第 9章 齿轮传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
9-1 齿轮机构的应用及分类
9-2 齿廓啮合基本定律
9-3 渐开线及渐开线齿轮
9-4 渐开线标准齿轮的基本尺寸
9-5 直齿轮的啮合传动
9-6 轮齿切削加工原理
9-7 根切、最小齿数和变位齿轮
9-8 齿轮的材料
9-9 轮齿的失效形式及计算准则
9-10 轮齿表面接触疲劳强度计算
9-11 轮齿弯曲疲劳强度计算
9-12 斜齿圆柱齿轮传动
9-13 斜齿轮传动强度计算
9-14 圆锥齿轮传动
9-15 直齿 圆锥齿轮传动 强度计算
9-16 齿轮的构造
基本要求,
? 了解齿轮机构的类型及功用、齿廓啮合基本定律
? 掌握渐开线的性质及渐开线齿廓的特点
? 掌握渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数及几何尺寸计算
? 理解直齿轮正确啮合条件、重合度
? 了解范成法切齿的基本原理和根切现象
? 掌握齿轮失效形式
? 掌握直齿轮强度计算方法
? 掌握斜齿轮与直齿轮的异同，理解当量齿数
? 了解斜齿轮、圆锥齿轮传动（齿廓曲面的形成和啮合特点、
基本参数、几何尺寸计算和当量齿数、强度计算）
机械设计基础 —— 齿轮传动
9-1 齿轮机构的应用及分类
一,应用
二,特点
三,分类
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、应用
? 齿轮机构是现代机械中应用最广泛的一种传动机构
? 用来传递空间任意两轴的运动和动力
应用实例：
? 机械手
? 汽车变速箱
? 摄像机
? 游乐设施
机械设计基础 —— 齿轮传动
二、特点
? 可用来传递空间任意两轴之间的运动和动力
? 传动比准确, 平稳
? 结构紧凑, 适用圆周速度和功率范围广
? 机械效率高
? 使用寿命长, 工作安全可靠
机械设计基础 —— 齿轮传动
三、分类
按齿轮传动的工作情况分：
? 开式齿轮传动 —— 低速, 易磨损
? 闭式齿轮传动 —— 重要的传动
按传动时两轮轴的相对位置分：
? 平面齿轮机构,（ 平行轴间传动 ）
? 直齿轮, 斜齿轮, 人字齿
? 外啮合, 内啮合, 齿轮与齿条传动
? 空间齿轮传动：
? (相交轴间传动 ),圆锥齿轮,
? (交错轴间传动 ),交错轴斜齿轮机构, 蜗杆传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
一般分类
平面
机械设计基础 —— 齿轮传动
直齿轮
平行轴斜齿轮传动
人字齿
外啮合齿轮传动
内啮合齿轮传动
齿轮与齿条传动
圆锥齿轮传动
交错轴斜齿轮传动
蜗轮蜗杆传动
齿
轮
机
构
空间
1 平面齿轮机构 ( 二轴平行 )
? 直齿圆柱齿轮机构
? 外啮合传动
? 内啮合传动
? 齿轮齿条传动
外啮合传动
二轮转向相反
机械设计基础 —— 齿轮传动
外齿轮
内啮合传动
二轮转向相同
齿轮齿条传动
转动 ?移动
内齿轮
外齿轮
齿条
外齿轮
斜齿圆柱齿轮机构
? 外啮合传动
? 内啮合传动
? 齿轮齿条传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
人字齿轮传动
? 外啮合传动
? 内啮合传动
? 齿轮齿条传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
2 空间齿轮机构
? 圆锥齿轮传动
? 二轴相交 ? 外啮合传动? 二轮转向相反
机械设计基础 —— 齿轮传动
斜齿圆锥齿轮传动直齿圆锥齿轮传动
交错轴斜齿轮传动（螺旋齿轮传动）
? 二轴交错
机械设计基础 —— 齿轮传动
交错轴斜齿轮传动
蜗杆传动
? 二轴交错，通常交 90o
机械设计基础 —— 齿轮传动
蜗杆传动
9-2 齿廓啮合基本定律
一,齿廓啮合基本定律
二,节点、节圆
三,齿廓曲线的确定
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、齿廓啮合基本定律
对齿廓曲线的要求：
? 直观上 —— 不卡不离
? 几何学上 —— 处处相切接触
? 运动学上 —— 法线上没有相对运动
根据三心定理，二齿轮啮合之速度瞬
心Ｐ
机械设计基础 —— 齿轮传动
齿廓啮合基本定律：
? 互相啮合的一对齿轮，在任一位置时
的传动比，都与其连心线被其啮合点
的公法线所分两线段成反比
1
2
O1
O2
C2
1?
2?
C1
n
n
P
vK1
vK2
KvK2K1
PO
POi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
二、节点、节圆
定传动比条件：
若两轮作定传动比传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
则 P点为定点，即不论两齿轮轮廓在何
位置接触，过接触点所作的两齿廓公法
线与连心线相交于定点 P
定点 P—— 节点
节圆 (d1’,d2’),过节点所作的两圆
思考：
若变传动比 (如椭圆齿轮 )，情况如何？
1
2
O1
O2
C2
1?
2?
C1
n
n
P
vK1
vK2
KvK2K1
.c on s tPO POi ???
1
2
2
112
?
?
节圆
节圆
三、齿廓曲线的确定
? 能满足定传动比 (或某种变传动
比规律 )要求的齿廓曲线，理论
上有 无穷多 个
机械设计基础 —— 齿轮传动
?理论上 无穷多共轭曲线,能满足定
传动比 (或某种变传动比规律 )要求的
齿廓曲线
?实际选用,须考虑设计,制造,安
装,使用 等 因素
?常用, 渐开线、摆线、圆弧线,抛
物线等
?本章主要研究 渐开线 齿廓的齿轮
1
2
O1
O2
C2
1?
2?
C1
n
n
P
vK1
vK2
KvK2K1
节圆
节圆
9-3 渐开线及渐开线齿轮
一,渐开线的形成
二,渐开线的性质
三,渐开线齿轮的啮合特性
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、渐开线的形成
? 当一直线在一圆周上作纯滚动时，此直线上任一点的轨
迹 ---该圆的 渐开线
? 该圆称 基圆 (rb)；该直线称为 发生线
机械设计基础 —— 齿轮传动
渐开 线
发生线
基圆
F
向径
压力角 aK
aK
?K
K
基圆半径 rb
vK
rK
rb 展角基圆
二、渐开线的性质
1) 发生线沿基圆滚过的长度等于
基圆上被滚过的弧长,
机械设计基础 —— 齿轮传动
2) 渐开线上任一点法线恒切于基圆
3) 切点是渐开线上 K点的曲率中心，
KB为曲率半径 ; 越接近基圆，曲率
半径越小，反之越大
4) 基圆内无渐开线
B
K
A
O
kr
br
ka
ka
ABKB ?
k
b
k r
r
OK
OB ??ac os
压力角 ak为受力方向与
速度方向的所夹的锐角
渐开线的性质 (续 )
5) 渐开线的形状决于基圆半径
机械设计基础 —— 齿轮传动
?圆半径越大，渐开线越平展
（综合曲率半径越大）
?直线也是渐开线
C1
A1
B1 ?i
C2
A2
?i
O2rb2
B2
O 3
8
C3
O1
rb1
K
推论
? 同一基圆上渐开线形状相同
? 同一基圆所生成的同向渐开
线为法向等距曲线
机械设计基础 —— 齿轮传动
?两 反向渐开线公法线处处相等
?(等于两渐开线间的基圆弧长 )
O
C1
B
C3
A1
B1A
2
B2N
1 N2
K1
K2
2211 KBKB ?
？
2211 BABA ?
？
三、渐开线齿轮的啮合特性
渐开线齿轮符合齿廓啮合基本定
律，即能保证定传动比传动
?由齿廓啮合基本定律知
机械设计基础 —— 齿轮传动
rb2
O2
?1
?2
N2
C２
C１
O1
rb1
K
P
K’
.''
1
2
1
2
1
2
2
1
12 c on s tr
r
r
r
PO
POi
b
b ?????
?
?
N1
? 由渐开线性质知，
? 啮合点公法线与二基圆内公
切线重合
? 二基圆为定圆,N1N2为定直
线，则节点 P为定点
PO
POi
1
2
2
112 ??
?
?
9-4 渐开线标准齿轮的基本尺寸
一,外齿轮
二,内齿轮
三,齿条
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、外齿轮
1 各部分名称和符号
2 基本参数
3 几何尺寸
4 例题
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 各部分名称和符号
?基 圆 (db,rb),
产生渐开线的圆
?齿顶圆 da(ra)：
连接齿轮各齿顶的圆
?齿根圆 df(rf):
齿槽底部连接的圆
?齿厚 si:
在 di圆周上,一个轮齿左右
两侧齿廓间的弧线长
?齿槽宽 ei:
在 di圆周上,齿间的弧线长
?齿距 pi,
pi=si+ei
机械设计基础 —— 齿轮传动
?分度圆 d (r):
设计齿轮的基准圆
分度圆上,p=s+e
?齿顶高 ha：
?齿根高 hf：
?齿全高 h=ha+hf O
齿间
(齿槽 )
齿 z
sieie s p
B
pi
2 基本参数
?齿数, z
?模数,m
?d=zp d=zp/?
令 m=p/? 则
d=zm
?压力角 a, 分度圆压力角 的 简称
机械设计基础 —— 齿轮传动
标准压力角,a＝ 20o(人为规定 )
少数场合有 14.5o,15o,22.5o,25o
O
齿间
(齿槽 )
齿 z
e s p
B
pb
pn
a
N
aa co sco s mzdd b ?? 基本参数? ? ?
????????????? ddrr bb a r c co sa r c co s ＝a
不同模数齿轮尺寸比较（放大）
?模数 m,是齿轮计算
的基本参数，也为轮
齿大小的标志
?人为地规定一些特定
模数值,称标准模数
?如, 1,1.25,1.5,2、
2.5,3,¨¨
m 愈大，轮齿愈厚，
抗弯能力愈大
它是轮齿抗弯能力的
重要标志
机械设计基础 —— 齿轮传动
m=4 z=16
m=2 z=16
m=1 z=16
压力角 a
?同一齿廓的不同半径处，压
力角不同
?分度圆：
?齿顶圆：
?基圆：
机械设计基础 —— 齿轮传动
rbO
A
ri
K
B
B1
K1
r1
?
