拉区混凝土的一部分去掉。只要把原有的纵向
受拉钢筋集中布置在梁肋中，截面的承载力计算值与原有
矩形截面完全相同，这样做不仅可以节约混凝土且可减轻
自重。剩下的梁就成为由梁肋 ( )及挑出翼缘,
两部分所组成的 T形截面。
hb? ? ? ''f hbb ??
八,T形截面受弯构件
倒 T型截面梁，
按同肋等宽的矩
形截面计算
八,T形截面受弯构件
1,翼缘的计算宽度
?1fc
bf’
见教材表 4-7
fhx ?? fhx ??
fhx ??
)
2
( 0 fffcf
syffc
h
hhbfM
Afhbf
?
?????
???
?
?
f
syffc
MM
Afhbf
??
????
f
syffc
MM
Afhbf
??
????
第一类 T形截面 第二类 T形截面界限情况
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
两类 T形截面判别
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
As
bf’
b
hf’
hh0
as
两类 T形截面判别
---界限截面
'
' ' / ' '
1 1 0,( )2
f
y s c f f f c f f
hf A f b h M f b h h??? ? ? 或
判断截面类别
第一类 T形截面
计算公式与宽度等于 bf'的
矩形截面相同：
◆ 为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足 ? ≤?b。对第一类 T形截面，
该适用条件一般能满足。
◆ 为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足 As≥?minbh,b为 T形截面的腹板
宽度。
◆ 对工形和倒 T形截面，受拉钢筋应满足：
As≥?min[bh + (bf -b)hf]
'
1 0 0( ) ( )22
c f y s
u c f y s
f b x f A
xxM M f b x h f A h?
? ?
? ? ? ? ?
◆ 基本公式
x
fyAs
Mu
?1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
第二类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
= +
bxf c?
)2()( 0 fffc hhhbbf ?????? ?
ffc hbbf ???? )(? syAf?
)2( 0 xhbxfM cu ?? ?
2
20 () 2
c y s
c
f b x f A
xM f b x h
?
?
??
??
?
???
?
1
10
()
( ) ( )
2
c f f y s
f
c f f
f b b h f A
h
M f b b h h
?
?
?????
?
??
??? ? ??
?
fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mfu’ h0
?1fc
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
?1fc
要验算一般可自动满足，但需,m i n?? ?
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
bs
s
s
b
??
?
???
??
?
???
??
或
或
例 4-4 已知一 T形梁截面设计弯矩 M =410kN·m，梁的尺寸 b× h=
200mm× 600mm,b?f＝ 1000mm,h?f＝ 90mm；混凝土强度等级为
C25，钢筋采用 HRB335，环境类别为一类。
求,受拉钢筋截面面积 As。
【 解 】 f
c=9.6N/mm2,fy= fy?＝ 300N/mm2,111.0,0.8????
判断类型：
因弯矩较大，截面宽度 b较窄，预计受拉钢筋需排成两排，故取
h0 = h － as= 600 － 60 = 540mm
? ?10
66
90( ) 1,0 9,6 1 0 0 0 9 0 5 4 0 2
2
427.7 10 410 1 0
f
c f f
hf b h h? ??? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
＝
3、计算实例
属于第一类 T形截面梁。则有：
6
22
10
4 1 0 1 0 0, 1 4 6
1, 0 9, 6 1 0 0 0 5 4 0s c
M
f b h? ?
?? ? ?
? ? ?
2
0
1 1 2 0, 5 5
0, 5 ( 1 1 2 )
mm
540
sb
ss
s
ys
M
A
fh
? ? ?
??
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
6
＝0, 1 5 8 <
＝0, 9 2 1
4 1 0 1 0
故 ＝ ＝2 7 4 8
3 0 0 0, 9 2 1
选用 6Φ25,As ＝ 2945mm2 。
目录
0
2 7 4 8 1, 2 70, 0 2 5 0, 4 5 0, 1 9 %
2 0 0 5 4 0 3 0 0
0, 2 %
s
s
A
bh
? ? ? ? ? ? ?
?
且 大 于
八,T形截面受弯构件
4,正截面承载力简化公式的应用
截面复核
''1 ffcsy hbfAf ??
x
fyAs
Mu
?1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
按 bf’× h的矩形截面
计算构件的承载力
I类 T形截面
bhA s m i n??若 按 b× h的矩形截面的
开裂弯矩计算构件的
承载力
八,T形截面受弯构件
? ?
y
ffc1s1 ''f hbbfA ?? ?
s1ss2 AAA ??
?????? ?? 2' f0s1yu1 hhAfM fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Muf’ h0
?1fc
截面复核 ''1 ffcsy hbfAf ?? II类 T形截面
0
22 bhAs??
c1
y2 ff??? ?? ? ???? 5.01s ??
4,正截面承载力的简化计算方法
20c1su2 bhfM ??? u2u1u MMM ?? Mu≥M?
八,T形截面受弯构件
4,正截面承载力的简化计算方法
截面设计
x
fyAs
M
?1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM ?? ?
按 bf’× h单筋矩形截
面进行设计
I类 T形截面
m in?? ?? bh
A s
八,T形截面受弯构件
4,正截面承载力的简化计算方法
fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Muf’ h0
?1fc
II类 T形截面
与 As’已知的 b× h双筋
矩形截面类似进行设
计
截面设计
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM ?? ?
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用
深受弯构件
5/0 ?hl
?
?
?
???
???
