第四章 空间力系 若力系中各力的作用线在空间任意分布，则该力系称为空间任意力系，简称空间力系。  本章研究的主要内容 空间力系 分解 空间力偶系 空间汇交力系 简化 导出平衡方程。 应用: 重心、平行力系中心 §4–1空间汇交力系 平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？  对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法又如何？ 1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法    间接（二次）投影法 2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理 合力的大小 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即可由上式得： 称为空间汇交力系的平衡方程。 §4–2 力对点的矩和力对轴的矩 1、? 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素 (1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用 力对O点的矩在三个坐标轴的投影 2.力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。 3、? 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐标 x, y, z 求：力F对 x, y, z轴的矩  比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式： 即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 §4–3 空间力偶 1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。 力偶矩 2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶矩 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。 (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。 定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。 3．力偶系的合成与平衡条件 则得: 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。 合力偶矩矢的大小和方向余弦 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即 简写： 称为空间力偶系的平衡方程。 §4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 简化过程：将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。 结论 空间 一般力系 向一点O 简化 作用于简化中心O 一个力偶M 主矢与主矩 ——原力系的主矢 主矢与简化点O位置无关 MO——称为原力系对O点的主矩 主矩与简化点O位置有关 建立直角坐标系Oxyz，主矢F’R在各坐轴上的投影分别为： 主矩MO在各坐标轴上的投影分别为： 2．? 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1）???合力 当 　　 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当 　　　时， 最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为  合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。 （2）合力偶 当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。 （3）力螺旋 力螺旋中心轴过简化中心 力螺旋中心轴距简化中心为  当 时，空间力系为平衡力系 §4–5 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。 即： 则有： 例4－1已知：T1=200N, T2=100N,皮带轮直径 D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径D=20mm，压力角α=200 求： 力P大小及A、B处的反力  解： 分析： 传动轴AB匀速转动时，可以认为处于平衡状态。 以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。  例 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图，列平衡方程 结果： 已知：F、P及各尺寸求：杆内力 解：研究对象，长方板 受力图如图 列平衡方程 已知：P=1000N ,各杆重不计。 求：三根杆所受力。  解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。 解得 （压） （拉） §4 －6 重心 · 平行力系中心 一、重心的概念 物体的重量（力）： 物体每一微小部分地球引力的合力。 物体每一微小部分地球引力 ：构成一汇交力系， 汇交点为地球中心。近似为一空间平行力系。 重心：物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点C 。 空间平行力系的中心——几何点 重心C —— 唯一性 二、重心位置的确定 1. 一般计算公式 设合力P的作用点位置坐标为：xC、yC、zC ，由合力矩定理得： 重心坐标的一般计算公式，P为物体的总重量。 设： 其中 分别为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。则有： 物体质心坐标的一般计算公式。 可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。 重心与质心的区别 重心：仅在重力场中存在。 质心：任何地方都存在。 2. 均质物体的重心坐标积分计算 设物体内一点容重 —— 单位体积的重量（N/m3）， 则有： ΔV、V 分别为微元体和物体的体积。 均质物体的重心位于物体的几何形心。 上式可表示为： 对平面图形，上式变为： 注：适用于几何形状规则的物体 3. 均质组合形状物体的重心计算 （1）对称性法 重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。 （2）组合法（叠加法） 求图示平面图形的重心。 （3）负面积法 小问题:如何设计不倒翁？ 三、 重心确定的实验方法 适用于非均质、形状不规则等一般物体。 （1）悬挂法 注：适用于小物体。 （2） 称重法 有 整理后，得 若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？ 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。 求：其重心坐标 解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可。用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为 已知：等厚均质偏心块的 求：其重心坐标。 解：用负面积法， 设大半圆面积为A1，小半圆（半径为r+b）面积为A2 , 小圆（半径为r）面积为A3，为负值。 由对称性，有