dx
x?
y?
dyyyy ??? ??
yx?
xy?
dyyxyxy ??? ??
dxxyxyx ??? ??
dxxxx ??? ??
dy X
Y
§ 2.6 虚功方程、结构势能 表达式
外力虚功
? ? ? ? ? ? ? ??? ??? A TL Te dAdFdLdW ???
?
? ? ? ?dAT ????
dx dxx??
????? dydxdxdydW yyxxi ??????
微元体上外力在虚变形位移上作的虚功
dy
dyy??
?
?
???? ??xy
dxdydydx yxxy ???? ???
dAdAdA xyxyyyxx ????????? ???
? ? ? ?dAW A Ti ?? ????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dAdAdFdLd TAA TL T ?????
? ???
???
虚功方程, ie WW ?? ?
§ 2.6 虚功方程、结构势能 表达式
外力势能
? ? ? ? ? ? ? ??? ???? A TL TP dAdFdLdV )(*
?
应变能
? ? ? ?dAV A Te ?? ??21
ePP VVE ?? *
结构势能,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???? A TL TTA dAdFdLddA
?
??21
§ 3.1 常应变三角形单元
§ 3 平面问题的有限元分析
x
y
水坝
单元编码
结点编码
结点位移编码 整体编码
一,离散化
二,单元分析
x
y
),( ii yxi
),( jj yxj
),( kk yxk
单元结点编码 (局部编码 )按逆时针顺序排序
? ? ),,( kjivu
i
i
i ??
?
?
?
???
iu
iv
ku
kv
jv
ju
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
j
i
e
?
?
?
?
单元结点位移向量
x
y
),( ii yxi
),( jj yxj
),( kk yxk
iu
iv
ku
kv
jv
ju
二,单元分析
单元结点编码 (局部编码 )按逆时针顺序排序
? ? ),,( kjivu
i
i
i ??
?
?
?
???
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
j
i
e
?
?
?
?
单元结点位移向量
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
j
i
e
F
F
F
F
单元结点力向量
? ? ),,( kjiFFF
yi
xi
i ??
?
?
?
??
? ?
?
?
?
?
?
??
by
bx
b F
FF
bxF
byF
单元体积力向量
? ?
?
?
?
?
?
??
sy
sx
s F
FF 单元边界外力向量
x
y
),( ii yxi
),( jj yxj
),( kk yxk
iu
iv
ku
kv
jv
ju
1.单元位移
代入上式,得
yxyxv
yxyxu
654
321
),(
),(
???
???
???
???
bxF
byF
设单元内位移为
kkk
jjj
iii
uyxu
uyxu
uyxu
?
?
?
),(
),(
),(
在单元结点处有
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
321
321
321
???
???
???
???
???
???
解方程,得
D
D
D
D
D
D 3
3
2
2
1
1 ;; ??? ???
其中
??? 2
1
1
1
kk
jj
ii
yx
yx
yx
D
三角形面积
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
D ?1
kk
jj
ii
yu
yu
yu
D
1
1
1
2 ?
kk
jj
ii
ux
ux
ux
D
1
1
1
3 ?
1.单元位移
代入上式,得
yxyxv
yxyxu
654
321
),(
),(
???
???
???
???
设单元内位移为
kkk
jjj
iii
uyxu
uyxu
uyxu
?
?
?
),(
),(
),(
在单元结点处有
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
321
321
321
???
???
???
???
???
???
解方程,得
D
D
D
D
D
D 3
3
2
2
1
1 ;; ??? ???
其中
??? 2
1
1
1
kk
jj
ii
yx
yx
yx
D
三角形面积
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
D ?1
kk
jj
ii
yu
yu
yu
D
1
1
1
2 ?
kk
jj
ii
ux
ux
ux
D
1
1
1
3 ?
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
3
2
1
kkjjii
kkjjii
kkjjii
ucucuc
ububub
uauaua
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
其中
整理后,得
jki
kji
jkkji
xxc
ikjiyyb
yxyxa
??
?????
??
