ee
F
F
F
F
F
F
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
/4/60/2/60
/6/120/6/120
00/00/
/2/60/4/60
/6/120/6/120
00/00/
?
?
?
?
?
?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
一、桁架单元
? ? ??????? ?? lEAlEA lEAlEAk e // //
二、不计轴变的弯曲单元
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
k
e
/4/6/2/6
/6/12/6/12
/2/6/4/6
/6/12/6/12
22
2323
22
2323
ee
F
F
F
F
F
F
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
/4/60/2/60
/6/120/6/120
00/00/
/2/60/4/60
/6/120/6/120
00/00/
?
?
?
?
?
?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
三、连续梁单元
? ? ??????? lEIlEI lEIlEIk e /4/2 /2/4
四、一端刚结一端铰结的单元
ee
F
F
F
F
F
l
i
l
i
l
i
l
EA
l
EA
l
i
i
l
i
l
i
l
i
l
i
l
EA
l
EA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
22
22
3
0
33
0
000
3
03
3
0
3
0
33
0
000
?
?
?
?
?
x
1F
2F 5F
4F3F
06 ?F
)
6
26
(
4
62
3226
?
???
l
EI
l
EI
l
EI
EI
l
?
???
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
五、计剪切的自由式单元 梁
柱墙
（单刚见教材 41页）
六、带刚域单元
xe1?
e2?
e3?
e5? e4?
e6?
la
/1?
/2?
/3?
/5? /4?
/6?
l
11 ?? ?? a???? 322 ??? 33 ?? ??
44 ?? ?? 55 ?? ?? 66 ?? ??
? ? ? ?
e
a
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
010000
001000
000100
00010
000001
/
? ? ? ?? ?edT ?? ?/
5F
1F
2F
4F
3F 6F
1F
2F 5F
4F
3F 6F
/1F
/2F
/3F
/2F
/3F
aFFFFFFF /2/33/22/11,,????
/66/55/44,,FFFFFF ???
? ? ? ? /
100000
010000
00100
000100
000010
000001
F
a
F
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
五、计剪切的自由式单元 （单刚见教材 41页）
六、带刚域单元
xe1?
e2?
e3?
e5? e4?
e6?
la
/1?
/2?
/3?
/5? /4?
/6?
l
11 ?? ?? a???? 322 ??? 33 ?? ??
44 ?? ?? 55 ?? ?? 66 ?? ??
? ? ? ?? ?edT ?? ?/
? ? ? ?
e
a
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
010000
001000
000100
00010
000001
/
? ? ? ? ? ?/FTF Tde ? ? ? ? ? ? ?/// ?kF ?
? ? ? ? ? ? ? ? // ?kTF Tde ? ? ? ? ? ? ?? ?edTd TkT ?/?
? ? ? ? ? ? ? ?dTde TkTk /?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
? ? ?
?
?
??
?
?
??
11
11
l
GIk Pe
七、扭转杆单元
1?
lIG P,,
1F 2F
x
2?
§ 1.7 空间杆系结构的单元分析
一,交叉梁结构
x
y
z
x
yz
1F
2F
5F
4F
3F 6
F
? ? ?
?
?
??
?
?
??
11
11
l
EAk e
§ 1.7 空间杆系结构的单元分析
一,交叉梁结构
二,空间桁架
1F 2F x
yz
1F
2F
x
y
z
3F
1F
2F
4F
5F
6F
x
§ 1.7 空间杆系结构的单元分析
一,交叉梁结构
二,空间桁架
三,空间刚架
x
y
z
1F
2F
5F
4F
3F
6F
§ 2.1 弹性力学与结构力学的区别
§ 2 弹性力学的基本方程
l
q
4
lh?
q
4
lh?
浅梁
深梁
§ 2.2 弹性力学平面问题的两种类型
平截面假设成立
一,平面应力问题
x
y y
z
0?z?
一,平面应变问题 0?z?
水坝
x
y
A B
D C
§ 2.3 几何方程 ---位移与应变之间的关系
设物体内任意一点 A的位移为
? ?
??
