第二章 平面汇交力系与力偶系 引 言 力系分为：平面力系、空间力系 平面力系 1、平面特殊力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 2、平面任意力系 ④平面一般力系 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。 例：起重机的挂钩。 §2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、合成的几何法 1.两个共点力的合成 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 由余弦定理： 合力方向由正弦定理： 2. 任意个共点力的合成 为力多边形  即： 即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是： 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零  [例1] 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。 求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。  ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 ∵BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与FAC和外力 P构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 一、力在坐标轴上的投影 力 投影 X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosb 投影 力 二、合力投影定理 由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为： 由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为： / 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 合力的大小： 方向： 作用点：为该力系的汇交点 三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 为平衡的充要条件，也叫平衡方程 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。 求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。  ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 ③列平衡方程 ④解平衡方程 另一种列方程的方法  （坐标轴的方向变化可以使计算变得简单）  解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊或特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。 §2-3 平面力对点之矩的概念及计算 力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向 一、力对点之矩（力矩） 说明：① 是代数量。 ② F↑,d↑转动效应明显。 ③是影响转动的独立因素。 当F=0或d=0时，  =0。 ④　国际单位Nm，工程单位kgfm ⑤=2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。 如果以 表示由点O到点B的矢量，由矢量积定义， 的大小 就是三角形OAB的面积的两倍。由此可见，此矢量积的模 就等于力F对点O的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。  二、合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和 [证] 为矩心O到汇交点A的矢径    由于每个力都有与点O共面，上式各矢积平行，因此上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点O之矩，于是证得合力矩定理。  三、力矩与合力矩的解析表达式 如图所示，已知力F，作用点A（x，y）及其夹角 。求力F对坐标原点O之矩，可按合力矩定理，通过其分力Fx与Fy对点O之矩而得到，即 或 上式为平面内力矩的解析表达式，X、Y为力F在x、y轴的投影（注意正负号） 对平面汇交力系合力R对坐标原点之矩的解析表达式为 [例4] 已知：如图 F、Q、l, 求： 和 解：①用力对点之矩定义 ②应用合力矩定理 §2-4 平面力偶理论 一、力偶与力偶矩 力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 ①两个同向平行力的合力 大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理 ②两个反向平行力的合力 大小：R=Q-P 方向：平行于Q、P且与较大的相同 作用点：C处 （推导同上） 力偶无合力 R=F'-F=0 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。  由于O点是任取的  说明：① m是代数量，有+、-； ②F、 d 都不独立，只有力偶矩 是独立量； ③m的值m=±2⊿ABC ； ④单位：Nm 性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面上作用一力偶(F,F')现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q'),再将Q,F合成R，Q',F'合成R'，得到新力偶(R,R'),将R,R'移到A',B'点，则(R,R')，取代了原力偶(F，F' ) 并与原力偶等效。 比较(F,F')和(R,R')可得 m(F,F')=2△ABD=m(R,R') =2 △ABC 即△ABD= △ABC， 且它们转向相同。 由上述证明可得下列两个推论： ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。 ②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。 平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶  结论: 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。 即 [例5] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为 由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。