)(
1.单元位移
yucucucxubububuauaua
yxyxu
kkjjiikkjjiikkjjii )(2
1)(
2
1)(
2
1
),( 321
??
?
???
?
???
?
?
??? ???
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
3
2
1
kkjjii
kkjjii
kkjjii
ucucuc
ububub
uauaua
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
其中
整理后,得
jki
kji
jkkji
xxc
ikjiyyb
yxyxa
??
?????
??
)(
kkjjii uNuNuN ???
其中
),,()(2 1 kjiycxbaN iiii ????
同理
kkjjii vNvNvNyxv ???),(
? ?
e
k
k
j
j
i
i
kji
kji
v
u
v
u
v
u
NNN
NNN
v
u
d
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
000
1.单元位移
yucucucxubububuauaua
yxyxu
kkjjiikkjjiikkjjii )(2
1)(
2
1)(
2
1
),( 321
??
?
???
?
???
?
?
??? ???
kkjjii uNuNuN ???
其中
),,()(2 1 kjiycxbaN iiii ????
同理
kkjjii vNvNvNyxv ???),(
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?
? ?
e
k
j
i
kji NININI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?? ?eN ??
? ?N ---形函数矩阵 ),( yxNi ---形函数
? ?
e
k
k
j
j
i
i
kji
kji
v
u
v
u
v
u
NNN
NNN
v
u
d
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
000
2.形函数的性质
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?
? ?
e
k
j
i
kji NININI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?? ?eN ??
? ?N ---形函数矩阵 ),( yxNi ---形函数
若 0;1 ??????
kkjjii vuvuvu
),(),( yxNyxu i?则
i
j
k
1?iu①,
0),(),(;1),( ??? kkijjiiii yxNyxNyxN
②, 1),(),(),( ??? yxNyxNyxN
kji
若 1???
kji uuu
kji NNNyxu ???),(则
2.形函数的性质
若 0;1 ??????
kkjjii vuvuvu
),(),( yxNyxu i?则
i
j
k
1?iu①,
0),(),(;1),( ??? kkijjiiii yxNyxNyxN
②, 1),(),(),( ??? yxNyxNyxN
kji
若 1???
kji uuu
kji NNNyxu ???),(则
yxyxu 321),( ??? ???
yDDxDDDD 321 ???
kk
jj
ii
yx
yx
yx
D
1
1
1
?
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
D ?1
kk
jj
ii
yu
yu
yu
D
1
1
1
2 ?
kk
jj
ii
ux
ux
ux
D
1
1
1
3 ?
0; 321 ??? DDDD
1),( ?yxu
由此可知,所设位移可反应单元的刚体位移,
ij
i
ij
i
xx
xx
yy
yy
?
??
?
?
ii
k
k yxx
c
by ???? )(
以 i,j边为例：
单元边界上,形函数的值只与该边界的两个结点的
坐标有关,与另一结点坐标无关,
③,
2.形函数的性质
①, 0),(),(;1),( ???
kkijjiiii yxNyxNyxN
②, 1),(),(),( ??? yxNyxNyxN
kji i
j
k
x
y
i,j边的直线方程为
? ?])([2 1),( ii
k
k
kkkk yxxc
bcxbayxN ?????
??
? ?ikikk ycxba ???? 21 =常数 =0
ij
j
j xx
xxyxN
?
??),(
ij
j
i xx
xxyxN
?
??? 1),(
由此性质可知：单元间的位移是协调的。
在 i,j边上 i
j
k
2
1
kk
jjii
uN
uNuNyxu
?
??),(
3.解答的收敛性
随着单元的越划越小,解答趋于精确解,---收敛
得
? ? ? ? ? ?dA T??由几何方程
为了保证收敛,所设位移应满足如下条件,
位移模式应包含刚体位移和常应变状态,---完备条件①,
应保证相邻单元的位移协调, ---协调条件②,
条件 1是收敛的必要条件,
条件 1,2是收敛的充分条件,
常应变三角形单元是完备协调单元
4.单元的应力与应变
? ? ? ? ? ?? ?eT NA ?? ?