Kv
F
ai
ai
a1
a1
? 轮齿上，基圆压力角等于零
? 齿顶圆上压力角最大
? 分度圆上压力角为标准值
? 分度圆 (定义 ),模数和压力角均为
标准值的圆
k
b
k r
r
OK
OB ??ac os
i
bi
r
r?aco s
rrb /co s ?a
aba rr /co s ?a
1?? bbb rr /c o s a
3 几何尺寸
分度圆直径 d,
齿顶高 ha：
齿顶高系数 ha*:
齿根高 hf,
顶隙系数 c*:
齿全高 h：
齿顶圆直径 da:
齿根圆直径 df:
基圆直径 db,
齿距 p：
齿厚 s与齿间 e:
基圆齿厚 sb：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 标准齿轮参数,
O
齿间
(齿槽 )
齿 z
sieie s p
B
pb
**,,,,chmz aa
mzd ?
mhh aa *?
0.1* ?ah
mchh af )( ** ??
25.0* ?c
fa hhh ??
mhzhdd aaa )2(2 *????
mchzhdd aff )22(2 ** ?????
aa c o sc o s mzdd b ??
mp ??
2/mes ???
aa? c o sc o s pm ??
zmzzdp bb /co s/ a?? ??
标准系数
ha=ha* m
hf =（ ha*+ c*） m
?齿顶高系数 ha*
?顶隙系数 c*
?正常齿,m?1 mm,
ha*=1,c*=0.25
?m<1 mm,
ha*=1,c*=0.35
?短齿,ha*=0.8,c*=0.3
机械设计基础 —— 齿轮传动
O
e s p
B
ha
hf
c*m
d? 标准齿轮,m,a,ha*,c*
等于标准数值,s=e
标准中心距
? 标准齿轮,
m,a,ha*,c*等于标准数值,s = e = ?m/2
? 标准齿轮 标准安装,无侧隙、标准顶隙
? 标准中心距：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 标准齿轮标准安装时：
? 即 r’1 = r1 r’2 = r2
? 节圆与分度圆重合，此时啮合角等
于压力角,a’ =a
21 fa rcra ??? 2/)( 2121 zzmrr ????
''' 21 rra ??
aa ?'
?1
O1
N1
N2
?2
O2
a’=a
c*m
例题 1
?已知, 法向距离 (即公法线长度 )分别为,
W3 = 61.84mm,W2 = 37.56mm,
m=8mm, z = 24； ha*=1;c*=0.25
?求,a,pb,sb,db
机械设计基础 —— 齿轮传动
解,
A’ D’ B’ C’O
W3
W2
mm
WWBCCBp b
28.2456.3784.61
'' 23
???
????
mm
pWBDDBs be
28.1328.2456.37
'' 2
???
????
A D B C
mmpzd bb 6.1 8 514.3 28.2424 ????? ?
9 6 7.0)248/(6.1 8 5/c o s ???? dd ba ?? 15a
rb
例题 2
?已知,一渐开线直齿圆柱齿轮，用卡尺测量出齿顶圆直径
da=208mm,齿根圆直径 df=172mm,数得齿数 z=24。
?求,该齿轮的模数 m,齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*
机械设计基础 —— 齿轮传动
解,
mmmhzd aa 208)2( * ???
mmmchzd af 1 7 2)22( ** ????
25.0,11 ** ??? chmmm a
35.0,11 ** ??? chmmm a
3.0,8.0 ** ?? ch a
正常齿,
短齿,
? ??
?
?
?
?
?
?
25.0
1
8
*
*
c
h
mmm
a
例题 3
?已知, 法向距离（即公法线长度）分别为,W3 = 61.84mm,
W2 = 37.56mm,da=208mm,df=172mm,z = 24
?求, m,a,ha*,c*,pb,sb
机械设计基础 —— 齿轮传动
解,
自己思考 !!
rb
A’ D’ B’ C’O
W3
W2
A D B C
二、内齿轮
特点：
? 内齿轮的齿廓内凹，
其齿厚和槽宽分别对
应于外齿轮的槽宽与
齿厚
? 齿顶圆小于分度圆，
齿根圆大于分度圆
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 其它尺寸同外齿轮
aa hdd 2?? ff hdd 2??
N
a
es p
2
mes ??? mhh aa *? mchh af )( ** ?? aa? c o sc o s pmp b ??
三、齿条
特点：
? 中线为分度线
? 齿廓为直线，齿廓上
各点法线平行，各点
速度相同
? 各点压力角相等，等
于齿廓斜角 —— 齿形
角，标准值为 20°
? 同侧齿廓平行，各处
齿距相等,p=?m
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 其它尺寸同外齿轮
e s
h a
h f
a
a
B
p
p
p
中线
2
mes ???
mhh aa *? mchh af )( ** ??
aa? c o sc o s pmp b ??
9-5 渐开线直齿轮的啮合传动
一,正确啮合条件
二,渐开线齿轮的可分性
三,重合度
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、正确啮合条件
?正确啮合条件,pn1=pn2
?若 pn1≠pn2，情况如何？
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 正确啮合条件：
? 两轮的模数和压力角分别相等
? 一对齿轮的传动比：
N2 P
N1
O1
O2
1?
2?
21 nn pp ?
?m1cosa1 = ?m2cosa2
??
?
??
??
aaa 21
21 mmm
21 bb pp ?
1
2
1
2
1
2
'
1
'
2
2
1
2
1
12 z
z
d
d
d
d
d
d
n
ni
d
b ??????
?
?
两轮法向齿距不等时
?两轮法向齿距不等时（ pn1≠pn2 ），轮齿发生干
涉，两轮不能正确啮合传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 两轮法向齿距相等时（ pn1=pn2 ），两轮能正确啮合传动
二、渐开线齿轮的可分性
? 中心距变化不影响传动比
机械原理 —— 齿轮机构及其设计
r’1
r’2
rb2
O2
?1
?2
N2
C２
C１P
O1
rb1
N1
K
rb2
O2
?1
?2
N2
C２
C１P
O1
rb1
N1
K
?a
r’1
r’2
CrrrrPO POi
b
b ????
?
??
1
2
1
2
1
2
2
1
12 '
'
三、重合度
1 渐开线齿廓传动平稳性
? 啮合线, 啮合点的轨迹 N1N2
? 啮合点的公法线,N1N2
? 二基圆内公切线,N1N2
? 接触点正压力方向,N1N2
? 基圆的内公切线 N1N2为 (理论 )
啮合线
? 啮合点均在啮合线 N1N2上
机械设计基础 —— 齿轮传动
rb2
O2
?1
?2
N2
O1
rb1
P
N1
K
K’
四线合一
2 一对齿轮的啮合过程
? 啮合线 N1N2
? 理论啮合线段, N1N2(啮合极限点 )
? 开始啮合时，主动轮的齿根与从动
轮的齿顶接触，逐渐下移
? 主动轮,齿根 ?齿顶
? 从动轮,齿顶 ?齿根
? 脱离啮合时，主动轮齿顶与从动轮
的齿根接触
? 开始啮合点,从动轮的齿顶圆与啮
合线 N1N2的交点 B2
? 终止啮合点,主动轮的齿顶圆与啮
合线 N1N2的交点 B1
? 实际啮合线段, B1B2
? 齿顶圆加大,B2,B1就趋近于 N1,N2
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 齿廓实际工作段
rb2
O2
?1
?2
N2
O1
rb
1
P
N1
ra1
ra2
B1
B2
3 重合度
?工程要求,齿轮有可能在啮合
线上两点同时接触
?几何条件, B1B2 > pb
?重合度,
机械设计基础 —— 齿轮传动
O1
O2
?1
?2
N2
N1B2
B1 K
aa2
a’ ra2
aa1ra1
a’ rb1
rb2
P
? 连续传动条件, ? > 1
? 重合度愈大，表明同时参与啮合
的轮齿对数愈多，传动愈平稳，
每对轮齿所承受的载荷愈小
bpBB /21??
重合度另一定义
? 工程要求,齿轮有可能在啮合线上两
点同时接触
? 几何条件, DC > p
? 啮合弧,一对齿从开始啮合时到终
止啮合，分度圆上任一点所经过的
弧线距离
? 重合度,
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 连续传动条件, ? > 1
? 重合度愈大，表明同时参与啮合的轮齿
对数愈多，传动愈平稳，每对轮齿所承
受的载荷愈小
p
DC??
齿距
啮合弧?
2B
1BC
DP
a
1N
1O
2N
2O
重合度的物理解释
? 重合度大，表明同时
啮合的轮齿对数多
? 例, ?a = 1.3
机械设计基础 —— 齿轮传动
N2P
N1
B1 B2
Pb
Pb
1.3Pb
0.7Pb 0.3Pb0.3Pb
CD
单 齿
啮合区
双 齿 啮合区
了解
比较
节 圆 (啮合参数 ) 分度圆 (几何参数 )
啮合角 (啮合参数 ) 压力角 (几何参数 )
节点：啮合接触点的公法线与连心线的交点
节圆,过节点的圆
啮合线：齿廓接触点的轨迹
啮合角,节圆的公切线与啮合线 N1N2之间的夹角 (锐角 )
分度圆：齿轮上模数和压力角均为标准值的圆
压力角：齿轮齿廓上的法线与速度方向之间的夹角 (锐角 )
机械设计基础 —— 齿轮传动
比较?