短梁
深梁（连续梁），简支
5/)5.2(0.2
5.2/)(0.2/
0
00
hl
hlhl
P P
h
l0
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用
转换层 片筏基础梁
仓筒侧壁
b
h
箍筋
水平分布筋
拉结筋
纵向受力筋
九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态
平截面假定不再适用 梁的弯曲理论不适用
受力机理 拱机理
破坏形态 弯曲破坏和剪切破坏 (不是此处讨论的内容 )
P P P P
正截面弯曲破坏 斜截面剪切破坏
九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态
?s<?sbm时 弯曲破坏
P P
P P
以多排受拉钢筋屈服弯矩
My作为其极限承载力 Mu
原因：纵筋很少
?s>?sbm时 剪切破坏 (此处略 )
?s=?sbm时 弯剪界限破坏
九、深受弯构件的弯曲性能
3,深梁的弯剪界限配筋率
P P
计算剪跨比：集中荷载,?=a/h
均布荷载,?=a/h（ a =l0/4）
由统计回归得出,
y
c
s b m f
f?? 19.0?简支梁
约束梁
连续梁
y
c
s b m f
f
?
??
48.11
19.0
??
支座弯矩与跨中最大弯矩的比值绝对值的
最大值
九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力
P P
深梁发生弯曲破坏时，截面下部 h/3范围内的多
排钢筋均屈服。由统计回归得出,
0)33.0( hbhfAfM yhhsyy ????
c
y
y
yh
hs f
f
f
f
h
l )5.0)(1.01(1 0 ??? ????
折算内力臂
水平分布筋的配筋率
v
sh
h bs
A??
水平分布筋的竖向间距
sv范围内水平分布筋的
全部截面积
九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力
P P
“钢筋混凝土深梁设计规程”（ CECS39,92）
简化公式
zAfM syu ?
)65.0()5.5(1.0 000 lzhlhlz ???? 时，
深梁的内力臂，取受拉钢筋合力作用点和混凝土受
压合力作用点间的距离
简支梁和连续
梁的跨中截面
连续梁的支座
截面 )6.0()5(1.0 000 lzhlhlz ???? 时，
计算跨度
)15.1,(0 nc llM i nl ?
九、深受弯构件的弯曲性能
5,短梁的受弯承载力
P P
和一般梁比较接近，平截面假定适用
)33.09.0(0 ??? hAfM syy
破坏类型：少筋、适筋、超筋
适筋梁的受弯承载力
九、深受弯构件的弯曲性能
6,混凝土结构设计规范（ GB50010-2002）公式
P P
深梁、短梁和一般梁相衔接
??
???
??
?
)5.0( 0
1
xhAfM
Afbxf
dsyu
syc
?
?
深受弯构件的内力臂修正系数
h
l
d
004.08.0 ???
截面有效高度
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
距离作用点至受拉区边缘的
受拉纵向钢筋合力时，
支座
跨中
时，
s
s
s
s a
h
l
ha
ha
h
l
ahh 2
2.0
1.0
2
0
0
0
十、受弯构件延性的基本概念
延性 Mu
?
My
?y
M
O ?u
反映截面、构件、结构钢筋屈服以
后的变形能力
以截面为例：用延性系数表示截面的延性
y
u ??? ?
十、受弯构件延性的基本概念
21 ss AA ?
?y
?cu
?u1
?u2
As1
As2
?cu
?y
As1
As2
?y1
?y2
21 uu ?? ? 21 yy ?? ?
2
22
1
11
y
u
y
u ?????? ???
结构的
延性
取决于
构件的
延性
取决于
截面的
延性
取决于
配筋量
一、工程实例
梁板结构
挡土墙板
梁式桥
一、工程实例
主要截面形式
归纳为
箱形截面 T形截面 倒 L形截面 I形截面
多孔板截面 槽形板截面
T形截面
二、受弯构件的配筋形式
弯筋
箍筋P P 剪力引起的斜裂缝
弯矩引起的
垂直裂缝
架立
三、截面尺寸和配筋构造
1,梁
净距 ?25mm
钢筋直径 d
c c
c
b
h
c?25mm
d
h0=h-35
b
h
h0=h-60
净距 ?30mm
钢筋直径 d
净距 ?30mm
钢筋直径 d
??
??
)(0.4~5.2
)(5.3~2
形截面
矩形截面
Tb
h )40~14(28~10 mmmmd 桥梁中?
三、截面尺寸和配筋构造
1,板
hh0
c?15mm
d
分布 钢筋
mmd 12~8?
200 ?? hh
板厚的模数为 10mm
四、受弯构件的试验研究
1,试验装置
0bh
A s??
P
荷载分
配梁
L
数据采集
系统外加荷载
L/3 L/3
试验
梁
位移
计
应变
计
h
As
b
h0
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
MI
?c
?sAs
?t<ft
Mcr
?c
?sAs
?t=ft(?t =?tu)
MII
?c
?sAs
?s<?y
My
fyAs
?c
?s=?
y ?s>?y
fyAs
MIII
?c
(?c=?cu)
(Mu)
当配筋适中时 ----适筋梁的破坏
过程
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
适筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
MI
?c
?sAs
?t<ft
Mcr
?c
?sAs
?t=ft(?t =?tu)
MII
?c
?sAs
?s<?y ?s <?y
?sAs
?c
(?c=?cu)
Mu
当配筋很多时 ----超筋梁的破坏
过程
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
超筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
MI
?c
?sAs
?t<ft
Mcr=
My
?c
?sAs
?t=ft(?t =?tu)
当配筋很少时 ----少筋梁的破坏
过程
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
少筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
I
II
III
?
O
M
适筋
超筋
少筋
平衡
最小配筋率
结论一
I
II
III
?
O
P
适筋
超筋
少筋
平衡
最小配筋率
?适筋梁具有较好的变形能力，超
筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，
设计时应予避免
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
平衡破坏（界限破坏，界
限配筋率）
结论二
?在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢
筋屈服的同时，混凝土压碎，是 区分适筋破坏和超筋破坏的
定量指标
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
最小配筋率
结论三 ?在适筋和少筋破坏之间也存在一种, 界限, 破坏。其破坏特
征是屈服弯矩和开裂弯矩相等，是 区分适筋破坏和少筋破坏
的定量指标
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
平截面假定 ----平均应变意义上
L
P
L/3 L/3
000 )1('
'
hahyh n
s
sn
sc
n
t
c
?