? ?? ?eB ??
其中
? ? ? ? ? ?NAB T? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
kji
kji
NNN
NNN
xy
y
x
000
000
//
/0
0/
应变矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
kji
kji
NNN
NNN
xy
y
x
000
000
//
/0
0/
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?INININAB kjiT?
? ? ? ? ? ?? ?kji BBB?
其中
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
r
r
r N
N
xy
y
x
B
0
0
//
/0
0/
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
rr
r
r
rr
r
r
bc
c
b
xNyN
yN
xN
0
0
2
1
//
/0
0/
得
? ? ? ? ? ?dA T??由几何方程
4.单元的应力与应变
? ? ? ? ? ?? ?eT NA ?? ?
? ?? ?eB ??
其中
? ? ? ? ? ?NAB T?应变矩阵
常数矩阵
单元内应变为常数
? ? ? ?? ??? D?
由物理方程
4.单元的应力与应变
其中
应力矩阵
? ?? ?? ?eBD ??
? ?? ?eS ??
? ? ? ?? ?BDS ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?kji BBBD?
? ? ? ? ? ?? ?kji SSS?
对于平面应力问题
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
0
0
2/)1(00
01
01
1
rr
r
r
r
bc
c
b
E
S
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
2/)1(2/)1(
)1(2
rr
rr
rr
bc
cb
cb
E
??
?
?
?
设单元结点发生虚位移
5.单元特性分析
? ? ? ?dAW A Ti ?? ????
? ?e??
单元内任一点虚位移为 ? ? ? ? ? ?eNd ??? ?
虚应变为 ? ? ? ? ? ?eB ???? ?
应力在虚应变上作的功为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dABDBA eTTT? ?? ???
? ? ? ?? ? ? ? ? ??? A eTeT dABDB ??? )(外力在虚位移上作的功为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???
?
????? L TsA TbeTee dSdFdAdFFW
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???
?
?????? L eTsA eTbeTe dSNFdANFF
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???
?
??L eTsTA bTe dSFNdAFNF )(
ei WW ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dsFNdAFNFdABDB
L s
T
A b
T
A
eeT ??? ???
?
?
? ?? ? ? ? ? ?Eee FFk ??? ---单元刚度方程
ei WW ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dsFNdAFNFdABDB
L s
T
A b
T
A
eeT ??? ???
?
?
? ?? ? ? ? ? ?Eee FFk ??? ---单元刚度方程
? ? ? ? ? ?? ??? A Te dABDBk
---单元刚度矩阵
? ? ? ?? ?BDB T??
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?kji
T
k
T
j
T
i
BBBD
B
B
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
? ? ? ? ? ?? ?sTrrs BDBk ??
? ? ? ? ? ?? ??? A Te dABDBk
---单元刚度矩阵
? ? ? ?? ?BDB T??
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?kji
T
k
T
j
T
i
BBBD
B
B
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
? ? ? ? ? ?? ?sTrrs BDBk ??
? ? ? ?? ? sTr
srsrsrsr
srsrsrsr BDB
bbcccbbc
bccbccbbEt ?
??
?
??
?
????
????
??? 2/)1(2/)1(
2/)1(2/)1(
)1(4 2 ???
???
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dsFNdAFNF L sTA bTE ?? ??
?
---单元等效结点荷载
单元刚度矩阵的性质：
1）对称性
2）奇异性
1.不需作坐标转换。
三,整体分析
? ? ? ?? ?? ? ee BDyx ?? ?),(
2.结构刚度矩阵的形成与杆系相同。
3.结构荷载列阵由单元等效结点荷载对号入座形成。
或由静力等效直接化成结点荷载
W
3/W
3/W3/W3/2ql 3/ql
l
q2/ql 2/ql
4.边界处理与矩阵位移法相同。
5.解方程求结点位移。
6.单元应力计算
四,算例
见教材 93页例题 5-1 作业,115页 5-1~5-5
x?
y?
dyyyy ??? ??
yx?
xy?
dyyxyxy ??? ??
dxxyxyx ??? ??
dxxxx ??? ??
dy X
Y
§ 2.6 虚功方程、结构势能 表达式
外力虚功
? ? ? ? ? ? ? ??? ??? A TL Te dAdFdLdW ???