1
O1
N1
N2
?2
O2
a’=a
N
O2
a
9-6 轮齿切削加工原理
? 近代齿轮加工方法很多，如切制法、铸造法、
热扎法、冲压法、电加工法等
? 但从加工原理的角度看，可将齿轮加工方法归
为两大类：
? 仿形法
? 铣削法 实际加工
? 拉削法 实际加工
? 范成法
? 插齿法 实际加工
? 滚齿法 实际加工
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 盘铣刀
? 指状铣刀
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 仿形铣刀 (盘 /指 ):刀齿与齿轮
齿槽同 --旋转 +直移
? 齿轮毛坯, 间歇旋转
仿形法
进
给
进
给
分度
切削
进给
空回
切削
空
回
分
度
? 刀齿形状与齿轮齿槽形状相同
? 优点,普通铣床加工
问题,
? 精度低
? 分度误差
? 刀具齿形误差
? db=dcosa=mzcosa决定齿形 (z
的函数 ),刀具量大
工程处理,同 m和 a的刀具只有 8把
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 生产率低
? 空回行程
? 分度,夹紧等辅助工作
时间长
应用,修配和小批量生产
仿形法 加工特点
8把一组各号铣刀切制齿轮齿数范围
刀号
齿数
1 2 3 4 5 6 7 8
12~13 14~16 17~20 21~25 26~34 35~54 55~134 ?135
机械设计基础 —— 齿轮传动
范成法 (展成法、包络法 )加工齿轮原理
1) 范成运动
? 两轮分度圆相切
? 以 i12 = ?1/?2 = z2 /z1 传动
2) 切削运动
? 齿轮插刀沿轮坯轴线方向作往
复运动，以切除材料
? 相同的 m,a,只要用一把刀
具,通过调节 i12,就可以加工
不同齿数的齿轮
?1
?2
O1
O2 轮坯
?2
? 又称展成法、包络法
? 刀具, 齿轮 (条 )插刀,滚刀 ---往复直线移动 +啮合式旋转 /往
复直线移动
? 齿轮毛坯,啮合式旋转
?动画
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 优点,同一把刀具可加
工出 m,a相同而齿数不
同的所有齿轮。不仅可
加工外齿轮，而且可加
工内齿轮
? 缺点,加工不连续，生
产效率低
范成法 — 齿轮插齿
让刀运动
范成切削运动
空回运动 复位
?0 ? 范成运动
i=?0/?=z/z0
? 动画
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 优点,同一把
刀具可加工出
m,a相同而齿
数不同的所有
齿轮
? 缺点,不能加
工内齿轮。加
工不连续，生
产效率低
范成法 — 齿条插齿
切削
空回
v
?范成
让刀
复位
v=?d/2= ?mz/2
?动画
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 优点,同一把刀具可加工出 m,a相同而齿数不同的所有齿
轮。加工连续，生产效率高
? 缺点,不能加工内齿轮
范成法 — 齿轮滚齿
? 刀具, 齿轮 (条 )插刀,滚刀 ---往复直线移动 +啮合式旋转 /往复
直线移动
? 齿轮毛坯, 啮合式旋转
? 特点, 需专门机床,效率较高,精度可高,批量生产
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 范成图样
范成法 特点
9-7 根切、最小齿数和变位齿轮
一,根切
二,产生根切的原因
三,避免根切的措施
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 根切
? 切削刀具的齿顶就会切去轮
齿根部的一部分，这种现象
称为 根切
机械设计基础 —— 齿轮传动
2 根切的影响
? 降低轮齿抗弯强度
? 降低轮齿抗弯强度降低
齿轮传动重合度
? 降低轮齿抗弯强度降低
齿轮传动重合度部分失
去渐开线齿轮传动特性
一、渐开线齿廓的根切
s e
h
a
hf
c* m
分度园
分度线
分度圆
基圆
? 实际啮合线段,B1B2
? 啮合极限点 N1
? 刀具顶线不超过啮合极限
点 N1，则切制出渐开线，
不产生根切
? 刀具顶线经过啮合极限点
N1，则切制出的渐开线从
基圆开始
? 刀具顶线超过啮合极限点
N1，则在根部将已切制出
的渐开线切去，形成根切
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 结论：
? 刀具顶线超过啮合极限点 N1,(PB刀 >PN1)即发生根切
二、产生根切的原因
V刀 =r?
刀具节线
?r
rb
ra
O1
P
B1
N1
B2
B’2
根切
1 加大齿轮半径,使 PN1 ? PB刀
? 其它参数同刀具且标准,只能增加齿
数 z
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 标准齿轮无根切最少齿数
三、避免根切的措施
2/)s i n(s i n1 aa mzrPN ??
as i n/* mhPB a?刀
a2* s i n/2 ahz ?
a2*m i n s in/2 ahz ?
? 当 ha*=1.0,a=200时,zmin= 17
2 变位, 加大刀具与齿轮中心距离，使
刀具齿顶线低于 N1
? 变位量,xm，变位系数 x
? 正变位齿轮,xm>0
a
xm
a
O1
r
rb
N1
B
刀
r’
b
N’1
O’1
P
h* a
m
B’刀
9-8 齿轮的材料
轮齿材料的基本要求,齿面要硬，齿芯要韧
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 锻钢 ---（中低碳钢、合金钢）
? 齿表面硬度 <=350HBS的齿轮
? 热处理：调质或正火
? 小齿轮硬度 >大齿轮 25-50HBS
? 常用材料,45,35SiMn,
40Cr,35CrMn...
? 铸钢
热处理：正火，回火
材料,ZG310-570,ZG340-640
应用：大尺寸齿轮（ 400-600）
?齿表面硬度 >350HBS的齿轮
?热处理：淬火,表面淬火 ---40-
60HRC
?常用材料,45,35SiMn,40Cr,
20CrMnTi…
? 铸铁
材料,HT200,HT300,QT500-7
应用：开式、低速、无冲击场合
? 非金属材料
?材料：布（木）质塑料、尼龙
?应用：高速、轻载、要求噪声低
9-9 轮齿的失效形式及计算准则
一、失效形式
1 轮齿折断
2 齿面磨料磨损
3 齿面疲劳点蚀
4 齿面胶合
二,计算准则
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 轮齿折断
产生原因,
? 齿根弯曲应力大
? 齿根应力集中
折断类型,
? 疲劳折断 — 反复应力 ?疲劳裂纹 ?轮齿疲劳折断
? 突然折断 — 齿轮为脆性材料时，受到过载或冲击时
产生
? 变形折断 — 制造或安装不准确，以及轴的变形 引起
发生部位：
? 轮齿根部 (全齿折断 )、缺角 (斜齿轮局部折断 )
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 增大齿根过渡圆角、消除加工倒痕 ?减小应力集中
? 增大轴及支承的刚性 ?受载均匀
? 合适热处理 ?齿芯具有足够韧性、表面强化
Fn
2 齿面磨料磨损
发生机理：
? 磨料 (沙粒、铁屑等 )进入啮合
区 ?齿面 磨损
? ?齿形破坏
? ?齿根减薄（根部严重） ?断齿
发生部位,齿面
发生状况：
? 开式齿轮传动的主要失效形式
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 加强润滑
? 开式改闭式传动
3 齿面疲劳点蚀
产生原因,
? 轮齿在节圆附近一对齿受力，
载荷大
? 滑动速度低形成油膜条件差
? 接触疲劳产生麻点
发生部位：
? 偏向齿根的节线附近
? 闭式齿轮传动的主要破坏形式
? 开式传动中一般不会出现点蚀
现象
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 提高材料硬度 ?增强抗点蚀能力
? 合理选择润滑油 ?防止 裂纹扩展
4 齿面胶合
产生原因,
? 高速重载；散热不良；
? 滑动速度大；齿面粘连后撕脱
发生部位：
? 沿运动方向撕裂
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 减小模数，降低齿高
? 抗胶合能力强的润滑油
? 材料的硬度及配对
?防齿面点蚀 ?齿面接触疲劳强度计算 ?求尺寸 d或 a
? 限制接触应力
?防轮齿折断 ?齿根弯曲疲劳强度计算 ?求模数ｍ
? 限制弯曲应力
机械设计基础 —— 齿轮传动
闭式 软 齿面 —— 以保证 接触 疲劳强度为主
闭式 硬 齿面 —— 以保证 弯曲 疲劳强度为主
开式传动 —— 以保证弯曲疲劳强度为准则
二、计算准则
9-10 直齿轮轮齿表面接触疲劳强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿的接触疲劳强度计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 假设：单对齿啮合，力作用在
节点 P，不计 Ff
? 轮齿间的总压力 →法向力 Fn,沿
啮合线指向齿面
1 Fn 的分解：
? 圆周力 Ft、径向力 Fr
? 圆周力 Ft:沿节圆切线方向指向
齿面
? 径向力 Fr:沿半径方向指向轮心
机械设计基础 —— 齿轮传动
2 作用力的大小：
? Ft＝ 2T1/d1
? Fr＝ Ft·tana
一、作用力的分析
FnFr
Ft
a
T1 －小齿轮传递的转矩,Ｎ ·mm
d1 －小齿轮节圆直径,mm
a －啮合角
? 轮齿齿面的接触疲劳强度计算近似以节点为准
? 有曲率的齿廓接触点 →接触应力 →赫兹公式
? 校核公式：
机械设计基础 —— 齿轮传动
设计公式：
二、轮齿的接触疲劳强度计算
M P aiibKTa HH ][)1(335
3
1 ?? ????
mmi KTia
Ha
3
2
1
][)1(48 ????
? 由式可知，当齿轮的材料、传动比及齿宽系数一定时，由
轮齿表面接触强度所决定的承载能力，仅与中心距有关，
即中心距越大，承载能力越强，相应实际应力越小
? 齿宽系数越大，中心距越小
? [?H]的取值, 具体见 p195表 9?5
? [?H] ? min([?H]1,[?H]2)
9-11 直齿轮轮齿弯曲疲劳强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿的弯曲疲劳强度计算
三,例题
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 简化,计算轮齿的弯曲强度时，可
将轮齿看作一个悬臂梁。且认为只
有一对轮齿传递全部载荷
? 轮齿的疲劳折断与弯曲疲劳强度有
关
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 法向力可以分解为两个分力：
? 弯曲分力 FH = Fn cos?
? 压缩分力 Fv = Fn sin?
一、作用力的分析
FH
FV Fn
Fn
?
?
s1
l
? 危险剖面的弯曲应力为：
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式：
设计公式：
二、轮齿的接触疲劳强度计算
? 注意：
1 齿宽系数、齿数 z1
2 许用弯曲应力 [?F]：表 9?7
3 [?F]的取值, min([?F]1/YF1,[?F]2/YF2)
F
tn
F Ybm
F
bs
lF
W
M ????
2
1
co s6 ??
YF为齿形系数，只与齿形有关，
即与压力角、齿顶高系数、齿数有
关，而与模数无关。见表 9-6a
?
c o s)(
c o s)(6
21
m
s
m
l
Y F ?
MP ambz YKTmbd YKT FFFF ][22 2
1
1
1
1 ?? ???
mmiz YKTm
Fa
F3
21
1
])[1(
4
?? ??