?
??
??
),(
),(),(
yxv
yxuyxd
应变为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
),(
),(
yx
yx
yx
yx
xy
y
x
?
?
?
?
§ 2.2 弹性力学平面问题的两种类型
一,平面应力问题 0?
z?
一,平面应变问题 0?z?
水坝
x
y
A(x,y)
微元体只有水平位移时
D?
C?
B?A?
dx
dy
u u
u
dxxu??
dyyu??
xy?
x
u
dx
dx
x
u
AB
ABBA
x ?
???
?
???????
A B
D C
§ 2.3 几何方程 ---位移与应变之间的关系
设物体内任意一点 A的位移为
? ?
??
?
??
??
),(
),(),(
yxv
yxuyxd
应变为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
),(
),(
yx
yx
yx
yx
xy
y
x
?
?
?
?
微元体只有水平位移时
D?
C?
B?A?
dx
dy
u u
u
dxxu??
dyyu??
xy?
x
u
dx
dx
x
u
AB
ABBA
x ?
???
?
???????
0??y?
y
u
dy
dy
y
u
xy ?
???
?
???
A B
D C
D?
C?
B?A?
dx
dy
u u
u
dxxu??
dyyu??
xy?
§ 2.3 几何方程 ---位移与应变之间的关系
微元体只有水平位移时
x
u
dx
dx
x
u
AB
ABBA
x ?
???
?
???????
0??y?
y
u
dy
dy
y
u
xy ?
???
?
???
只有竖向位移时
0???x? yvy ?????? xvxy ???????
A B
DC
dxxv??
dyyv??
v v
vxux ???? yvy ???? xvyuxy ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
v
u
xy
y
x
xy
y
x
0
0
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
yxA
0
0
? ? ? ? ? ?dA T?? ----几何方程 微分算子矩阵
§ 2.4 物理方程 ---应力与应变关系
由广义虎克定律
0??? zxyzz ???
对于平面应力问题
? ? ? ?? ??? D?
)(1 yxx E ???? ??
)(1 xyy E ???? ??
xy
xy
xy EG ?
??? )1(2 ???
)(1 2 yxx E ????? ???
)(1 2 xyy E ????? ???
xyxy
E ??
?? 2
1
1 2
?
??
其中,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
y
x
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
y
x
?
?
?
?
应力向量 应变向量
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
1
00
01
01
1 2 ?
?
?
?
E
D
弹性矩阵
对于平面应变问题
将平面应力问题的弹性矩阵中的 E换成 换成 。?
?,1 2?
E
?
?
?1
x?x?
y?
y?
yx?yx
?
xy?
xy?
§ 2.5 平衡方程 ---应力与外力关系
一,应力与体积力关系 -----平衡微分方程
体内微元体 边界微元体
? ? 0xF
dx
x?
y?
dyyyy ??? ??
yx?
xy?
dyyxyxy ??? ??
dxxyxyx ??? ??
dxxxx ??? ??
dy X
Y ?
?
???
?
?? dx
ydydxx
xy
xy
x
x )()(
????
0???? Xd x d ydxdy xyx ??
0??????? Xyx xyx ??
0??????? Yxy yxy ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
Y
X
xy
yx
xy
y
x
?
?
?
? ?? ? ? ? ? ?0?? FA ? ? ?
??
?
??
??
Y
XF ---体积力
§ 2.5 平衡方程 ---应力与外力关系
一,应力与体积力关系 -----平衡微分方程
体内微元体 边界微元体
? ? 0xF
021 ????? dxdyX d x d yds yxxx ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
xy
y
x
y
x
lm
ml
?
?
?
? ? ? ?? ? ? ?0??? ?L ? ?
??
?
??
?
?
???
y
x ---表面力
二,应力与表面力关系 -----应力边界条件
dx
x?
y?
yx?
xy?
x?
dy
X
Y
y? n
??? s i n,c o s ?? ml设
ld sdym d sdx ??,
ml yxxx ?? ???
ml yyxy ?? ???