?
? ? ? ?dAT ????
dx dxx??
????? dydxdxdydW yyxxi ??????
微元体上外力在虚变形位移上作的虚功
dy
dyy??
?
?
???? ??xy
dxdydydx yxxy ???? ???
dAdAdA xyxyyyxx ????????? ???
? ? ? ?dAW A Ti ?? ????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dAdAdFdLd TAA TL T ?????
? ???
???
虚功方程, ie WW ?? ?
§ 2.6 虚功方程、结构势能 表达式
外力势能
? ? ? ? ? ? ? ??? ???? A TL TP dAdFdLdV )(*
?
应变能
? ? ? ?dAV A Te ?? ??21
ePP VVE ?? *
结构势能,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???? A TL TTA dAdFdLddA
?
??21
§ 3.1 常应变三角形单元
§ 3 平面问题的有限元分析
x
y
水坝
单元编码
结点编码
结点位移编码 整体编码
一,离散化
二,单元分析
x
y
),( ii yxi
),( jj yxj
),( kk yxk
单元结点编码 (局部编码 )按逆时针顺序排序
? ? ),,( kjivu
i
i
i ??
?
?
?
???
iu
iv
ku
kv
jv
ju
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
j
i
e
?
?
?
?
单元结点位移向量
x
y
),( ii yxi
),( jj yxj
),( kk yxk
iu
iv
ku
kv
jv
ju
二,单元分析
单元结点编码 (局部编码 )按逆时针顺序排序
? ? ),,( kjivu
i
i
i ??
?
?
?
???
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
j
i
e
?
?
?
?
单元结点位移向量
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
j
i
e
F
F
F
F
单元结点力向量
? ? ),,( kjiFFF
yi
xi
i ??
?
?
?
??
? ?
?
?
?
?
?
??
by
bx
b F
FF
bxF
byF
单元体积力向量
? ?
?
?
?
?
?
??
sy
sx
s F
FF 单元边界外力向量
x
y
),( ii yxi
),( jj yxj
),( kk yxk
iu
iv
ku
kv
jv
ju
1.单元位移
代入上式,得
yxyxv
yxyxu
654
321
),(
),(
???
???
???
???
bxF
byF
设单元内位移为
kkk
jjj
iii
uyxu
uyxu
uyxu
?
?
?
),(
),(
),(
在单元结点处有
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
321
321
321
???
???
???
???
???
???
解方程,得
D
D
D
D
D
D 3
3
2
2
1
1 ;; ??? ???
其中
??? 2
1
1
1
kk
jj
ii
yx
yx
yx
D
三角形面积
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
D ?1
kk
jj
ii
yu
yu
yu
D
1
1
1
2 ?
kk
jj
ii
ux
ux
ux
D
1
1
1
3 ?
1.单元位移
代入上式,得
yxyxv
yxyxu
654
321
),(
),(
???
???
???
???
设单元内位移为
kkk
jjj
iii
uyxu
uyxu
uyxu
?
?
?
),(
),(
),(
在单元结点处有
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
321
321
321
???
???
???
???
???
???
解方程,得
D
D
D
D
D
D 3
3
2
2
1
1 ;; ??? ???
其中
??? 2
1
1
1
kk
jj
ii
yx
yx
yx
D
三角形面积
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
D ?1
kk
jj
ii
yu
yu
yu
D
1
1
1
2 ?
kk
jj
ii
ux
ux
ux
D
1
1
1
3 ?
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
3
2
1
kkjjii
kkjjii
kkjjii
ucucuc
ububub
uauaua
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
其中
整理后,得
jki
kji
jkkji
xxc
ikjiyyb
yxyxa
??
?????
??
