动量矩定理 习 题 例1：单摆将质量为m的小球用长为的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴O在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长，摆线由偏角时从静止开始释放，求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。其速度为且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为  又 ，则外力对轴O之矩为  注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定 应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有  即  (a) 当单摆做微幅摆动时，，并令 则式（a）成为  （b） 解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时，，，得单摆微幅摆动时的运动方程为  ? 由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为  例2：双轴传动系统中，传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为与，两齿轮的节圆半径分别为与，齿数分别为与，在轴Ⅰ上作用有主动力矩，在轴Ⅱ上作用有阻力矩，如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。 解：轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为  （a）  (b) 又  （c） 以上三式联立求解，得  例3：质量为m半径为R的均质圆轮置放在倾角为的斜面上，在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为、，不计滚动摩阻。试分析轮的运动。 解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有  （a）  (b)  (c) 由式（b）得  (d) 情况一： 设接触处绝对光滑。则F=0,由式（a）、(c)得   情况二：设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。F为静滑动摩擦力。  例4：均质滑轮A、B的质量为 与 ，半径分别为 与 ，物体C的质量为 ； 求：重物的加速度，系统中各绳的张力，轴承O的约束反力 解：设个物体的数度如图示，且： 对系统进行受力分析如图 则整个系统对O点的动量矩为： 由动量矩定理得： 取分离体C： 取分离体B： 取分离体C ： 联合上述各式可求得各未知量 例4．在提升设备中，一根绳子跨过滑轮吊一质量为的物体，滑轮质量为，并假设质量分布在圆周上。滑轮半径为r，由电动机传递的力矩为M，绳质量不计。求挂在绳上的重物的加速度。 解：取系统为研究对象。其对转轴的动量矩为  即