1 压力角 a的选择：
? 一般齿轮 α=20°； 航空用齿轮 α=25°
2 齿数 z的选择
? d1一定，齿数 z1↑→重合度 ↑平稳性好 →m小 →加工量 ↓，但齿
轮弯曲强度差
? 闭式软齿面, z1宜取多 →提高平稳性,z1=20~40
? 开式或闭式硬齿面,z1宜取少 →保证轮齿弯曲强度,z1 ≥17
机械设计基础 —— 齿轮传动
3 齿宽系数的选择
? ?d↑→ b↑ →承载能力 ↑(p196) 但载荷分布不 均匀 ↑→应取得
适当
? 计算 (实用 )齿宽, b= ?dd1,B1=b+5~8,B2=b
相关参数选择
例题 1
?已知：如图
?求：齿轮 2,3的圆
周力的方向
机械设计基础 —— 齿轮传动
正确
习题
A向
Z1
Z4
Z2
Z3
A B C D
Ft2Ft1
Ft3 Ft4
例题 2
?已知：如图
?求：齿轮 2,3的圆周
力的方向
机械设计基础 —— 齿轮传动
正确
习题
Z4 Z3
Z1 Z2
A向
Ft2Ft1
Ft4
Ft3
A B C D
9-12 斜齿圆柱齿轮传动
一,齿廓曲面的形成和啮合特点
二,主要参数和几何尺寸
三,斜齿轮的啮合传动
四,斜齿轮传动的特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、齿廓曲面的形成和啮合特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 直齿轮齿廓曲面的形成 斜齿轮齿廓曲面的形成
B
A A
K K
发生面
B
A
A
K
发生面
?b
发生面
K
端面齿形
1 齿廓曲面的形成
? 共性, 发生面在基圆柱上作纯滚动
? 不同,(直齿轮 )直线 KK与母线平行 ?渐开线面
? (斜齿轮 )直线 KK与母线成 ?b角 ?渐开线螺旋面
渐开线
2 斜齿轮啮合特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 斜齿轮 齿
? 分 左旋、右旋
? 直齿轮齿
渐开线
螺旋面
1
K
K
啮合面
2
齿面接触线
? b
啮合特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
斜齿轮,
? 齿面接触线为斜线
? 逐渐进入 /脱离啮合 (加载 /卸载 )
? 传动平稳，冲击，振动，噪音小
直齿轮：
? 齿面接触线与齿向 (轴线 )平行
? 突然进入 /脱离啮合 (加载 /卸载 )
? 传动平稳性差，冲击，振动，噪
音大
直齿圆柱齿轮 齿面接触线
斜齿圆柱齿轮
二、主要参数和几何尺寸
机械设计基础 —— 齿轮传动
??端、法面参数不同！
??标准参数在法面上，端面表达尺寸简洁、明了！
??法面参数为标准参数，将其换算至端面上，在端
面上计算斜齿轮的几何尺寸
问题讨论：
?? 端面齿形与齿向法面齿形
?? 加工过程刀具与轮齿的相对位置与进刀方向
?? 标准参数所在平面
?? 端、法面哪个面上表达尺寸更为简洁、明了
? 端面参数 (t)、法面参数 (n)
? 端面齿距 pt与法面齿距 pn关系
机械设计基础 —— 齿轮传动
?mt= mn/cos?
1 法面模数 mn与端面模数 mt
分度圆柱
B
?
pt
?
?d
d
???? c o sc o s ttnn mpmp ???
展 开
? 端面参数 (t)、法面参数 (n)
? 端面 压力角 at与法面压力
角 an关系
机械设计基础 —— 齿轮传动
?tanat= tanan/cos?
2 法面压力角 an与端面压力角 at
? ?a’
b’
an
a c
b
at''
't a n
ba
ca
n ?a ''t a n ba
ac
t ?a
'abab ?
?c o s' ?? acac
?分度圆直径 d,?
?d=mtz=zmn/cos?
机械设计基础 —— 齿轮传动
?中心距 a,?
?a=(d1+d2)/2=mn(z1+z2)/2cos?
?其余见 p207表 9?8
3 其它几何尺寸
B
?
pt
?
?d
d
三、斜齿轮的啮合传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 正确啮合条件
2 重合度
3 当量齿轮与当量齿数
4 小结
1 正确啮合条件
机械设计基础 —— 齿轮传动
螺旋线旋向判别：
? 将齿轮轴线垂直，螺旋线右边高 —— 右旋
? 螺旋线左边高 —— 左旋
? mn1= mn2,an1= an2 （ mt1= mt2, at1= at2 ）
? 外啮合,?1 = ??2
? 内啮合,?1 = ?2
左旋
右旋
? 直齿轮传动：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 斜齿轮传动,
2 斜齿轮传动的重合度
B
B?
b
L?L
`
B1
B1
B2
B2
p
L
p
L
t
??a?
tp
L??
??
轴面重合度
端面重合度
nm
B
?
?s in?
bt
b
p
Btg??
?a? ??? ??
实际啮合区
实际啮合区
问题讨论,
?? 仿形法加工斜齿轮如何确定刀号
?? 范成法加工斜齿轮，无根切最少齿数如何确定
?? 与法面齿形相当的直齿轮是什么样的齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
?? 法面齿形与刀具齿形相同，仿形法加工斜齿轮应按法面
齿形确定刀号
?? 无根切最少齿数应依法面齿形为依据
? 当量齿轮, 与斜齿轮法面齿形相当的虚拟的直齿圆柱齿轮
? 当量齿数 zv,当量齿轮的齿数
3 当量齿轮与当量齿数
椭圆：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 当量齿轮的当量齿数 zv:
当量齿轮与当量齿数
?
a
b
C
?
当量齿轮
C
模
数
？
?co s2
da ?
2
db?
?? 2
2
co s2
d
b
a ??
nm
?2
?2co sn
t
m
zm??vz
?3cos
z?
?2c o snm
d?
? 当量齿轮 (数 )的意义,
? 据 zv 选铣刀
? 无根切最少齿数 zmin = zvmin cos3?
? 计算轮齿强度
节点处曲率半径
? 斜齿轮的几何参数分 端面参数 (t),法
面参数 (n)
? 加工斜齿轮的轮齿时，刀具沿螺旋齿
槽方向切削
? 法面参数与刀具参数相同
? 定义法向模数为标准模数
? 法面参数是标准参数,也是斜齿轮的
强度计算参数
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 从斜齿轮的端面看，斜齿轮的啮合传动与直齿轮的啮
合传动一样
? 端面参数也可以认为是斜齿轮的几何计算参数
4 小结
? ?a’
b’
an
a c
b
at
四、斜齿轮传动的特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
缺点：
? 工作时产生轴向力,螺旋角越大，轴向力越大
? 解决,控制螺旋角大小、人字齿
优点：
? 啮合性能好,轮齿进入和脱离啮合渐进渐退，传动平稳，噪音小
? 重合度大,相对提高齿轮承载能力，延长寿命
? 范成加工不易根切
? 制造成本与直齿轮同
Fn Fr
Fa
?
Fn Fr
Fa
FnFr
Fa
Fa = Ft tg? 人字齿轮
9-13 斜齿轮传动强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿表面接触疲劳强度计算
三,轮齿弯曲疲劳强度计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 条件：标准齿轮并忽略摩擦力
β— 螺旋角,αn— 法面压力角,αt—
端面压力角
? 圆周力 Ft:
? 径向力 Fr:
? 轴向力 Fa:
? 法向力 Fn:
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 各力关系：
? Ft1= ? Ft2 Fr1= ? Fr2 Fa1= ? Fa2
一、作用力的分析
11 /2 dTF t ?
?a co s/t a n ntr FF ?
?t a nta FF ?
?a c o sc o s/ ntn FF ?
? 径向力 Fr,指向各自圆心
? 圆周力 Ft,利用转向判断
? 主动轮 —— 与转向相反
? 从动轮 —— 与转向相同
? 轴向力 Fa,取决于齿轮的转向和轮
齿的旋向
? 用,主动轮左、右手方法,来判断
：
? 主动轮为右旋，握紧右手，四指弯
曲方向表示主动轮的回转方向，拇
指的指向即为作用在主动轮上轴向
力 Fa的方向；若主动轮为左旋，用
左手
? ★ 不能用在从动轮上
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 例 1：
方向判定
Ft1
Fr1
Fr2
Ft2 F
a1Fa2
? 与直齿轮相比，其特点：
? 总合力作用于法平面内 ；重合度大；接触线是倾斜的、变化的；螺旋
角对疲劳强度有利
? 斜齿轮强度计算的模型：
? 斜齿轮法面上的当量直齿轮
? 把斜齿圆柱齿轮的强度计算问题转化成直齿圆柱齿轮的强度计算问题
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
法向模数：
二、轮齿表面接触疲劳强度计算
M P aiibKTa HH ][)1(312
3
1 ?? ????
mmi KTia
Ha
3
2
1
][)1(46 ????
21
co s2
zz
am
n ??
?
？ 讨论：
相同条件下，斜齿
轮接触应力比直齿
轮小，即斜齿轮接
触强度比直齿轮大，
原因何在？
? 与直齿轮相比，其特点：
? 接触线倾斜；轮齿局部折断
? 斜齿轮强度计算的模型：
? 斜齿轮的弯曲强度计算也按当量齿轮 进行
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
三、轮齿弯曲疲劳强度计算
M P ambz YKTmbd YKT F
n
F
n
F
F ][
c os6.16.1
2
1
1
1
1 ??? ???
mmiz YKTm
Fa
F
n
3
2
1
1
])[1(
1.3
?? ??
讨论：
斜齿轮与直齿轮比，哪一个弯曲应力较小？
哪一个弯曲强度大？
9-14 圆锥齿轮传动
一,概述
二,当量齿轮及当量齿数
三,几何参数和尺寸计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、概述
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 分类：
? 直齿圆锥齿轮
? 斜齿圆锥齿轮
? 曲齿圆锥齿轮
? 应用,传递交错轴之间的运动和动力，一般 ?=90°
? 特点：
? 轮齿分布在圆锥面上，圆柱 ?圆锥
? 大端参数标准化,GB12368-90
? 小轮常悬臂安装，刚度低
二、当量齿轮及当量齿数
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 轨迹是球面上的渐
开线，齿廓曲面为
球面渐开线曲面
1 直齿圆锥齿轮齿廓的形成
? 发生面在基圆锥上纯滚动
C
O S R
A
B
基圆锥
发生圆平面
渐开线！ 形状？球面渐开线
2 直齿圆锥齿轮的背锥
机械设计基础 —— 齿轮传动
背 锥
r
?
O1
O
?c o s
rr
v ?
3 直齿圆锥齿轮的当量齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 其齿数称为当量齿数 zV
? 齿形与大端齿形相近的直齿轮
? 背锥 ?展开成扇形齿轮 ?补足为完整
的圆柱齿轮（称为 当量齿轮 ）
? 半径
r 1
?1?
2
a
O o1
rv2
N1
O2
O1
P
O2
N2
?c o s
rr
v ?
m
rz v
v
2?
?co s
2
m
r?
?cos
z?
? 无根切最少齿轮数：
?c o sm i nm i n Vzz ?
? 当量齿轮含义：同斜齿轮
三、几何参数和尺寸计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 同直齿轮相同的尺寸：
? d = mz
? ha = h*am
? hf = (h*a + c*)m
? 尺寸计算见表 10-9
1 正确啮合条件
? 两个当量齿轮的模数、压力角分别相等，即两圆锥齿轮大端的模
数、压力角分别相等
? 两轮的锥距相等，锥顶重合
2 连续传动条件
? 重合度大于或等于 1（当量齿轮计算）
3 传动比
11
2
1
2
1
2
2
1 t a n1s i ns i n ??? ????? zzddnni
d 1
?1
df2
d2
da2
O
?f
?a2
2
?a1
1
?2?f2
9-15 直齿圆锥齿轮传动强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿表面接触疲劳强度计算
三,轮齿弯曲疲劳强度计算
四,例题
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 假定,法向力 Fn作用于齿宽中点
? 法向力分解成三个分力：
? 圆周力 Ft:
? 径向力 Fr:
? 轴向力 Fa:
机械设计基础 —— 齿轮传动
δ1 — 小齿轮分度圆锥角
dm1 — 小锥齿轮齿宽中点分度圆直径
? 各力关系：
? Ft1= ? Ft2 Fr1= ? Fa2 Fa1= ? Fr2
一、作用力的分析
111 /2 mt dTF ?
