有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构
分析方法,用于板壳、实体等结构的分析。
有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同,过程也相似。
1
2
4
6
3
5
离散化:
水坝
单元分析:
整体分析:
求应力:
§ 1 杆系结构的有限单元法
§ 1.1 泛函与变分
,最速落径问题” ---质量为 m的小环从 A处自由滑下,
试选择一条曲线使所需时间最短。(不计摩擦)
A
B
X
Y
设路径为 y=y( x)
22 dydxds ??
dxdt ydtdsv ?????
21
ghv 2?
dxghydt ???? 21
2
? ??? a dxghyxyT 0
2
2
1)]([所需时间
a
y
称 T为 y( x)的泛函,
y( x)为自变函数。
即以函数作自变量以积
分形式定义的函数为泛函。
§ 1.1 泛函与变分
XA
Y
)()()(* xyxyxy ???
)()(2)(2 xyxyxy ?? ?
变分运算在形式上与微分运算相同。
y=y( x)
x+dx
dy
x
)(** xyy ?
)(xy?称 为 y( x) 的变分,它是一个无穷小的任意函数。
)(xy?
微分与变分运算次序可以交换。
)()( dxdyydxd ?? ?
积分与变分运算次序也可以交换。
? ??21 21 ))](,([)](,[xx xx dxxyxfdxxyxf ??
§ 1.2 变形体虚位移原理
?? le dxxyxqW 0 )()( ??
外力虚功
? ??? li dxxNxQxkxMW 0 ])()()()([ ??????
内力虚功
虚功方程
ei WW ?? ?
?? ??? ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 ])()()()([)()( ??????
§ 1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
P
?2/?? PVe ?? l dxM021 ?
拉压应变能 2/?? PV
e ??
l dxN
02
1 ? P
?
P
?
剪切应变能 2/?? PV
e ??
l dxQ
02
1 ?
y( x)
平衡位置
q(x)
y?
2.外力势能
§ 1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
P
?
P
2/?? PVe ?? l dxM
02
1 ?
拉压应变能 2/?? PVe ?? l dxN
02
1 ?
?
P
?
剪切应变能 2/?? PVe ?? l dxQ
02
1 ?
1? 2? 3?
1P 2P
3P
外力从变形状态退回到无位移的
原始状态中所作的功,
? ??? iie PV *
y(x)
q(x)??? le dxxyxqV 0* )()(3.结构势能
*PeP VVE ??
§ 1.2 变形体虚位移原理
虚功方程
?? ??? ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 ])()()()([)()( ?????? y( x)平衡位置
q(x)
y?
? ????? l l q y d xdxNQM0 0][21 ???
§ 1.2 变形体虚位移原理
虚功方程
?? ??? ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 ])()()()([)()( ?????? y( x)平衡位置
q(x)
y?
2.外力势能
§ 1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能 2/?? PVe ?? l dxM021 ?
拉压应变能 2/?? PVe ?? l dxN
02
1 ?
剪切应变能 2/?? PVe ?? l dxQ
02
1 ?
外力从变形状态退回到移的
原始状态中所作的功,
? ??? iie PV * ??? le dxxyxqV 0* )()(
3.结构势能
*PeP VVE ??
? ????? l l q y d xdxNQM0 0][21 ???
对于线弹性杆件体系
EI
M??
GA
Q??
EA
N??
? ??? lP dxEANGAQEIME 0
222
][21
?? l qydx0
§ 1.2 变形体虚位移原理
虚功方程
?? ??? ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 ])()()()([)()( ?????? y( x)平衡位置
q(x)
y?
§ 1.3 势能原理
4.势能原理 对于线弹性杆件体系
EI
M??
GA
Q??
EA
N??
? ??? lP dxEANGAQEIME 0
222
][21
?? l qydx0
对于线弹性杆件体系,虚功方程为,
?? ??? ll dxEA NNGA QQEIMMdxxyxq 00 ][)()( ????

?? ??? ll dxEANGAQEIMq y d x 0 2220 ]222[??
? ? ????l l q y d xdxEANGAQEIM0 0222 0])222([?