F
F
F
F
F
F
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
/4/60/2/60
/6/120/6/120
00/00/
/2/60/4/60
/6/120/6/120
00/00/
?
?
?
?
?
?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
一、桁架单元
? ? ??????? ?? lEAlEA lEAlEAk e // //
二、不计轴变的弯曲单元
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
k
e
/4/6/2/6
/6/12/6/12
/2/6/4/6
/6/12/6/12
22
2323
22
2323
ee
F
F
F
F
F
F
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
lEIlEIlEIlEI
lEIlEIlEIlEI
lEAlEA
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
/4/60/2/60
/6/120/6/120
00/00/
/2/60/4/60
/6/120/6/120
00/00/
?
?
?
?
?
?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
三、连续梁单元
? ? ??????? lEIlEI lEIlEIk e /4/2 /2/4
四、一端刚结一端铰结的单元
ee
F
F
F
F
F
l
i
l
i
l
i
l
EA
l
EA
l
i
i
l
i
l
i
l
i
l
i
l
EA
l
EA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
22
22
3
0
33
0
000
3
03
3
0
3
0
33
0
000
?
?
?
?
?
x
1F
2F 5F
4F3F
06 ?F
)
6
26
(
4
62
3226
?
???
l
EI
l
EI
l
EI
EI
l
?
???
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
五、计剪切的自由式单元 梁
柱墙
（单刚见教材 41页）
六、带刚域单元
xe1?
e2?
e3?
e5? e4?
e6?
la
/1?
/2?
/3?
/5? /4?
/6?
l
11 ?? ?? a???? 322 ??? 33 ?? ??
44 ?? ?? 55 ?? ?? 66 ?? ??
? ? ? ?
e
a
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
010000
001000
000100
00010
000001
/
? ? ? ?? ?edT ?? ?/
5F
1F
2F
4F
3F 6F
1F
2F 5F
4F
3F 6F
/1F
/2F
/3F
/2F
/3F
aFFFFFFF /2/33/22/11,,????
/66/55/44,,FFFFFF ???
? ? ? ? /
100000
010000
00100
000100
000010
000001
F
a
F
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
五、计剪切的自由式单元 （单刚见教材 41页）
六、带刚域单元
xe1?
e2?
e3?
e5? e4?
e6?
la
/1?
/2?
/3?
/5? /4?
/6?
l
11 ?? ?? a???? 322 ??? 33 ?? ??
44 ?? ?? 55 ?? ?? 66 ?? ??
? ? ? ?? ?edT ?? ?/
? ? ? ?
e
a
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
010000
001000
000100
00010
000001
/
? ? ? ? ? ?/FTF Tde ? ? ? ? ? ? ?/// ?kF ?
? ? ? ? ? ? ? ? // ?kTF Tde ? ? ? ? ? ? ?? ?edTd TkT ?/?
? ? ? ? ? ? ? ?dTde TkTk /?
§ 1.6 其它平面杆件单元的单刚
? ? ?
?
?
??
?
?
??
11
11
l
GIk Pe
七、扭转杆单元
1?
lIG P,,
1F 2F
x
2?
§ 1.7 空间杆系结构的单元分析
一,交叉梁结构
x
y
z
x
yz
1F
2F
5F
4F
3F 6
F
? ? ?
?
?
??
?
?
??
11
11
l
EAk e
§ 1.7 空间杆系结构的单元分析
一,交叉梁结构
二,空间桁架
1F 2F x
yz
1F
2F
x
y
z
3F
1F
2F
4F
5F
6F
x
§ 1.7 空间杆系结构的单元分析
一,交叉梁结构
二,空间桁架
三,空间刚架
x
y
z
1F
2F
5F
4F
3F
6F
§ 2.1 弹性力学与结构力学的区别
§ 2 弹性力学的基本方程
l
q
4
lh?
q
4
lh?
浅梁
深梁
§ 2.2 弹性力学平面问题的两种类型
平截面假设成立
一,平面应力问题
x
y y
z
0?z?
一,平面应变问题 0?z?
水坝
x
y
A B
D C
§ 2.3 几何方程 ---位移与应变之间的关系
设物体内任意一点 A的位移为
? ?