111 c o st a n ?atr FF ?
111 s i nt a n ?ata FF ?
2
1
Fr1
Fa2
Fa1Fr2
? 锥齿轮强度计算的模型：
? 锥齿轮的强度等同于齿宽中点处的当量直齿圆柱齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
二、轮齿表面接触疲劳强度计算
][)1(5.0335 1
32
HH ib
KTi
bR ?? ?
?
??
3
][)5.01(148 22
12
RHR i
KTiR
???????
锥距，不能圆整
111 s i n2 ?Rmzd ??
? 锥齿轮强度计算的模型：
? 锥齿轮的强度等同于齿宽中点处的当量直齿圆柱齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
三、轮齿弯曲疲劳强度计算
大端模数。
计算后向上圆整
成标准值
3
1][
)5.01(4
22
1
1
?
??
iz
YKTm
FR
RF
m
??
?
MP azbm YKT F
m
F
F ][
2
1
2
1 ?? ??
设计时取大值代入
按当量齿
数 zv =
z/cosδ查取
? 已知：转动方向，如图
? 求：齿轮 1,2的旋向，并画出齿轮 2,3各力的方向
机械设计基础 —— 齿轮传动
解：
例题 习题
Fr3
Ft2
Ft3
1
2
3
4F
a3
Fa2F
a1
Fr2
9-16 齿轮的构造
齿轮的结构形式, → 由直径确定
齿轮轴 － ｅ ≤(2～ 2.5)mn （轮与轴同材料）
实心齿轮
腹板式齿轮
轮幅式齿轮
组装式齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
自学
机械设计基础 —— 齿轮传动
9-1 齿轮机构的应用及分类
9-2 齿廓啮合基本定律
9-3 渐开线及渐开线齿轮
9-4 渐开线标准齿轮的基本尺寸
9-5 直齿轮的啮合传动
9-6 轮齿切削加工原理
9-7 根切、最小齿数和变位齿轮
9-8 齿轮的材料
9-9 轮齿的失效形式及计算准则
9-10 轮齿表面接触疲劳强度计算
9-11 轮齿弯曲疲劳强度计算
9-12 斜齿圆柱齿轮传动
9-13 斜齿轮传动强度计算
9-14 圆锥齿轮传动
9-15 直齿 圆锥齿轮传动 强度计算
9-16 齿轮的构造
基本要求,
? 了解齿轮机构的类型及功用、齿廓啮合基本定律
? 掌握渐开线的性质及渐开线齿廓的特点
? 掌握渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数及几何尺寸计算
? 理解直齿轮正确啮合条件、重合度
? 了解范成法切齿的基本原理和根切现象
? 掌握齿轮失效形式
? 掌握直齿轮强度计算方法
? 掌握斜齿轮与直齿轮的异同，理解当量齿数
? 了解斜齿轮、圆锥齿轮传动（齿廓曲面的形成和啮合特点、
基本参数、几何尺寸计算和当量齿数、强度计算）
机械设计基础 —— 齿轮传动
9-1 齿轮机构的应用及分类
一,应用
二,特点
三,分类
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、应用
? 齿轮机构是现代机械中应用最广泛的一种传动机构
? 用来传递空间任意两轴的运动和动力
应用实例：
? 机械手
? 汽车变速箱
? 摄像机
? 游乐设施
机械设计基础 —— 齿轮传动
二、特点
? 可用来传递空间任意两轴之间的运动和动力
? 传动比准确, 平稳
? 结构紧凑, 适用圆周速度和功率范围广
? 机械效率高
? 使用寿命长, 工作安全可靠
机械设计基础 —— 齿轮传动
三、分类
按齿轮传动的工作情况分：
? 开式齿轮传动 —— 低速, 易磨损
? 闭式齿轮传动 —— 重要的传动
按传动时两轮轴的相对位置分：
? 平面齿轮机构,（ 平行轴间传动 ）
? 直齿轮, 斜齿轮, 人字齿
? 外啮合, 内啮合, 齿轮与齿条传动
? 空间齿轮传动：
? (相交轴间传动 ),圆锥齿轮,
? (交错轴间传动 ),交错轴斜齿轮机构, 蜗杆传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
一般分类
平面
机械设计基础 —— 齿轮传动
直齿轮
平行轴斜齿轮传动
人字齿
外啮合齿轮传动
内啮合齿轮传动
齿轮与齿条传动
圆锥齿轮传动
交错轴斜齿轮传动
蜗轮蜗杆传动
齿
轮
机
构
空间
1 平面齿轮机构 ( 二轴平行 )
? 直齿圆柱齿轮机构
? 外啮合传动
? 内啮合传动
? 齿轮齿条传动
外啮合传动
二轮转向相反
机械设计基础 —— 齿轮传动
外齿轮
内啮合传动
二轮转向相同
齿轮齿条传动
转动 ?移动
内齿轮
外齿轮
齿条
外齿轮
斜齿圆柱齿轮机构
? 外啮合传动
? 内啮合传动
? 齿轮齿条传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
人字齿轮传动
? 外啮合传动
? 内啮合传动
? 齿轮齿条传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
2 空间齿轮机构
? 圆锥齿轮传动
? 二轴相交 ? 外啮合传动? 二轮转向相反
机械设计基础 —— 齿轮传动
斜齿圆锥齿轮传动直齿圆锥齿轮传动
交错轴斜齿轮传动（螺旋齿轮传动）
? 二轴交错
机械设计基础 —— 齿轮传动
交错轴斜齿轮传动
蜗杆传动
? 二轴交错，通常交 90o
机械设计基础 —— 齿轮传动
蜗杆传动
9-2 齿廓啮合基本定律
一,齿廓啮合基本定律
二,节点、节圆
三,齿廓曲线的确定
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、齿廓啮合基本定律
对齿廓曲线的要求：
? 直观上 —— 不卡不离
? 几何学上 —— 处处相切接触
? 运动学上 —— 法线上没有相对运动
根据三心定理，二齿轮啮合之速度瞬
心Ｐ
机械设计基础 —— 齿轮传动
齿廓啮合基本定律：
? 互相啮合的一对齿轮，在任一位置时
的传动比，都与其连心线被其啮合点
的公法线所分两线段成反比
1
2
O1
O2
C2
1?
2?
C1
n
n
P
vK1
vK2
KvK2K1
PO
POi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
二、节点、节圆
定传动比条件：
若两轮作定传动比传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
则 P点为定点，即不论两齿轮轮廓在何
位置接触，过接触点所作的两齿廓公法
线与连心线相交于定点 P
定点 P—— 节点
节圆 (d1’,d2’),过节点所作的两圆
思考：
若变传动比 (如椭圆齿轮 )，情况如何？
1
2
O1
O2
C2
1?
2?
C1
n
n
P
vK1
vK2
KvK2K1
.c on s tPO POi ???
1
2
2
112
?
?
节圆
节圆
三、齿廓曲线的确定
? 能满足定传动比 (或某种变传动
比规律 )要求的齿廓曲线，理论
上有 无穷多 个
机械设计基础 —— 齿轮传动
?理论上 无穷多共轭曲线,能满足定
传动比 (或某种变传动比规律 )要求的
齿廓曲线
?实际选用,须考虑设计,制造,安
装,使用 等 因素
?常用, 渐开线、摆线、圆弧线,抛
物线等
?本章主要研究 渐开线 齿廓的齿轮
1
2
O1
O2
C2
1?
2?
C1
n
n
P
vK1
vK2
KvK2K1
节圆
节圆
9-3 渐开线及渐开线齿轮
一,渐开线的形成
二,渐开线的性质
三,渐开线齿轮的啮合特性
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、渐开线的形成
? 当一直线在一圆周上作纯滚动时，此直线上任一点的轨
迹 ---该圆的 渐开线
? 该圆称 基圆 (rb)；该直线称为 发生线
机械设计基础 —— 齿轮传动
渐开 线
发生线
基圆
F
向径
压力角 aK
aK
?K
K
基圆半径 rb
vK
rK
rb 展角基圆
二、渐开线的性质
1) 发生线沿基圆滚过的长度等于
基圆上被滚过的弧长,
机械设计基础 —— 齿轮传动
2) 渐开线上任一点法线恒切于基圆
3) 切点是渐开线上 K点的曲率中心，
KB为曲率半径 ; 越接近基圆，曲率
半径越小，反之越大
4) 基圆内无渐开线
B
K
A
O
kr
br
ka
ka
ABKB ?
k
b
k r
r
OK
OB ??ac os
压力角 ak为受力方向与
速度方向的所夹的锐角
渐开线的性质 (续 )
5) 渐开线的形状决于基圆半径
机械设计基础 —— 齿轮传动
?圆半径越大，渐开线越平展
（综合曲率半径越大）
?直线也是渐开线
C1
A1
B1 ?i
C2
A2
?i
O2rb2
B2
O 3
8
C3
O1
rb1
K
推论
? 同一基圆上渐开线形状相同
? 同一基圆所生成的同向渐开
线为法向等距曲线
机械设计基础 —— 齿轮传动
?两 反向渐开线公法线处处相等
?(等于两渐开线间的基圆弧长 )
O
C1
B
C3
A1
B1A
2
B2N
1 N2
K1
K2
2211 KBKB ?
？
2211 BABA ?
？
三、渐开线齿轮的啮合特性
渐开线齿轮符合齿廓啮合基本定
律，即能保证定传动比传动
?由齿廓啮合基本定律知
机械设计基础 —— 齿轮传动
rb2
O2
?1
?2
N2
C２
C１
O1
rb1
K
P
K’
.''
1
2
1
2
1
2
2
1
12 c on s tr
r
r
r
PO
POi
b
b ?????
?
?
N1
? 由渐开线性质知，
? 啮合点公法线与二基圆内公
切线重合
? 二基圆为定圆,N1N2为定直
线，则节点 P为定点
PO
POi
1
2
2
112 ??
?
?