?
?
??
?
??
??????
as
As
?ct
b
h
As’ as’
y
dy
?tb
?s
?s’?
c
?
?nh0
(1-?n)h0
h0
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
混凝土受压时的应力 -应
变关系
?u?0o
?c
fc
?c
???
?
???
?
???????? ???
n
ccc f
0
11 ???
22),50(6012 ????? nnfn cu 时，取当
? ?
002.0002.0
10505.0002.0
00
50
??
???? ?
??
?
时，取
cuf ? ? 0 0 33.00 0 33.0 10500 0 33.0
5
??
???? ?
uu
cuu f
??
?
时，取
ccc
cc
E
f
??
?
?
? 时，可取当应力较小时，如 3.0
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
混凝土受拉时的应力 -应变关系
?t
?t
o ?t0
ft
?t=Ec?t
?tu
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定
钢筋的应力 -应变关系
?s
?s
?s=Es?s
?
y ?su
fy
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
?tb
?ct
?s
?
As
b
hh0 M
?c
?sAs
xn
采用线形的物理关系
c
cc E?? ?
s
ss E?? ?
c
tt E?? ?
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
（ ?E-1） As
ts ?? ? tEt
c
s
sss E
EE ????? ???
tsEss AAT ??? ??
将钢筋等效成混凝土
用材料力学的方法求解
?tb
?ct
?s
?
b
hh0 M
?c
?sAs
xn
As
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
当 ?tb =?tu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作 （约束受拉）
b
hh0A
s
xn=?n
h0
?ct
?tb= ?tu
?s
?
?c
?t0 为了计算方便用矩形应力
分布代替原来的应力分布
cr
s
cr
t
c
cr
tu
xhxxh ????? 0
????
xn=xc
r
M
?ct
?sAs
C
T
c
ft
sss
cc
t
c
E
E
??
??
?
?
?t
?t
o ?t0
ft
2?t0
tuct Ef ?5.0?
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
? ? 0X
ss
crtuccr
t
c
A
xhEbx
?
??
?
?? )(5.05.0
tus
c
sE EE ??? ?? 近似认为设,
21
2
1 h
bh
A
bh
A
x
sE
sE
cr ?
?
?
?
?
?
7~6
%,2~5.0/
?
?
E
s bhA
?
对一般钢筋混凝土梁
hx cr 5.0?
b
hh0A
s
xn=?n
h0
?ct
?tb= ?tu
?s
?
?c
?t0
xn=xc
r
M
?ct
?sAs
C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
? ? 0M
)
3
(2
)
3
2
2
)((
0
cr
stE
crcr
crtcr
x
hAf
xxh
xhbfM
??
?
?
??
?
bhAhh sEA ?? 2,92.00 ?? 令设
2)5.21(292.0 bhfM tAcr ???
b
hh0A
s
xn=?n
h0
?ct
?tb= ?tu
?s
?
?c
?t0
xn=xc
r
M
?ct
?sAs
C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
?ct
?cb
?s
?
?c
y
xn
M
?ct
?sAs
C
yc
M较小时,?c可以认为
是按线性分布，忽略拉
区混凝土的作用
0
0
h
y
h
y
EE
n
t
c
n
t
ccccc
?
?
?
???
?
??
? ? 0X
s
t
c
n
n
E
s
t
c
n
n
ssssssn
t
c
A
A
h
h
EAEAhb
?
?
?
?
?
?
?
????
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?
?
???
1
)1(
5.0
0
0
0
0222 ??? ?????? EnEn
b
hh0A
s
xn=?n
h0
压区混凝土处于弹性阶段
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
? ? 0M )311()311(5.0 020 nssnntc hAhbM ????? ????
b
hh0A
s
xn=?n
h0
?ct
?tb
?s
?
?c
y
xn
M
?ct
?sAs
C
yc
压区混凝土处于弹性阶段
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?ct<?0
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn
=?
nh0
b
hh0
As T
s=?sA
s
?ct
xn
C
M
yc
?ct
?cb
?s
?
?c
y
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?
???
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2
0
2
0
0
0
2
2
00
2
00
0 2
0
2
0
3
22 00
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
? ??
t
c
t
c
nc
h
n
t
c
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t
c
c
h cc
c
hbf
dyy
h
y
h
bfdybfC nn
0
0
0
0 2
0
2
0
0 2
0
2
0
0
3
1
123
1
2
2
0
0
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y d ybf
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ns
t
c
t
cnc AEhbf ?
?
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?
???
?
? ? 1
3 20
2
0
0
? ??????? nstcnc Ef ?????????? ? 121 2
00
2
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?ct<?0
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn
=?
nh0
b
hh0
As T
s=?sA
s
?ct
xn
C
M
yc
?ct
?cb
?s
?
?c
y
)(
3
1
123
1
1
3
1
123
1
1
3
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
yst
c
t
c
nss
t
c
t
c
n
t
c
t
c
nc
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?
?
?
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?0 <?ct< ?cu
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
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?s ?
y0
)311( 00 t
c
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?? ??
??
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1
2
1
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stc
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ns
tcnc AEhbf ??
?
?
?? ????
?
???
?
? ? 1
31 00
? ? ?????? tcnst
c
nc Ef ?????
???
?
? ? 1
31
02
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
压区混凝土处于弹塑性阶段，但 ?0 <?ct< ?cu
(以混凝土强度等级不大于 C50的钢筋混凝土受弯构件为例 )
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
?ct
?cb
?s ?
y0
)(
3
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1
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3
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1
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1
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3
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0
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0
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c
t
c
nss
t
c
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c
nt
c
nc
fhA
hbfM
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
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???
