五,采用面积坐标时的单元分析
j
i
k
y
x
P
1,面积坐标
三角形单元中任一点 P 可用直角坐标 (x,y)表示。
连 P i,P j,P k,则可得三个小三角形。它们和
大三角形 ?123的面积比，记作
?Pij
?Pik ?Pjk
L i= ?P jk/ ?ijk
L j= ?P ik/ ?ijk
L k= ?P ij/ ?ijk
面积坐标
由于 Li+ Lj + Lk = 1，只有两个是独立的。
三角形中任一点 P 的 位置可用面积坐标 Li,Lj 确定。
当 P 点在 i结点时 Lj = Lk= 0,Li= 1。余类推。
可见面积坐标具有“形函数”的性质。
Li+ Lj + Lk=1
五,采用面积坐标时的单元分析
j
i
k
y
x
P
2,位移模式
?Pij
?Pik ?Pjk
由于面积坐标有形函数性质，因此根据
试凑法可得到形函数矩阵。
形函数 Ni=Li 面积坐标
如果结点 i 位移为 ui,vi，（ i=i,j,k）
则单元位移模式（位移场）为
u=? Niui ； v=? Nivi
面积坐标和直角坐标关系,
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1
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1111
Li+ Lj + Lk=1
x=Lixi+ Ljxj + Lkxk
y=Liyi+ Ljyj + Lkyk
后面的分析过程与结果与
前面广义坐标法一致,
§ 3.1 常应变三角形单元
§ 3 平面问题的有限元分析
一,离散化
? ? )4,3,2,1( ?
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单元结点位移向量
§ 3.2 矩形双线性单元
水坝
x
y
x
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1 2
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(x1,y1)
a a
b
b
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(x3,y3)(x4,y4)
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单元结点力向量
同理,有
)1)(1(41),(2 ???? ???N
)1)(1(41),(3 ???? ???N
)1)(1(41),(4 ???? ???N
二,单元分析
若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到
下面用试凑法确定形函数矩阵
1.单元位移
设单元内位移为
xyyxyxv
xyyxyxu
8765
4321
),(
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令 byax /,/ ?? ??
01???
01???
由形函数性质
1),( 111 ???N 0),(),(),( 441331221 ??? ?????? NNN
可设 )1)(1(),(1 ??? ?????N
14)1,1(1 ????? ?N
4/1??
)1)(1(41),(1 ??? ????N
正则 (自然 )
坐标系
)1)(1(41),(1 ??? ????N
或
)4,3,2,1()1)(1(41),( ???? iN iii ??????
思考题,这种单元是收敛的单元吗?为什么?
2.单元应力与应变
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同理,有
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)1)(1(41),(3 ???? ???N
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或
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思考题,这种单元是收敛的单元吗?为什么?
2.单元应力与应变
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2.单元应力与应变
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? ? ? ? ? ?? ?? ? eBBB ?421 ??
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应变矩阵
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应变矩阵
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应力矩阵
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对于平面应力问题
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应力矩阵
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对于平面应力问题
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从应变矩阵和应力矩阵可见,
单元内应力和应变沿 x方向是线性变化的,
沿 y向也是线性变化的,
这是由所设位移模式所决定的,
3.单元刚度矩阵和单元等效结点荷载
用虚位移原理或势能原理可推得
? ?? ? ? ? ? ?Eee FFk ???
? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? 1 1 1 1 ?? da b dBDBk Te
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kkkk
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kkkk
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对于平面应力问题
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三,算例
见教材 98页例题 5-2,99页例题 5-3
j
i
k
y
x
P
1,面积坐标
三角形单元中任一点 P 可用直角坐标 (x,y)表示。
连 P i,P j,P k,则可得三个小三角形。它们和
大三角形 ?123的面积比，记作
?Pij
?Pik ?Pjk
L i= ?P jk/ ?ijk
L j= ?P ik/ ?ijk
L k= ?P ij/ ?ijk
面积坐标
由于 Li+ Lj + Lk = 1，只有两个是独立的。
三角形中任一点 P 的 位置可用面积坐标 Li,Lj 确定。
当 P 点在 i结点时 Lj = Lk= 0,Li= 1。余类推。
可见面积坐标具有“形函数”的性质。
Li+ Lj + Lk=1
五,采用面积坐标时的单元分析
j
i
k
y
x
P
2,位移模式
?Pij
?Pik ?Pjk
由于面积坐标有形函数性质，因此根据
试凑法可得到形函数矩阵。
形函数 Ni=Li 面积坐标
如果结点 i 位移为 ui,vi，（ i=i,j,k）
则单元位移模式（位移场）为
u=? Niui ； v=? Nivi
面积坐标和直角坐标关系,
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1
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1
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kjkji xyyxa ?? kji yyb ?? kji xxc ???
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y)(21 jjjj cxbaL ????
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y)(21 iiii cxbaL ????
y)(21 jjjj cxbaL ????
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1111
Li+ Lj + Lk=1
x=Lixi+ Ljxj + Lkxk
y=Liyi+ Ljyj + Lkyk
后面的分析过程与结果与
前面广义坐标法一致,
§ 3.1 常应变三角形单元
§ 3 平面问题的有限元分析
一,离散化
? ? )4,3,2,1( ?
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单元结点位移向量
§ 3.2 矩形双线性单元
水坝
x
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单元结点力向量
同理,有
)1)(1(41),(2 ???? ???N
)1)(1(41),(3 ???? ???N
)1)(1(41),(4 ???? ???N
二,单元分析
若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到
下面用试凑法确定形函数矩阵
1.单元位移
设单元内位移为
xyyxyxv
xyyxyxu
8765
4321
),(
),(
????
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由形函数性质
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可设 )1)(1(),(1 ??? ?????N
14)1,1(1 ????? ?N
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正则 (自然 )
坐标系
)1)(1(41),(1 ??? ????N
或
)4,3,2,1()1)(1(41),( ???? iN iii ??????
思考题,这种单元是收敛的单元吗?为什么?
2.单元应力与应变
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同理,有
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或
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思考题,这种单元是收敛的单元吗?为什么?
2.单元应力与应变
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2.单元应力与应变
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应变矩阵
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应变矩阵
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应力矩阵
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应力矩阵
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从应变矩阵和应力矩阵可见,
单元内应力和应变沿 x方向是线性变化的,
沿 y向也是线性变化的,
这是由所设位移模式所决定的,
3.单元刚度矩阵和单元等效结点荷载
用虚位移原理或势能原理可推得
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三,算例
见教材 98页例题 5-2,99页例题 5-3