9-4 渐开线标准齿轮的基本尺寸
一,外齿轮
二,内齿轮
三,齿条
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、外齿轮
1 各部分名称和符号
2 基本参数
3 几何尺寸
4 例题
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 各部分名称和符号
?基 圆 (db,rb),
产生渐开线的圆
?齿顶圆 da(ra)：
连接齿轮各齿顶的圆
?齿根圆 df(rf):
齿槽底部连接的圆
?齿厚 si:
在 di圆周上,一个轮齿左右
两侧齿廓间的弧线长
?齿槽宽 ei:
在 di圆周上,齿间的弧线长
?齿距 pi,
pi=si+ei
机械设计基础 —— 齿轮传动
?分度圆 d (r):
设计齿轮的基准圆
分度圆上,p=s+e
?齿顶高 ha：
?齿根高 hf：
?齿全高 h=ha+hf O
齿间
(齿槽 )
齿 z
sieie s p
B
pi
2 基本参数
?齿数, z
?模数,m
?d=zp d=zp/?
令 m=p/? 则
d=zm
?压力角 a, 分度圆压力角 的 简称
机械设计基础 —— 齿轮传动
标准压力角,a＝ 20o(人为规定 )
少数场合有 14.5o,15o,22.5o,25o
O
齿间
(齿槽 )
齿 z
e s p
B
pb
pn
a
N
aa co sco s mzdd b ?? 基本参数? ? ?
????????????? ddrr bb a r c co sa r c co s ＝a
不同模数齿轮尺寸比较（放大）
?模数 m,是齿轮计算
的基本参数，也为轮
齿大小的标志
?人为地规定一些特定
模数值,称标准模数
?如, 1,1.25,1.5,2、
2.5,3,¨¨
m 愈大，轮齿愈厚，
抗弯能力愈大
它是轮齿抗弯能力的
重要标志
机械设计基础 —— 齿轮传动
m=4 z=16
m=2 z=16
m=1 z=16
压力角 a
?同一齿廓的不同半径处，压
力角不同
?分度圆：
?齿顶圆：
?基圆：
机械设计基础 —— 齿轮传动
rbO
A
ri
K
B
B1
K1
r1
?
Kv
F
ai
ai
a1
a1
? 轮齿上，基圆压力角等于零
? 齿顶圆上压力角最大
? 分度圆上压力角为标准值
? 分度圆 (定义 ),模数和压力角均为
标准值的圆
k
b
k r
r
OK
OB ??ac os
i
bi
r
r?aco s
rrb /co s ?a
aba rr /co s ?a
1?? bbb rr /c o s a
3 几何尺寸
分度圆直径 d,
齿顶高 ha：
齿顶高系数 ha*:
齿根高 hf,
顶隙系数 c*:
齿全高 h：
齿顶圆直径 da:
齿根圆直径 df:
基圆直径 db,
齿距 p：
齿厚 s与齿间 e:
基圆齿厚 sb：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 标准齿轮参数,
O
齿间
(齿槽 )
齿 z
sieie s p
B
pb
**,,,,chmz aa
mzd ?
mhh aa *?
0.1* ?ah
mchh af )( ** ??
25.0* ?c
fa hhh ??
mhzhdd aaa )2(2 *????
mchzhdd aff )22(2 ** ?????
aa c o sc o s mzdd b ??
mp ??
2/mes ???
aa? c o sc o s pm ??
zmzzdp bb /co s/ a?? ??
标准系数
ha=ha* m
hf =（ ha*+ c*） m
?齿顶高系数 ha*
?顶隙系数 c*
?正常齿,m?1 mm,
ha*=1,c*=0.25
?m<1 mm,
ha*=1,c*=0.35
?短齿,ha*=0.8,c*=0.3
机械设计基础 —— 齿轮传动
O
e s p
B
ha
hf
c*m
d? 标准齿轮,m,a,ha*,c*
等于标准数值,s=e
标准中心距
? 标准齿轮,
m,a,ha*,c*等于标准数值,s = e = ?m/2
? 标准齿轮 标准安装,无侧隙、标准顶隙
? 标准中心距：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 标准齿轮标准安装时：
? 即 r’1 = r1 r’2 = r2
? 节圆与分度圆重合，此时啮合角等
于压力角,a’ =a
21 fa rcra ??? 2/)( 2121 zzmrr ????
''' 21 rra ??
aa ?'
?1
O1
N1
N2
?2
O2
a’=a
c*m
例题 1
?已知, 法向距离 (即公法线长度 )分别为,
W3 = 61.84mm,W2 = 37.56mm,
m=8mm, z = 24； ha*=1;c*=0.25
?求,a,pb,sb,db
机械设计基础 —— 齿轮传动
解,
A’ D’ B’ C’O
W3
W2
mm
WWBCCBp b
28.2456.3784.61
'' 23
???
????
mm
pWBDDBs be
28.1328.2456.37
'' 2
???
????
A D B C
mmpzd bb 6.1 8 514.3 28.2424 ????? ?
9 6 7.0)248/(6.1 8 5/c o s ???? dd ba ?? 15a
rb
例题 2
?已知,一渐开线直齿圆柱齿轮，用卡尺测量出齿顶圆直径
da=208mm,齿根圆直径 df=172mm,数得齿数 z=24。
?求,该齿轮的模数 m,齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*
机械设计基础 —— 齿轮传动
解,
mmmhzd aa 208)2( * ???
mmmchzd af 1 7 2)22( ** ????
25.0,11 ** ??? chmmm a
35.0,11 ** ??? chmmm a
3.0,8.0 ** ?? ch a
正常齿,
短齿,
? ??
?
?
?
?
?
?
25.0
1
8
*
*
c
h
mmm
a
例题 3
?已知, 法向距离（即公法线长度）分别为,W3 = 61.84mm,
W2 = 37.56mm,da=208mm,df=172mm,z = 24
?求, m,a,ha*,c*,pb,sb
机械设计基础 —— 齿轮传动
解,
自己思考 !!
rb
A’ D’ B’ C’O
W3
W2
A D B C
二、内齿轮
特点：
? 内齿轮的齿廓内凹，
其齿厚和槽宽分别对
应于外齿轮的槽宽与
齿厚
? 齿顶圆小于分度圆，
齿根圆大于分度圆
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 其它尺寸同外齿轮
aa hdd 2?? ff hdd 2??
N
a
es p
2
mes ??? mhh aa *? mchh af )( ** ?? aa? c o sc o s pmp b ??
三、齿条
特点：
? 中线为分度线
? 齿廓为直线，齿廓上
各点法线平行，各点
速度相同
? 各点压力角相等，等
于齿廓斜角 —— 齿形
角，标准值为 20°
? 同侧齿廓平行，各处
齿距相等,p=?m
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 其它尺寸同外齿轮
e s
h a
h f
a
a
B
p
p
p
中线
2
mes ???
mhh aa *? mchh af )( ** ??
aa? c o sc o s pmp b ??
9-5 渐开线直齿轮的啮合传动
一,正确啮合条件
二,渐开线齿轮的可分性
三,重合度
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、正确啮合条件
?正确啮合条件,pn1=pn2
?若 pn1≠pn2，情况如何？
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 正确啮合条件：
? 两轮的模数和压力角分别相等
? 一对齿轮的传动比：
N2 P
N1
O1
O2
1?
2?
21 nn pp ?
?m1cosa1 = ?m2cosa2
??
?
??
??
aaa 21
21 mmm
21 bb pp ?
1
2
1
2
1
2
'
1
'
2
2
1
2
1
12 z
z
d
d
d
d
d
d
n
ni
d
b ??????
?
?
两轮法向齿距不等时
?两轮法向齿距不等时（ pn1≠pn2 ），轮齿发生干
涉，两轮不能正确啮合传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 两轮法向齿距相等时（ pn1=pn2 ），两轮能正确啮合传动
二、渐开线齿轮的可分性
? 中心距变化不影响传动比
机械原理 —— 齿轮机构及其设计
r’1
r’2
rb2
O2
?1
?2
N2
C２
C１P
O1
rb1
N1
K
rb2
O2
?1
?2
N2
C２
C１P
O1
rb1
N1
K
?a
r’1
r’2
CrrrrPO POi
b
b ????
?
??
1
2
1
2
1
2
2
1
12 '
'
三、重合度
1 渐开线齿廓传动平稳性
? 啮合线, 啮合点的轨迹 N1N2
? 啮合点的公法线,N1N2
? 二基圆内公切线,N1N2
? 接触点正压力方向,N1N2
? 基圆的内公切线 N1N2为 (理论 )
啮合线
? 啮合点均在啮合线 N1N2上
机械设计基础 —— 齿轮传动
rb2
O2
?1
?2
N2
O1
rb1
P
N1
K
K’
四线合一
2 一对齿轮的啮合过程
? 啮合线 N1N2
? 理论啮合线段, N1N2(啮合极限点 )
? 开始啮合时，主动轮的齿根与从动
轮的齿顶接触，逐渐下移
? 主动轮,齿根 ?齿顶
? 从动轮,齿顶 ?齿根
? 脱离啮合时，主动轮齿顶与从动轮
的齿根接触
? 开始啮合点,从动轮的齿顶圆与啮
合线 N1N2的交点 B2
? 终止啮合点,主动轮的齿顶圆与啮
合线 N1N2的交点 B1
? 实际啮合线段, B1B2
? 齿顶圆加大,B2,B1就趋近于 N1,N2
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 齿廓实际工作段
rb2
O2
?1
?2
N2
O1
rb
1
P
N1
ra1
ra2
B1
B2
3 重合度
?工程要求,齿轮有可能在啮合
线上两点同时接触
?几何条件, B1B2 > pb
?重合度,
机械设计基础 —— 齿轮传动
O1
O2
?1
?2
N2
N1B2
B1 K
aa2
a’ ra2
aa1ra1
a’ rb1
rb2
P
? 连续传动条件, ? > 1
? 重合度愈大，表明同时参与啮合
的轮齿对数愈多，传动愈平稳，
每对轮齿所承受的载荷愈小
bpBB /21??
重合度另一定义
? 工程要求,齿轮有可能在啮合线上两
点同时接触
? 几何条件, DC > p
? 啮合弧,一对齿从开始啮合时到终
止啮合，分度圆上任一点所经过的
弧线距离
? 重合度,
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 连续传动条件, ? > 1
? 重合度愈大，表明同时参与啮合的轮齿
对数愈多，传动愈平稳，每对轮齿所承
受的载荷愈小
p
DC??
齿距
啮合弧?
2B
1BC
DP
a
1N
1O
2N
2O
重合度的物理解释
? 重合度大，表明同时
啮合的轮齿对数多
? 例, ?a = 1.3
机械设计基础 —— 齿轮传动
N2P
N1
B1 B2
Pb
Pb
1.3Pb
0.7Pb 0.3Pb0.3Pb
CD
单 齿
啮合区
双 齿 啮合区
了解
比较
节 圆 (啮合参数 ) 分度圆 (几何参数 )
啮合角 (啮合参数 ) 压力角 (几何参数 )
节点：啮合接触点的公法线与连心线的交点
节圆,过节点的圆
啮合线：齿廓接触点的轨迹
啮合角,节圆的公切线与啮合线 N1N2之间的夹角 (锐角 )
分度圆：齿轮上模数和压力角均为标准值的圆
压力角：齿轮齿廓上的法线与速度方向之间的夹角 (锐角 )
机械设计基础 —— 齿轮传动
比较?