)(
1.单元位移
yucucucxubububuauaua
yxyxu
kkjjiikkjjiikkjjii )(2
1)(
2
1)(
2
1
),( 321
??
?
???
?
???
?
?
??? ???
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
3
2
1
kkjjii
kkjjii
kkjjii
ucucuc
ububub
uauaua
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
其中
整理后,得
jki
kji
jkkji
xxc
ikjiyyb
yxyxa
??
?????
??
)(
kkjjii uNuNuN ???
其中
),,()(2 1 kjiycxbaN iiii ????
同理
kkjjii vNvNvNyxv ???),(
? ?
e
k
k
j
j
i
i
kji
kji
v
u
v
u
v
u
NNN
NNN
v
u
d
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
000
1.单元位移
yucucucxubububuauaua
yxyxu
kkjjiikkjjiikkjjii )(2
1)(
2
1)(
2
1
),( 321
??
?
???
?
???
?
?
??? ???
kkjjii uNuNuN ???
其中
),,()(2 1 kjiycxbaN iiii ????
同理
kkjjii vNvNvNyxv ???),(
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?
? ?
e
k
j
i
kji NININI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?? ?eN ??
? ?N ---形函数矩阵 ),( yxNi ---形函数
? ?
e
k
k
j
j
i
i
kji
kji
v
u
v
u
v
u
NNN
NNN
v
u
d
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
000
2.形函数的性质
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?
? ?
e
k
j
i
kji NININI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?? ?eN ??
? ?N ---形函数矩阵 ),( yxNi ---形函数
若 0;1 ??????
kkjjii vuvuvu
),(),( yxNyxu i?则
i
j
k
1?iu①,
0),(),(;1),( ??? kkijjiiii yxNyxNyxN
②, 1),(),(),( ??? yxNyxNyxN
kji
若 1???
kji uuu
kji NNNyxu ???),(则
2.形函数的性质
若 0;1 ??????
kkjjii vuvuvu
),(),( yxNyxu i?则
i
j
k
1?iu①,
0),(),(;1),( ??? kkijjiiii yxNyxNyxN
②, 1),(),(),( ??? yxNyxNyxN
kji
若 1???
kji uuu
kji NNNyxu ???),(则
yxyxu 321),( ??? ???
yDDxDDDD 321 ???
kk
jj
ii
yx
yx
yx
D
1
1
1
?
kkk
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
D ?1
kk
jj
ii
yu
yu
yu
D
1
1
1
2 ?
kk
jj
ii
ux
ux
ux
D
1
1
1
3 ?
0; 321 ??? DDDD
1),( ?yxu
由此可知,所设位移可反应单元的刚体位移,
ij
i
ij
i
xx
xx
yy
yy
?
??
?
?
ii
k
k yxx
c
by ???? )(
以 i,j边为例：
单元边界上,形函数的值只与该边界的两个结点的
坐标有关,与另一结点坐标无关,
③,
2.形函数的性质
①, 0),(),(;1),( ???
kkijjiiii yxNyxNyxN
②, 1),(),(),( ??? yxNyxNyxN
kji i
j
k
x
y
i,j边的直线方程为
? ?])([2 1),( ii
k
k
kkkk yxxc
bcxbayxN ?????
??
? ?ikikk ycxba ???? 21 =常数 =0
ij
j
j xx
xxyxN
?
??),(
ij
j
i xx
xxyxN
?
??? 1),(
由此性质可知：单元间的位移是协调的。
在 i,j边上 i
j
k
2
1
kk
jjii
uN
uNuNyxu
?
??),(
3.解答的收敛性
随着单元的越划越小,解答趋于精确解,---收敛
得
? ? ? ? ? ?dA T??由几何方程
为了保证收敛,所设位移应满足如下条件,
位移模式应包含刚体位移和常应变状态,---完备条件①,
应保证相邻单元的位移协调, ---协调条件②,
条件 1是收敛的必要条件,
条件 1,2是收敛的充分条件,
常应变三角形单元是完备协调单元
4.单元的应力与应变
? ? ? ? ? ?? ?eT NA ?? ?