0?PE?
在弹性结构的一切 可能位移 中,真实位移
使结构势能取驻值。
满足结构位移边界条件的位移
§ 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
单元杆端力? ? ee
F
FF
??
?
??
??
2
1
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
EA,l x
1?
e
q(x)
1F 2F
21
2?单元杆端位移
? ? ee
??
?
??
??
2
1
?
??
bxaxu ??)(设杆中任一点位移
1)0(0 ??? ux
2)( ??? lulx
lba
121,??? ???
a,b称为 广义坐标
21)1()( ?? l
x
l
xxu ???
令 ---自然坐标
l
x??
21)1()( ????? ???u
? ?
??
?
??
??
2
1
21 ?
?NN
???11N
??2N
形 (状 )函数
0,1 211 ???? ??N 时的
杆中位移,
0,1 122 ???? ??N 时的
杆中位移,
? ? ? ?21 NNN ?
? ?? ?eN ??
---形函数矩阵
形函数性质,
1,0)1(1)0( 11 ?? NN
1)1(0)0( 22 ?? NN

021 ??? ??
? ?? ? 0021 )()( ???? ???? NNNu e
2,1)()( 21 ?? ?? NN
)(?u 中包含刚体位移
§ 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1?
e
q(x)
1F 2F
21
2?
dx
ud??
杆中任一点应变
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
???11N
??2N? ? ? ?21 NNN ?
? ?? ?eNu ??
---应变矩阵
二、应变分析
---用杆端位移表示杆中应变
? ?? ?eNdxd ??
? ?edxdNdxdN ???????? 21
? ?? ?eB ??
? ? ? ?21 BBB ?
lB /11 ?? lB /12 ?
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应力
?? E?
? ?? ?eBE ??
杆中任一截面的轴力
?AN ?
? ?? ?eBEA ??
§ 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1?
e
q(x)
1F 2F
21
2?
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
???11N
??2N? ? ? ?21 NNN ?
? ?? ?eNu ??
二、应变分析
---用杆端位移表示杆中应变
? ?? ?eB ?? ?
? ? ? ?21 BBB ?
lB /11 ??
lB /12 ?
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力
? ?? ?eBEAN ??
四、单元分析
---用杆端位移表示杆端力
单元应变能
?? le dxxxNV 0 )()(21 ?
? ?? ? ? ?? ?? ?? l ee dxBBEA021 ??
单元外力势能
? ?? ? ? ?? ? lBBEA ee ?? ?? 21
? ? ? ? ? ?? ? lBBEA eTTe ?? ?? 21
? ? ? ? ???? leTeP dxxuxqFV 0* ))()(( ?
? ? ? ? ? ? ? ????? l eeTe dxNxqF 0 ))(( ??
? ? ? ? ? ????? l eTe dxNxqF 0 ))(( ?
§ 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1?
e
q(x)
1F 2F
21
2?
四、单元分析
---用杆端位移表示杆端力
单元应变能
?? le dxxxNV 0 )()(21 ?
? ?? ? ? ?? ?? ?? l ee dxBBEA021 ??
单元外力势能
? ?? ? ? ?? ? lBBEA ee ?? ?? 21
? ? ? ? ? ?? ? lBBEA eTTe ?? ?? 21
? ? ? ? ???? leTeP dxxuxqFV 0* ))()(( ?
? ? ? ? ? ? ? ????? l eeTe dxNxqF 0 ))(( ??
? ? ? ? ? ????? l eTe dxNxqF 0 ))(( ?
单元的总势能
? ? ? ? ? ?? ? ??? lBBEAE eTTeP ??21
? ? ? ? ? ???? l eTe dxNxqF 0 ))(( ?
单元是平衡的 0?
PE?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? eTTeP BE A lBE ????
? ? ? ? ? ? 0))(( 0 ??? ? l eTe dxNxqF ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0)( 0 ??? ? elTeTTe dxNqFBE A lB ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0)( 0 ??? ? lTeTTe dxNqFBE A lB?
? ? ? ?? ? ? ? ? ???? l TeeT dxNqFBEAlB 0?
§ 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l x
1?
e
q(x)
1F 2F
21
2?
单元的总势能
? ? ? ? ? ?? ? ??? lBBEAE eTTeP ??21
? ? ? ? ? ???? l eTe dxNxqF 0 ))(( ?
单元是平衡的 0?
PE?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? eTTeP BE A lBE ????
? ? ? ? ? ? 0))(( 0 ??? ? l eTe dxNxqF ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0)( 0 ??? ? elTeTTe dxNqFBE A lB ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0)( 0 ??? ? lTeTTe dxNqFBE A lB?
? ? ? ?? ? ? ? ? ???? l TeeT dxNqFBEAlB 0?
上式记作
? ? ? ? ? ? ? ?eEeee FFk ???
其中
? ? ? ? ? ?BE A lBk Te ?
? ?llE A ll l /1/1/1 /1 ?????????
??????? ?? 11 11lEA
--局部坐标系下的单元刚度矩阵
? ? ? ??? l TeE dxNxqF 0 )(
--单元等效结点荷载
§ 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
单元分析的步骤,
1.以单元结点位移表示单元内位移,的性函数矩阵 ? ?N
2.由应变分析得到应变矩阵 ??B
3.由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程
得到单刚与单元等效结点荷载
坐标转换与矩阵位移法相同