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?
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?
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?
????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
0033.0,002.0,2
50
0 ???
??
cu
cucu
t
c
n
M p af
??
?? 时，。当
应用前面
公式
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
?ct
?cb
?s ?
y0
0)1(0 0 0 0 5 5.02 ??? ??? nsnc Ef
)()4 1 2.01()4 1 2.01(7 9 8.0 020 ysnssnncu fhAbhfM ????? ?????
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
yscutc f??? ???,0 0 3 3.0
对适筋梁，达极限状态时，
? ? 0M )329.0798.0( )412.01(2
00
0
nnc
nsy
bh
hAfM
???
?
??
??
? ? 0X
c
y
sn f
f?? 253.1?
xn=
?nh
0
b
hh0
As
Ts=?sAs
xn
fc
C
M
yc
?c?0
y
?ct
?cb
?s ?
y0
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
?sAs
Mu
fc
C
ycxn=?nh
0
Mu
xn=?nh0
b
hh0A
s
?cu
?s ?sAs
C
xn=?nh
0
?1 fc
Mu
C
ycxn=?nh
0
?sAs
x=?1xn
引入参数 ?1,?1进行简
化
原则,C的大小和作用点
位置不变
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
?sAs
Mu
fc
C
ycxn=?nh
0
?1 fc
Mu
C
ycxn=?nh
0
?sAs
x=?1xn由 C的大小不变
)
3
1
1(
1
)
3
1
1(
0
1
1
011
0
01
cu
nc
cu
nc bhfhbfC
?
?
?
?
???
?
?
??
??
???
由 C的位
置不变
cu
cucu
n
cu
cu
nc hhy
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
0
2
00
101
0
2
0
0
3
1
1
6
1
3
2
1
,5.0)
3
1
1
12
1
2
1
1(
?
??
?
?
??
?
?
??
??
?
??
?
?
??
?
?
?
??
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
?sAs
Mu
fc
C
ycxn=?nh
0
?1 fc
Mu
C
ycxn=?nh
0
?sAs
x=?1xn
)311(1 0
1
1
cu
c
?
?
?? ??
cu
cucu
?
?
?
?
?
?
?
0
2
00
1
3
1
1
6
1
3
2
1
?
??
?
?
??
?
?
??
?
0 0 3 3.0,0 0 2.0
50
0 ??
?
cu
cu M p af
??
时，当 ?
?? ?
?
8 2 4.0
9 6 9.0
1
1
?
?
??
?
???
???
M p af
M p af
cu
cu
80,74.0,94.0
508.0,0.1
11
11
??
??
线性插值（, 混凝土结构设计
规范, GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度
界限受压区相对高度
界限受压区高度
?
?
nb
nbx
?
ycu
cunb
nb h
x
??
??
??? 0
?cu
?y
xn
b
h0
平衡破坏
适筋破坏
超筋破坏
压区相对高度矩形应力图形的界限受
压区高度矩形应力图形的界限受
?
?
b
bx
?
cus
y
cu
yycu
cubb
b
E
fh
x
h
x
?
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
???
11
111
0
1
0
六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度
时：M p af cu 50?
?cu
?y
xn
b
h0
平衡破坏
适筋破坏
超筋破坏
s
y
b
E
f
0 0 3 3.0
1
8.0
?
??
nbnb ???? ?? 即 适筋梁
nbnb ???? ?? 即 平衡配筋梁
nbnb ???? ?? 即 超筋梁
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
??
?
?
?
????
?
)
2
()
2
( 001
1
x
hA
x
hbxfM
Abxf
sscu
ssc
??
??
基本公式
Mu
?1fc
x/2
C
?sAs
x
h0
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
??
?
?
?
????
?
)
2
()
2
( 001
1
x
hAf
x
hbxfM
Afbxf
sycu
syc
?
?
适筋梁
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
c
y
s
c
sy
f
f
bhf
Af
h
x
1010 ?
??? ???
0
2
0
2
01
2
01
)5.01(
)5.01(
hfAbhf
bhfbhfM
sysys
cscu
????
?????
???
???
截面抵抗矩系数
截面内力臂系数
将 ?,?s,?s
制成表格，
知道其中一
个可查得另
外两个
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
适筋梁的最大配筋率 （平衡配筋梁的
配筋率）
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
y
c
bsbs f
f1
m a x
???? ??
)5.01(m a x bb ??? ??
保证不发生超筋破坏
2
01m a x
2
01m a x )5.01( bhfbhfM csbbcu ????? ???
m a x
m a x
uu
ss
b
MM ?
?
?
或
或
??
??
,混凝土结
构设计规范,
GB50010中各
种钢筋所对
应的 ?b、
?smax、列于
教材表 4-1中
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
适筋梁的最小配筋率 x
n
xn/3
fyAs
Mu
C
h0钢筋混凝土梁的 Mu=素混凝土梁的受弯承载力 Mcr
00 9.0)3( hAf
xhAfM
sy
n
syu ????
,混凝土结构设计
规范, GB50010中
取,Asmin=?sminbh
配筋较少压
区混凝土为
线性分布
? ? 20202 322.005.1292.0292.0 bhfhbfbhfM tttcr ???
y
ts
s f
f
bh
A 36.0
0
m i n ???
偏于安全地
y
t
s f
f45.0
m i n ??
具体应用时，应根据
不同情况，进行调整
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
超筋梁的极限承载力
h0
?cu
?s
xnb=x/?1
?si
h0i
关键在于求出钢筋的应力
任意位置处钢筋的
应变和应力
)1()1(
0
10100 ??????
h
h
x
h
x
xh i
cu
i
cucu
yn
ni
si ?
??????