1
O1
N1
N2
?2
O2
a’=a
N
O2
a
9-6 轮齿切削加工原理
? 近代齿轮加工方法很多，如切制法、铸造法、
热扎法、冲压法、电加工法等
? 但从加工原理的角度看，可将齿轮加工方法归
为两大类：
? 仿形法
? 铣削法 实际加工
? 拉削法 实际加工
? 范成法
? 插齿法 实际加工
? 滚齿法 实际加工
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 盘铣刀
? 指状铣刀
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 仿形铣刀 (盘 /指 ):刀齿与齿轮
齿槽同 --旋转 +直移
? 齿轮毛坯, 间歇旋转
仿形法
进
给
进
给
分度
切削
进给
空回
切削
空
回
分
度
? 刀齿形状与齿轮齿槽形状相同
? 优点,普通铣床加工
问题,
? 精度低
? 分度误差
? 刀具齿形误差
? db=dcosa=mzcosa决定齿形 (z
的函数 ),刀具量大
工程处理,同 m和 a的刀具只有 8把
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 生产率低
? 空回行程
? 分度,夹紧等辅助工作
时间长
应用,修配和小批量生产
仿形法 加工特点
8把一组各号铣刀切制齿轮齿数范围
刀号
齿数
1 2 3 4 5 6 7 8
12~13 14~16 17~20 21~25 26~34 35~54 55~134 ?135
机械设计基础 —— 齿轮传动
范成法 (展成法、包络法 )加工齿轮原理
1) 范成运动
? 两轮分度圆相切
? 以 i12 = ?1/?2 = z2 /z1 传动
2) 切削运动
? 齿轮插刀沿轮坯轴线方向作往
复运动，以切除材料
? 相同的 m,a,只要用一把刀
具,通过调节 i12,就可以加工
不同齿数的齿轮
?1
?2
O1
O2 轮坯
?2
? 又称展成法、包络法
? 刀具, 齿轮 (条 )插刀,滚刀 ---往复直线移动 +啮合式旋转 /往
复直线移动
? 齿轮毛坯,啮合式旋转
?动画
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 优点,同一把刀具可加
工出 m,a相同而齿数不
同的所有齿轮。不仅可
加工外齿轮，而且可加
工内齿轮
? 缺点,加工不连续，生
产效率低
范成法 — 齿轮插齿
让刀运动
范成切削运动
空回运动 复位
?0 ? 范成运动
i=?0/?=z/z0
? 动画
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 优点,同一把
刀具可加工出
m,a相同而齿
数不同的所有
齿轮
? 缺点,不能加
工内齿轮。加
工不连续，生
产效率低
范成法 — 齿条插齿
切削
空回
v
?范成
让刀
复位
v=?d/2= ?mz/2
?动画
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 优点,同一把刀具可加工出 m,a相同而齿数不同的所有齿
轮。加工连续，生产效率高
? 缺点,不能加工内齿轮
范成法 — 齿轮滚齿
? 刀具, 齿轮 (条 )插刀,滚刀 ---往复直线移动 +啮合式旋转 /往复
直线移动
? 齿轮毛坯, 啮合式旋转
? 特点, 需专门机床,效率较高,精度可高,批量生产
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 范成图样
范成法 特点
9-7 根切、最小齿数和变位齿轮
一,根切
二,产生根切的原因
三,避免根切的措施
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 根切
? 切削刀具的齿顶就会切去轮
齿根部的一部分，这种现象
称为 根切
机械设计基础 —— 齿轮传动
2 根切的影响
? 降低轮齿抗弯强度
? 降低轮齿抗弯强度降低
齿轮传动重合度
? 降低轮齿抗弯强度降低
齿轮传动重合度部分失
去渐开线齿轮传动特性
一、渐开线齿廓的根切
s e
h
a
hf
c* m
分度园
分度线
分度圆
基圆
? 实际啮合线段,B1B2
? 啮合极限点 N1
? 刀具顶线不超过啮合极限
点 N1，则切制出渐开线，
不产生根切
? 刀具顶线经过啮合极限点
N1，则切制出的渐开线从
基圆开始
? 刀具顶线超过啮合极限点
N1，则在根部将已切制出
的渐开线切去，形成根切
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 结论：
? 刀具顶线超过啮合极限点 N1,(PB刀 >PN1)即发生根切
二、产生根切的原因
V刀 =r?
刀具节线
?r
rb
ra
O1
P
B1
N1
B2
B’2
根切
1 加大齿轮半径,使 PN1 ? PB刀
? 其它参数同刀具且标准,只能增加齿
数 z
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 标准齿轮无根切最少齿数
三、避免根切的措施
2/)s i n(s i n1 aa mzrPN ??
as i n/* mhPB a?刀
a2* s i n/2 ahz ?
a2*m i n s in/2 ahz ?
? 当 ha*=1.0,a=200时,zmin= 17
2 变位, 加大刀具与齿轮中心距离，使
刀具齿顶线低于 N1
? 变位量,xm，变位系数 x
? 正变位齿轮,xm>0
a
xm
a
O1
r
rb
N1
B
刀
r’
b
N’1
O’1
P
h* a
m
B’刀
9-8 齿轮的材料
轮齿材料的基本要求,齿面要硬，齿芯要韧
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 锻钢 ---（中低碳钢、合金钢）
? 齿表面硬度 <=350HBS的齿轮
? 热处理：调质或正火
? 小齿轮硬度 >大齿轮 25-50HBS
? 常用材料,45,35SiMn,
40Cr,35CrMn...
? 铸钢
热处理：正火，回火
材料,ZG310-570,ZG340-640
应用：大尺寸齿轮（ 400-600）
?齿表面硬度 >350HBS的齿轮
?热处理：淬火,表面淬火 ---40-
60HRC
?常用材料,45,35SiMn,40Cr,
20CrMnTi…
? 铸铁
材料,HT200,HT300,QT500-7
应用：开式、低速、无冲击场合
? 非金属材料
?材料：布（木）质塑料、尼龙
?应用：高速、轻载、要求噪声低
9-9 轮齿的失效形式及计算准则
一、失效形式
1 轮齿折断
2 齿面磨料磨损
3 齿面疲劳点蚀
4 齿面胶合
二,计算准则
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 轮齿折断
产生原因,
? 齿根弯曲应力大
? 齿根应力集中
折断类型,
? 疲劳折断 — 反复应力 ?疲劳裂纹 ?轮齿疲劳折断
? 突然折断 — 齿轮为脆性材料时，受到过载或冲击时
产生
? 变形折断 — 制造或安装不准确，以及轴的变形 引起
发生部位：
? 轮齿根部 (全齿折断 )、缺角 (斜齿轮局部折断 )
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 增大齿根过渡圆角、消除加工倒痕 ?减小应力集中
? 增大轴及支承的刚性 ?受载均匀
? 合适热处理 ?齿芯具有足够韧性、表面强化
Fn
2 齿面磨料磨损
发生机理：
? 磨料 (沙粒、铁屑等 )进入啮合
区 ?齿面 磨损
? ?齿形破坏
? ?齿根减薄（根部严重） ?断齿
发生部位,齿面
发生状况：
? 开式齿轮传动的主要失效形式
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 加强润滑
? 开式改闭式传动
3 齿面疲劳点蚀
产生原因,
? 轮齿在节圆附近一对齿受力，
载荷大
? 滑动速度低形成油膜条件差
? 接触疲劳产生麻点
发生部位：
? 偏向齿根的节线附近
? 闭式齿轮传动的主要破坏形式
? 开式传动中一般不会出现点蚀
现象
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 提高材料硬度 ?增强抗点蚀能力
? 合理选择润滑油 ?防止 裂纹扩展
4 齿面胶合
产生原因,
? 高速重载；散热不良；
? 滑动速度大；齿面粘连后撕脱
发生部位：
? 沿运动方向撕裂
机械设计基础 —— 齿轮传动
采取措施,
? 减小模数，降低齿高
? 抗胶合能力强的润滑油
? 材料的硬度及配对
?防齿面点蚀 ?齿面接触疲劳强度计算 ?求尺寸 d或 a
? 限制接触应力
?防轮齿折断 ?齿根弯曲疲劳强度计算 ?求模数ｍ
? 限制弯曲应力
机械设计基础 —— 齿轮传动
闭式 软 齿面 —— 以保证 接触 疲劳强度为主
闭式 硬 齿面 —— 以保证 弯曲 疲劳强度为主
开式传动 —— 以保证弯曲疲劳强度为准则
二、计算准则
9-10 直齿轮轮齿表面接触疲劳强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿的接触疲劳强度计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 假设：单对齿啮合，力作用在
节点 P，不计 Ff
? 轮齿间的总压力 →法向力 Fn,沿
啮合线指向齿面
1 Fn 的分解：
? 圆周力 Ft、径向力 Fr
? 圆周力 Ft:沿节圆切线方向指向
齿面
? 径向力 Fr:沿半径方向指向轮心
机械设计基础 —— 齿轮传动
2 作用力的大小：
? Ft＝ 2T1/d1
? Fr＝ Ft·tana
一、作用力的分析
FnFr
Ft
a
T1 －小齿轮传递的转矩,Ｎ ·mm
d1 －小齿轮节圆直径,mm
a －啮合角
? 轮齿齿面的接触疲劳强度计算近似以节点为准
? 有曲率的齿廓接触点 →接触应力 →赫兹公式
? 校核公式：
机械设计基础 —— 齿轮传动
设计公式：
二、轮齿的接触疲劳强度计算
M P aiibKTa HH ][)1(335
3
1 ?? ????
mmi KTia
Ha
3
2
1
][)1(48 ????
? 由式可知，当齿轮的材料、传动比及齿宽系数一定时，由
轮齿表面接触强度所决定的承载能力，仅与中心距有关，
即中心距越大，承载能力越强，相应实际应力越小
? 齿宽系数越大，中心距越小
? [?H]的取值, 具体见 p195表 9?5
? [?H] ? min([?H]1,[?H]2)
9-11 直齿轮轮齿弯曲疲劳强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿的弯曲疲劳强度计算
三,例题
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 简化,计算轮齿的弯曲强度时，可
将轮齿看作一个悬臂梁。且认为只
有一对轮齿传递全部载荷
? 轮齿的疲劳折断与弯曲疲劳强度有
关
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 法向力可以分解为两个分力：
? 弯曲分力 FH = Fn cos?
? 压缩分力 Fv = Fn sin?
一、作用力的分析
FH
FV Fn
Fn
?