??
?
??
??
),(
),(),(
yxv
yxuyxd
应变为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
),(
),(
yx
yx
yx
yx
xy
y
x
?
?
?
?
§ 2.2 弹性力学平面问题的两种类型
一,平面应力问题 0?
z?
一,平面应变问题 0?z?
水坝
x
y
A(x,y)
微元体只有水平位移时
D?
C?
B?A?
dx
dy
u u
u
dxxu??
dyyu??
xy?
x
u
dx
dx
x
u
AB
ABBA
x ?
???
?
???????
A B
D C
§ 2.3 几何方程 ---位移与应变之间的关系
设物体内任意一点 A的位移为
? ?
??
?
??
??
),(
),(),(
yxv
yxuyxd
应变为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
),(
),(
yx
yx
yx
yx
xy
y
x
?
?
?
?
微元体只有水平位移时
D?
C?
B?A?
dx
dy
u u
u
dxxu??
dyyu??
xy?
x
u
dx
dx
x
u
AB
ABBA
x ?
???
?
???????
0??y?
y
u
dy
dy
y
u
xy ?
???
?
???
A B
D C
D?
C?
B?A?
dx
dy
u u
u
dxxu??
dyyu??
xy?
§ 2.3 几何方程 ---位移与应变之间的关系
微元体只有水平位移时
x
u
dx
dx
x
u
AB
ABBA
x ?
???
?
???????
0??y?
y
u
dy
dy
y
u
xy ?
???
?
???
只有竖向位移时
0???x? yvy ?????? xvxy ???????
A B
DC
dxxv??
dyyv??
v v
vxux ???? yvy ???? xvyuxy ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
v
u
xy
y
x
xy
y
x
0
0
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
yxA
0
0
? ? ? ? ? ?dA T?? ----几何方程 微分算子矩阵
§ 2.4 物理方程 ---应力与应变关系
由广义虎克定律
0??? zxyzz ???
对于平面应力问题
? ? ? ?? ??? D?
)(1 yxx E ???? ??
)(1 xyy E ???? ??
xy
xy
xy EG ?
??? )1(2 ???
)(1 2 yxx E ????? ???
)(1 2 xyy E ????? ???
xyxy
E ??
?? 2
1
1 2
?
??
其中,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
y
x
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
y
x
?
?
?
?
应力向量 应变向量
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
1
00
01
01
1 2 ?
?
?
?
E
D
弹性矩阵
对于平面应变问题
将平面应力问题的弹性矩阵中的 E换成 换成 。?
?,1 2?
E
?
?
?1
x?x?
y?
y?
yx?yx
?
xy?
xy?
§ 2.5 平衡方程 ---应力与外力关系
一,应力与体积力关系 -----平衡微分方程
体内微元体 边界微元体
? ? 0xF
dx
x?
y?
dyyyy ??? ??
yx?
xy?
dyyxyxy ??? ??
dxxyxyx ??? ??
dxxxx ??? ??
dy X
Y ?
?
???
?
?? dx
ydydxx
xy
xy
x
x )()(
????
0???? Xd x d ydxdy xyx ??
0??????? Xyx xyx ??
0??????? Yxy yxy ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
Y
X
xy
yx
xy
y
x
?
?
?
? ?? ? ? ? ? ?0?? FA ? ? ?
??
?
??
??
Y
XF ---体积力
§ 2.5 平衡方程 ---应力与外力关系
一,应力与体积力关系 -----平衡微分方程
体内微元体 边界微元体
? ? 0xF
021 ????? dxdyX d x d yds yxxx ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
xy
y
x
y
x
lm
ml
?
?
?
? ? ? ?? ? ? ?0??? ?L ? ?
??
?
??
?
?
???
y
x ---表面力
二,应力与表面力关系 -----应力边界条件
dx
x?
y?
yx?
xy?
x?
dy
X
Y
y? n
??? s i n,c o s ?? ml设
ld sdym d sdx ??,
ml yxxx ?? ???
ml yyxy ?? ???