)1(
0
10 ??
h
hE i
cussi ?
???
只有一排钢筋
)1( 1 ?? ???? cuss E
)18.0(0 0 3 3.0 ?? ?? ss E
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
?sAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
超筋梁的极限承载力
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
1
8.0
0 0 3 3.0
)
2
()
2
(
001
1
?
?
??
?
ss
sscu
syc
E
x
hA
x
hbxfM
Afbxf
8.0
8.0
?
??
b
ys f ?
??
解方程可求
出 Mu
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用
已有构件的承载力 （已知 b,h0,fy,As，求 Mu）
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
??????? bhAbhA ss,
0
?
?min ??? ?b素混凝土梁的
受弯承载力 Mcr
适筋梁的受弯
承载力 Mcr
超筋梁的受弯
承载力 Mcr
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用
截面的设计 （已知 b,h0,fy,M,求 As ）
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
??
?
?
?
?????
?
)
2
()
2
( 001
1
xhAfxhbxfMM
Afbxf
sycu
syc
?
? 先求 x再求 A
s
?min ??? ?b
OK！
加大截面尺寸重新进行
设计 (或先求出 Mumax，
若 M>Mumax,加大截面
尺寸重新进行设计 )
??????? bhAbhA ss,
0
?
bhA s m in??
六、受弯构件正截面简化分析
1
1 0 0( ) ( )22
c y s
u c y s
f b x f A
xxM M f b x h f A h
?
?
?
? ? ? ? ?
221 0 1 0( 1 0.5 )u c s cM f bh f bh? ? ? ? ?? ? ?
(1 0,5 )s? ? ???
例 4-1,已知梁截面弯距设计值,混凝土强度等级为 C30,
钢筋采用, 梁的截面尺寸为,环
境类别为一类 。 试求,所需纵向钢筋截面面积 As。
2 0 0 m m 5 0 0 m mbh? ? ?335HRB
9 0 k N mM ?
C=? fcbx
Ts= As
M
?1fc
x=?1xn
fy
b
hh0
As
x=?h0
基本公式：
c
y
s
c
sy
f
f
bhf
Af
h
x
1010 ?
??? ???
1 1 2 sb? ? ?? ? ?
则,
<
? ?
? ?
0
00 0
00
1 0, 5 1 1 2() ()
2 2
0, 5 1 1 2
u u u
s
ysy y
uu
ysys
M M M
A
xh fh
fh fh
MM
fhfh
? ?
??
? ? ?
??? ? ?? ?
??
??
??
5,计算实例
已知条件：梁截面弯距设计值,混凝
土强度等级为 C30,钢筋采用, 梁的截面
尺寸为,环境类别为一
类 。 试求,所需纵向钢筋截面面积 As。
2 0 0 m m 5 0 0 m mbh? ? ?
335H R B
9 0 k N mM ?
【 解 】 由 附表 5-4可知,环境类别为一类,混凝土强度
等级为 C30时梁的混凝土保护层最小厚度为 25mm,故
可设 3 5 m m
sa ?
,则 h0=500-35=465mm。
根据混凝土和钢筋的等级,查 附表 2-2,2-7,得：
fc=14.3N/mm2,ft=1.43N/mm2,fy=300N/mm2,
由 表 4-5,4-6知,
111, 0,0, 8,0, 5 5,b? ? ?? ? ?求计算系数
6
22
10
9 0 1 0 0, 1 4 6
1, 0 1 4, 3 2 0 0 4 6 5s c
M
f b h? ?
?? ? ?
? ? ?
2
0
1 1 2 0,5 5,
0,5 ( 1 1 2 )
7 0 0 m m
sb
ss
s
ys
M
A
fh
? ? ?
??
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
6
则：
＝0, 1 5 8 < 符合要求。
＝0, 9 2 1
9 0 1 0
故 ＝ ＝
3 0 0 0, 9 2 1 4 6 5
选用 3Φ18,As ＝ 763mm2 （注意：选用钢筋时应满足
有关间距、直径、及根数等的构造要求），配置见下图。
h0=465
35
200
3Φ18
2Φ12
验算适用条件：
（ 1）适用条件（ 1）已满足。
m in
7632 0,8 2 0,4 5 0,2 1 4 %,
2 0 0 4 6 5
0,2 %,
t
y
f
f
??
?
??
?
?
（ ） ＝ ＝ ％ >
同 时 满 足 要 求 。
七、双筋矩形截面受弯构件
1,应用情况
截面的弯矩较大 （ 按单筋矩矩形截
面计算所得的 ξ又大于 ξb），而梁截面尺
寸受到限制，混凝土强度等级又不能提高
时，即 在受压区配置钢筋以补充混凝土受
压能力的不足 。
b
h0 h
截面承受正、负变化的弯矩，
即在不同荷载组合情况下，其中在某一
组合情况下截面承受正弯矩，另一种组
合情况下承受负弯矩，。
对箍筋有一定要求，即
做成封闭式，且间距不
大于 15d(d为受压钢筋
最小直径）防止纵向凸
出
抗震要求,由于受压钢筋可以提高截
面的延性，因此，在抗震结构中要求框架
梁必须配置一定比例的受压钢筋。
七、双筋矩形截面受弯构件
2,试验研究
不会发生少筋破坏
b
h0 h
和单筋矩形截面受弯构
件类似分三个工作阶段
分析略
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
弹性阶段
As
?cb
?ct
?s
?
b
hh0 M
?c
?sAs
xn
As’
（ ?E-1） As
（ ?E-1） As’
用材料力学的方法按换算截面进行求解
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
弹性阶段 ----开裂弯矩 (考虑 ?s’As’的作用 )
xcr
b
hh0A
s
As’ ?
ct
?cb= ?tu
?s
?