? ?? ?eB ??
其中
? ? ? ? ? ?NAB T? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
kji
kji
NNN
NNN
xy
y
x
000
000
//
/0
0/
应变矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
kji
kji
NNN
NNN
xy
y
x
000
000
//
/0
0/
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?INININAB kjiT?
? ? ? ? ? ?? ?kji BBB?
其中
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
r
r
r N
N
xy
y
x
B
0
0
//
/0
0/
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
rr
r
r
rr
r
r
bc
c
b
xNyN
yN
xN
0
0
2
1
//
/0
0/
得
? ? ? ? ? ?dA T??由几何方程
4.单元的应力与应变
? ? ? ? ? ?? ?eT NA ?? ?
? ?? ?eB ??
其中
? ? ? ? ? ?NAB T?应变矩阵
常数矩阵
单元内应变为常数
? ? ? ?? ??? D?
由物理方程
4.单元的应力与应变
其中
应力矩阵
? ?? ?? ?eBD ??
? ?? ?eS ??
? ? ? ?? ?BDS ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?kji BBBD?
? ? ? ? ? ?? ?kji SSS?
对于平面应力问题
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
0
0
2/)1(00
01
01
1
rr
r
r
r
bc
c
b
E
S
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
2/)1(2/)1(
)1(2
rr
rr
rr
bc
cb
cb
E
??
?
?
?
设单元结点发生虚位移
5.单元特性分析
? ? ? ?dAW A Ti ?? ????
? ?e??
单元内任一点虚位移为 ? ? ? ? ? ?eNd ??? ?
虚应变为 ? ? ? ? ? ?eB ???? ?
应力在虚应变上作的功为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dABDBA eTTT? ?? ???
? ? ? ?? ? ? ? ? ??? A eTeT dABDB ??? )(外力在虚位移上作的功为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???
?
????? L TsA TbeTee dSdFdAdFFW
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???
?
?????? L eTsA eTbeTe dSNFdANFF
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???
?
??L eTsTA bTe dSFNdAFNF )(
ei WW ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dsFNdAFNFdABDB
L s
T
A b
T
A
eeT ??? ???
?
?
? ?? ? ? ? ? ?Eee FFk ??? ---单元刚度方程
ei WW ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dsFNdAFNFdABDB
L s
T
A b
T
A
eeT ??? ???
?
?
? ?? ? ? ? ? ?Eee FFk ??? ---单元刚度方程
? ? ? ? ? ?? ??? A Te dABDBk
---单元刚度矩阵
? ? ? ?? ?BDB T??
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?kji
T
k
T
j
T
i
BBBD
B
B
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
? ? ? ? ? ?? ?sTrrs BDBk ??
? ? ? ? ? ?? ??? A Te dABDBk
---单元刚度矩阵
? ? ? ?? ?BDB T??
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?kji
T
k
T
j
T
i
BBBD
B
B
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
? ? ? ? ? ?? ?sTrrs BDBk ??
? ? ? ?? ? sTr
srsrsrsr
srsrsrsr BDB
bbcccbbc
bccbccbbEt ?
??
?
??
?
????
????
??? 2/)1(2/)1(
2/)1(2/)1(
)1(4 2 ???
???
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dsFNdAFNF L sTA bTE ?? ??
?
---单元等效结点荷载
单元刚度矩阵的性质：
1）对称性
2）奇异性
1.不需作坐标转换。
三,整体分析
? ? ? ?? ?? ? ee BDyx ?? ?),(
2.结构刚度矩阵的形成与杆系相同。
3.结构荷载列阵由单元等效结点荷载对号入座形成。
或由静力等效直接化成结点荷载
W
3/W
3/W3/W3/2ql 3/ql
l
q2/ql 2/ql
4.边界处理与矩阵位移法相同。
5.解方程求结点位移。
6.单元应力计算
四,算例
见教材 93页例题 5-1 作业,115页 5-1~5-5