?c
?t0
?s’
)'
3
1
(''
)5.21(292.0 2
scrss
tAcr
axA
bhfM
??
??
?
?
c
t
cr
scr
tu
cr
scr
s
E
f
xh
ax
xh
ax
?
?
?
?
?
?
'
2
'
' ??
2)'25.05.21(292.0 bhfM tAAcr ?? ???
)'(2' bhA sEA ?? ?
Mcr
xn=xc
r
?ct
?sAs
C
T
c
?s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
带裂缝工作阶段
xn
b
hh0A
s
As’ ?
ct
?cb
?s
?
?c
?t0
?s’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
荷载较小时，混凝土的应力可简化为直线型分布
荷载增大时，混凝土的应力由为直线型分布转化
为曲线型分布
和单筋矩形
截面梁类似
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
破坏阶段（标志 ?ct= ?cu）
压区混凝土的压力 C
C的作用位置 yc
和单筋矩形截面梁的受压区相同
xn
b
hh0A
s
As’ ?
ct
?cb
?s
?
?c
?t0
?s’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
M
xn
?ct
?sAs
C
?s’As’
Mu
?ct=?cu?ct= ?c0
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
?s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
破坏阶段（标志 ?ct= ?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平截面假定有：
Mu
?ct=?cu?ct= ?c0
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1'(0 0 3 3.0' ??
n
s
ss x
aE?
以 Es=2?105Mpa,as’=0.5?0.8xn代入上式，则有,?s’=-
396Mpa
结论,
当 xn?2 as’/0.8 时,HPB235,HRB335,HRB400及 RRB400钢均能受压屈服
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析
破坏阶段（标志 ?ct= ?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平衡条件则有：
Mu
?ct=?cu?ct= ?c0
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1()329.0798.0(
)412.0()412.01(
)'(253.1
0
'
0
''2
00
0
'
0
''
0
00
h
a
hAfbh
h
a
hAfhAfM
ff
s
synnc
s
nsynsyu
c
y
s
c
y
sn
????
????
??
???
??
?
?
?
??
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
?ct=?cufc
?sAs（ fyAs）
C
yc ?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
Mu
?1fc
?sAs（ fyAs）
C
ycxn=?nh
0
fy’As’
x?1,?1的计算方
法和单筋矩形截
面梁相同
??
?
?
?
????
??
)('')
2
( '001
''
1
ssycu
sysyc
ahAf
x
hbxfM
AfAfbxf
?
?
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
fyAs
?1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’
fyAs1
As1 Mu1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21 sss AAA ??
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
fyAs1
As1 Mu1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
承载力公式的适用条件
1,保证不发生少筋破坏, ?>?min (可自动满足 )
2,保证不发生超筋破坏,
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
b
s
b
??
?
???
??
?
???
??
或
或
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
承载力公式的适用条件
3,保证受压钢筋屈服, x>2as’，（即受压钢筋位置不低
于矩形受压应力图形的重心，否则其离中和轴太近，
压应变太小，达不到,当该条件不满足时，应按下
式求承载力
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
)1(
)('')
2
(
0
'
1'
'
001
''
1
h
a
E
ahA
x
hbxfM
AfAfbxf
s
cuss
ssscu
sysyc
?
?
??
??
?
或近似取 x=2as’则，
'0()u y s sM f A h a??
Mu
fyAs
?1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’/yf
例 4-2 已知一双筋矩形截面梁，梁的尺寸 b× h=200mm× 500mm，采用的
混凝土强度等级为 C25，钢筋为 HRB335，截面设计弯矩 M =210kN·m，环境
类别为一类。试求纵向受拉钢筋和受压钢筋的截面面积。
【 解 】 由附表 1-1可知,环境类别为一类,混凝土强度等级为 C25时
梁的混凝土保护层最小厚度为 25mm,假定钢筋放两排，故可设
as=60mm,则 h0=500-60=440mm。
根据混凝土和钢筋的等级,查附表 1-2,1-3,得,
fc=11.9N/mm2,fy=300N/mm2,ft=1.27N/mm2 。
6
22
10
210 10 0.456
1.0 11.9 200 440
1 1 2 0.703 0.55
s
c
sb
M
f bh
?
?
? ? ?
?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
七、双筋矩形截面受弯构件
6,计算实例
这说明如果设计成单筋矩形截面，将会出现 的超筋情况。若不
能加大截面尺寸，又不能提高混凝土等级，则应设计成双筋矩形截面。
0bxh??
2
2
2 1 0
2
'62
''
0
( 1 0, 5 )
1, 0 1 1, 9 2 0 0 4 4 0 0, 5 5 ( 1 0, 5 0, 5 5 )
1 8 3, 7 3 k N m
2 1 0 1 8 3, 7 3
1 0 2 1 6, 2 m m
( ) 3 0 0 ( 4 4 0 3 5 )
u c b b
u
s
ss
M f b h
MM
A
f h a
? ? ???
? ? ? ? ? ? ?
??
? ?
? ? ? ?
? ? ?
取,则b???
fyAs2
As
1
Mu
1
?1fc
Cx=
b
hh0
受拉钢筋选用 6Φ22,As ＝ 2281mm2。受
压钢筋选用 2Φ12,As‘ ＝ 226mm2 。配置
见右图。
2Φ12
10
2
300 1.0 11.9 200 440216.2 0.55
300 300
2136.1 m m
y c
s s b
yy
f f bh
AA
ff
??? ? ? ??? ? ? ? ? ?
?
475
25
200
6Φ22
0bh?
上例中取受压区高度 即为单筋截面时最大配筋率，
是与超筋破坏临界状态,x必大于 2as,不必验证适用条件。
但下面情况需作适用条件验证。
0 bxh??
例 4-3 已知条件同例 4-2，但在受压区已配置了
2Φ20,As? ＝ 628mm2。
求：纵向受拉钢筋截面面积 As 。
【 解 】
? ? 620 3 0 0 6 2 8 ( 4 4 0 3 5 ) 7 6, 3 1 0u y s sM f A h a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
6 6 6u1 2 210 10 76.3 10 133.7 10uM M M? ? ? ? ? ? ? ?则
已知 Mu1后，就可以按照单筋矩形截面求 As1。设 as=60mm,
则 h0=500-60=440mm。
6
1
22
10
1 3 3, 7 1 0 0, 2 9
1, 0 1 1, 9 2 0 0 4 4 0
u
s
c
M
f b h? ?
?? ? ?
? ? ?
由已知条件可知：
2u1
1
0
1 1 2 0,55,
0,35 2 44 0 15 4,8 2 12 0 m m,2
0,5 ( 1 1 2 )
13 3,7
mm
sb
ss
s
ys
x b a
M
A
fh
? ? ?
?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
6
则：
＝0,3 52 < 满足适用条件（1 ）。
满足条件（ ）。
＝0.824
10
故 ＝ ＝1 22 9
30 0 0,82 4 44 0
最后得：
As=As1+As2=1229+628=1857mm2
选用 6Φ20,As ＝ 1884mm2 。
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用
已有构件的承载力
fyAs1
As1 Mu1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21''2,/ sssyyss AAAffAA ???
)( '0''' ssyu ahAfM ??
求 x
2as’?x ??bh0
适筋梁的受弯
承载力 Mu1
超筋梁的受
弯承载力 Mu1'0()u y s sM f A h a??
21,m a x 0u s cM f b h????
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用
截面设计 I----As’未知
fyAs1
As1 M1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
0hx b??
)5.0(,/ 01111 xhfAMfbxfA ysycs ??? ?
'2''021 /,)/(',' yyssyss ffAAfahMAMMM ?????
截面设计 I----As’已知
fyAs1
As1 M1
?1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
)(',/ '02''2 sysyyss ahfAMffAA ???
xMMM 求,'1 ??
2as’?x ??bh0
按适筋梁求 As1
按 As’未知重
新求 As’和 As按适筋梁求 As1,
但应进行最小
配筋率验算
? ?'0s ysMA f h a? ?
?受拉钢筋较多，可将截面底部宽度适当增大，形成工形
截面。工形截面的受弯承载力的计算与 T形截面相同。
挖去
中和轴
? 受弯构件在破坏时，大部分受拉区混凝土早已退出工
作，故将受拉区混凝土的一部分去掉。只要把原有的纵向
受拉钢筋集中布置在梁肋中，截面的承载力计算值与原有
矩形截面完全相同，这样做不仅可以节约混凝土且可减轻
自重。剩下的梁就成为由梁肋 ( )及挑出翼缘,
两部分所组成的 T形截面。
hb? ? ? ''f hbb ??
八,T形截面受弯构件
倒 T型截面梁，
按同肋等宽的矩
形截面计算
八,T形截面受弯构件
1,翼缘的计算宽度
?1fc
bf’
见教材表 4-7
fhx ?? fhx ??
fhx ??
)
2
( 0 fffcf
syffc
h
hhbfM
Afhbf
?
?????
???
?
?
f
syffc
MM
Afhbf
??
????
f
syffc
MM
Afhbf
??
????
第一类 T形截面 第二类 T形截面界限情况
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
两类 T形截面判别
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
fyAs
Mu
?1fc
x/2
C x
h0
As
bf’
b
hf’
hh0
as
两类 T形截面判别
---界限截面
'
' ' / ' '
1 1 0,( )2
f
y s c f f f c f f
hf A f b h M f b h h??? ? ? 或
判断截面类别
第一类 T形截面
计算公式与宽度等于 bf'的
矩形截面相同：
◆ 为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足 ? ≤?b。对第一类 T形截面，
该适用条件一般能满足。
◆ 为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足 As≥?minbh,b为 T形截面的腹板
宽度。
◆ 对工形和倒 T形截面，受拉钢筋应满足：
As≥?min[bh + (bf -b)hf]
'
1 0 0( ) ( )22
c f y s
u c f y s
f b x f A
xxM M f b x h f A h?
? ?
? ? ? ? ?
◆ 基本公式
x
fyAs
Mu
?1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
第二类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
= +
bxf c?
)2()( 0 fffc hhhbbf ?????? ?
ffc hbbf ???? )(? syAf?
)2( 0 xhbxfM cu ?? ?
2
20 () 2
c y s
c
f b x f A
xM f b x h
?
?
??
??
?
???
?
1
10
()
( ) ( )
2
c f f y s
f
c f f
f b b h f A
h
M f b b h h
?
?
?????
?
??
??? ? ??
?
fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mfu’ h0
?1fc
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
?1fc
要验算一般可自动满足，但需,m i n?? ?
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
bs
s
s
b
??
?
???
??
?
???
??
或
或
例 4-4 已知一 T形梁截面设计弯矩 M =410kN·m，梁的尺寸 b× h=
200mm× 600mm,b?f＝ 1000mm,h?f＝ 90mm；混凝土强度等级为
C25，钢筋采用 HRB335，环境类别为一类。
求,受拉钢筋截面面积 As。
【 解 】 f
c=9.6N/mm2,fy= fy?＝ 300N/mm2,111.0,0.8????
判断类型：
因弯矩较大，截面宽度 b较窄，预计受拉钢筋需排成两排，故取
h0 = h － as= 600 － 60 = 540mm
? ?10
66
90( ) 1,0 9,6 1 0 0 0 9 0 5 4 0 2
2
427.7 10 410 1 0
f
c f f
hf b h h? ??? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
＝
3、计算实例
属于第一类 T形截面梁。则有：
6
22
10
4 1 0 1 0 0, 1 4 6
1, 0 9, 6 1 0 0 0 5 4 0s c
M
f b h? ?
?? ? ?
? ? ?
2
0
1 1 2 0, 5 5
0, 5 ( 1 1 2 )
mm
540
sb
ss
s
ys
M
A
fh
? ? ?
??
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
??
6
＝0, 1 5 8 <
＝0, 9 2 1
4 1 0 1 0
故 ＝ ＝2 7 4 8
3 0 0 0, 9 2 1
选用 6Φ25,As ＝ 2945mm2 。
目录
0
2 7 4 8 1, 2 70, 0 2 5 0, 4 5 0, 1 9 %
2 0 0 5 4 0 3 0 0
0, 2 %
s
s
A
bh
? ? ? ? ? ? ?
?
且 大 于
八,T形截面受弯构件
4,正截面承载力简化公式的应用
截面复核
''1 ffcsy hbfAf ??
x
fyAs
Mu
?1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
按 bf’× h的矩形截面
计算构件的承载力
I类 T形截面
bhA s m i n??若 按 b× h的矩形截面的
开裂弯矩计算构件的
承载力
八,T形截面受弯构件
? ?
y
ffc1s1 ''f hbbfA ?? ?
s1ss2 AAA ??
?????? ?? 2' f0s1yu1 hhAfM fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Muf’ h0
?1fc
截面复核 ''1 ffcsy hbfAf ?? II类 T形截面
0
22 bhAs??
c1
y2 ff??? ?? ? ???? 5.01s ??
4,正截面承载力的简化计算方法
20c1su2 bhfM ??? u2u1u MMM ?? Mu≥M?
八,T形截面受弯构件
4,正截面承载力的简化计算方法
截面设计
x
fyAs
M
?1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM ?? ?
按 bf’× h单筋矩形截
面进行设计
I类 T形截面
m in?? ?? bh
A s
八,T形截面受弯构件
4,正截面承载力的简化计算方法
fyAs1
Mu1
x
h0
?1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Muf’ h0
?1fc
II类 T形截面
与 As’已知的 b× h双筋
矩形截面类似进行设
计
截面设计
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM ?? ?
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用
深受弯构件
5/0 ?hl
?
?
?
???
???
短梁
深梁（连续梁），简支
5/)5.2(0.2
5.2/)(0.2/
0
00
hl
hlhl
P P
h
l0
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用
转换层 片筏基础梁
仓筒侧壁
b
h
箍筋
水平分布筋
拉结筋
纵向受力筋
九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态
平截面假定不再适用 梁的弯曲理论不适用
受力机理 拱机理
破坏形态 弯曲破坏和剪切破坏 (不是此处讨论的内容 )
P P P P
正截面弯曲破坏 斜截面剪切破坏
九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态
?s<?sbm时 弯曲破坏
P P
P P
以多排受拉钢筋屈服弯矩
My作为其极限承载力 Mu
原因：纵筋很少
?s>?sbm时 剪切破坏 (此处略 )
?s=?sbm时 弯剪界限破坏
九、深受弯构件的弯曲性能
3,深梁的弯剪界限配筋率
P P
计算剪跨比：集中荷载,?=a/h
均布荷载,?=a/h（ a =l0/4）
由统计回归得出,
y
c
s b m f
f?? 19.0?简支梁
约束梁
连续梁
y
c
s b m f
f
?
??
48.11
19.0
??
支座弯矩与跨中最大弯矩的比值绝对值的
最大值
九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力
P P
深梁发生弯曲破坏时，截面下部 h/3范围内的多
排钢筋均屈服。由统计回归得出,
0)33.0( hbhfAfM yhhsyy ????
c
y
y
yh
hs f
f
f
f
h
l )5.0)(1.01(1 0 ??? ????
折算内力臂
水平分布筋的配筋率
v
sh
h bs
A??
水平分布筋的竖向间距
sv范围内水平分布筋的
全部截面积
九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力
P P
“钢筋混凝土深梁设计规程”（ CECS39,92）
简化公式
zAfM syu ?
)65.0()5.5(1.0 000 lzhlhlz ???? 时，
深梁的内力臂，取受拉钢筋合力作用点和混凝土受
压合力作用点间的距离
简支梁和连续
梁的跨中截面
连续梁的支座
截面 )6.0()5(1.0 000 lzhlhlz ???? 时，
计算跨度
)15.1,(0 nc llM i nl ?
九、深受弯构件的弯曲性能
5,短梁的受弯承载力
P P
和一般梁比较接近，平截面假定适用
)33.09.0(0 ??? hAfM syy
破坏类型：少筋、适筋、超筋
适筋梁的受弯承载力
九、深受弯构件的弯曲性能
6,混凝土结构设计规范（ GB50010-2002）公式
P P
深梁、短梁和一般梁相衔接
??
???
??
?
)5.0( 0
1
xhAfM
Afbxf
dsyu
syc
?
?
深受弯构件的内力臂修正系数
h
l
d
004.08.0 ???
截面有效高度
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
距离作用点至受拉区边缘的
受拉纵向钢筋合力时，
支座
跨中
时，
s
s
s
s a
h
l
ha
ha
h
l
ahh 2
2.0
1.0
2
0
0
0
十、受弯构件延性的基本概念
延性 Mu
?
My
?y
M
O ?u
反映截面、构件、结构钢筋屈服以
后的变形能力
以截面为例：用延性系数表示截面的延性
y
u ??? ?
十、受弯构件延性的基本概念
21 ss AA ?
?y
?cu
?u1
?u2
As1
As2
?cu
?y
As1
As2
?y1
?y2
21 uu ?? ? 21 yy ?? ?
2
22
1
11
y
u
y
u ?????? ???
结构的
延性
取决于
构件的
延性
取决于
截面的
延性
取决于
配筋量