?
s1
l
? 危险剖面的弯曲应力为：
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式：
设计公式：
二、轮齿的接触疲劳强度计算
? 注意：
1 齿宽系数、齿数 z1
2 许用弯曲应力 [?F]：表 9?7
3 [?F]的取值, min([?F]1/YF1,[?F]2/YF2)
F
tn
F Ybm
F
bs
lF
W
M ????
2
1
co s6 ??
YF为齿形系数，只与齿形有关，
即与压力角、齿顶高系数、齿数有
关，而与模数无关。见表 9-6a
?
c o s)(
c o s)(6
21
m
s
m
l
Y F ?
MP ambz YKTmbd YKT FFFF ][22 2
1
1
1
1 ?? ???
mmiz YKTm
Fa
F3
21
1
])[1(
4
?? ??
1 压力角 a的选择：
? 一般齿轮 α=20°； 航空用齿轮 α=25°
2 齿数 z的选择
? d1一定，齿数 z1↑→重合度 ↑平稳性好 →m小 →加工量 ↓，但齿
轮弯曲强度差
? 闭式软齿面, z1宜取多 →提高平稳性,z1=20~40
? 开式或闭式硬齿面,z1宜取少 →保证轮齿弯曲强度,z1 ≥17
机械设计基础 —— 齿轮传动
3 齿宽系数的选择
? ?d↑→ b↑ →承载能力 ↑(p196) 但载荷分布不 均匀 ↑→应取得
适当
? 计算 (实用 )齿宽, b= ?dd1,B1=b+5~8,B2=b
相关参数选择
例题 1
?已知：如图
?求：齿轮 2,3的圆
周力的方向
机械设计基础 —— 齿轮传动
正确
习题
A向
Z1
Z4
Z2
Z3
A B C D
Ft2Ft1
Ft3 Ft4
例题 2
?已知：如图
?求：齿轮 2,3的圆周
力的方向
机械设计基础 —— 齿轮传动
正确
习题
Z4 Z3
Z1 Z2
A向
Ft2Ft1
Ft4
Ft3
A B C D
9-12 斜齿圆柱齿轮传动
一,齿廓曲面的形成和啮合特点
二,主要参数和几何尺寸
三,斜齿轮的啮合传动
四,斜齿轮传动的特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、齿廓曲面的形成和啮合特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 直齿轮齿廓曲面的形成 斜齿轮齿廓曲面的形成
B
A A
K K
发生面
B
A
A
K
发生面
?b
发生面
K
端面齿形
1 齿廓曲面的形成
? 共性, 发生面在基圆柱上作纯滚动
? 不同,(直齿轮 )直线 KK与母线平行 ?渐开线面
? (斜齿轮 )直线 KK与母线成 ?b角 ?渐开线螺旋面
渐开线
2 斜齿轮啮合特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 斜齿轮 齿
? 分 左旋、右旋
? 直齿轮齿
渐开线
螺旋面
1
K
K
啮合面
2
齿面接触线
? b
啮合特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
斜齿轮,
? 齿面接触线为斜线
? 逐渐进入 /脱离啮合 (加载 /卸载 )
? 传动平稳，冲击，振动，噪音小
直齿轮：
? 齿面接触线与齿向 (轴线 )平行
? 突然进入 /脱离啮合 (加载 /卸载 )
? 传动平稳性差，冲击，振动，噪
音大
直齿圆柱齿轮 齿面接触线
斜齿圆柱齿轮
二、主要参数和几何尺寸
机械设计基础 —— 齿轮传动
??端、法面参数不同！
??标准参数在法面上，端面表达尺寸简洁、明了！
??法面参数为标准参数，将其换算至端面上，在端
面上计算斜齿轮的几何尺寸
问题讨论：
?? 端面齿形与齿向法面齿形
?? 加工过程刀具与轮齿的相对位置与进刀方向
?? 标准参数所在平面
?? 端、法面哪个面上表达尺寸更为简洁、明了
? 端面参数 (t)、法面参数 (n)
? 端面齿距 pt与法面齿距 pn关系
机械设计基础 —— 齿轮传动
?mt= mn/cos?
1 法面模数 mn与端面模数 mt
分度圆柱
B
?
pt
?
?d
d
???? c o sc o s ttnn mpmp ???
展 开
? 端面参数 (t)、法面参数 (n)
? 端面 压力角 at与法面压力
角 an关系
机械设计基础 —— 齿轮传动
?tanat= tanan/cos?
2 法面压力角 an与端面压力角 at
? ?a’
b’
an
a c
b
at''
't a n
ba
ca
n ?a ''t a n ba
ac
t ?a
'abab ?
?c o s' ?? acac
?分度圆直径 d,?
?d=mtz=zmn/cos?
机械设计基础 —— 齿轮传动
?中心距 a,?
?a=(d1+d2)/2=mn(z1+z2)/2cos?
?其余见 p207表 9?8
3 其它几何尺寸
B
?
pt
?
?d
d
三、斜齿轮的啮合传动
机械设计基础 —— 齿轮传动
1 正确啮合条件
2 重合度
3 当量齿轮与当量齿数
4 小结
1 正确啮合条件
机械设计基础 —— 齿轮传动
螺旋线旋向判别：
? 将齿轮轴线垂直，螺旋线右边高 —— 右旋
? 螺旋线左边高 —— 左旋
? mn1= mn2,an1= an2 （ mt1= mt2, at1= at2 ）
? 外啮合,?1 = ??2
? 内啮合,?1 = ?2
左旋
右旋
? 直齿轮传动：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 斜齿轮传动,
2 斜齿轮传动的重合度
B
B?
b
L?L
`
B1
B1
B2
B2
p
L
p
L
t
??a?
tp
L??
??
轴面重合度
端面重合度
nm
B
?
?s in?
bt
b
p
Btg??
?a? ??? ??
实际啮合区
实际啮合区
问题讨论,
?? 仿形法加工斜齿轮如何确定刀号
?? 范成法加工斜齿轮，无根切最少齿数如何确定
?? 与法面齿形相当的直齿轮是什么样的齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
?? 法面齿形与刀具齿形相同，仿形法加工斜齿轮应按法面
齿形确定刀号
?? 无根切最少齿数应依法面齿形为依据
? 当量齿轮, 与斜齿轮法面齿形相当的虚拟的直齿圆柱齿轮
? 当量齿数 zv,当量齿轮的齿数
3 当量齿轮与当量齿数
椭圆：
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 当量齿轮的当量齿数 zv:
当量齿轮与当量齿数
?
a
b
C
?
当量齿轮
C
模
数
？
?co s2
da ?
2
db?
?? 2
2
co s2
d
b
a ??
nm
?2
?2co sn
t
m
zm??vz
?3cos
z?
?2c o snm
d?
? 当量齿轮 (数 )的意义,
? 据 zv 选铣刀
? 无根切最少齿数 zmin = zvmin cos3?
? 计算轮齿强度
节点处曲率半径
? 斜齿轮的几何参数分 端面参数 (t),法
面参数 (n)
? 加工斜齿轮的轮齿时，刀具沿螺旋齿
槽方向切削
? 法面参数与刀具参数相同
? 定义法向模数为标准模数
? 法面参数是标准参数,也是斜齿轮的
强度计算参数
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 从斜齿轮的端面看，斜齿轮的啮合传动与直齿轮的啮
合传动一样
? 端面参数也可以认为是斜齿轮的几何计算参数
4 小结
? ?a’
b’
an
a c
b
at
四、斜齿轮传动的特点
机械设计基础 —— 齿轮传动
缺点：
? 工作时产生轴向力,螺旋角越大，轴向力越大
? 解决,控制螺旋角大小、人字齿
优点：
? 啮合性能好,轮齿进入和脱离啮合渐进渐退，传动平稳，噪音小
? 重合度大,相对提高齿轮承载能力，延长寿命
? 范成加工不易根切
? 制造成本与直齿轮同
Fn Fr
Fa
?
Fn Fr
Fa
FnFr
Fa
Fa = Ft tg? 人字齿轮
9-13 斜齿轮传动强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿表面接触疲劳强度计算
三,轮齿弯曲疲劳强度计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 条件：标准齿轮并忽略摩擦力
β— 螺旋角,αn— 法面压力角,αt—
端面压力角
? 圆周力 Ft:
? 径向力 Fr:
? 轴向力 Fa:
? 法向力 Fn:
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 各力关系：
? Ft1= ? Ft2 Fr1= ? Fr2 Fa1= ? Fa2
一、作用力的分析
11 /2 dTF t ?
?a co s/t a n ntr FF ?
?t a nta FF ?
?a c o sc o s/ ntn FF ?
? 径向力 Fr,指向各自圆心
? 圆周力 Ft,利用转向判断
? 主动轮 —— 与转向相反
? 从动轮 —— 与转向相同
? 轴向力 Fa,取决于齿轮的转向和轮
齿的旋向
? 用,主动轮左、右手方法,来判断
：
? 主动轮为右旋，握紧右手，四指弯
曲方向表示主动轮的回转方向，拇
指的指向即为作用在主动轮上轴向
力 Fa的方向；若主动轮为左旋，用
左手
? ★ 不能用在从动轮上
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 例 1：
方向判定
Ft1
Fr1
Fr2
Ft2 F
a1Fa2
? 与直齿轮相比，其特点：
? 总合力作用于法平面内 ；重合度大；接触线是倾斜的、变化的；螺旋
角对疲劳强度有利
? 斜齿轮强度计算的模型：
? 斜齿轮法面上的当量直齿轮
? 把斜齿圆柱齿轮的强度计算问题转化成直齿圆柱齿轮的强度计算问题
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
法向模数：
二、轮齿表面接触疲劳强度计算
M P aiibKTa HH ][)1(312
3
1 ?? ????
mmi KTia
Ha
3
2
1
][)1(46 ????
21
co s2
zz
am
n ??
?
？ 讨论：
相同条件下，斜齿
轮接触应力比直齿
轮小，即斜齿轮接
触强度比直齿轮大，
原因何在？
? 与直齿轮相比，其特点：
? 接触线倾斜；轮齿局部折断
? 斜齿轮强度计算的模型：
? 斜齿轮的弯曲强度计算也按当量齿轮 进行
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
三、轮齿弯曲疲劳强度计算
M P ambz YKTmbd YKT F
n
F
n
F
F ][
c os6.16.1
2
1
1
1
1 ??? ???
mmiz YKTm
Fa
F
n
3
2
1
1
])[1(
1.3
?? ??
讨论：
斜齿轮与直齿轮比，哪一个弯曲应力较小？
哪一个弯曲强度大？
9-14 圆锥齿轮传动
一,概述
二,当量齿轮及当量齿数
三,几何参数和尺寸计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
一、概述
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 分类：
? 直齿圆锥齿轮
? 斜齿圆锥齿轮
? 曲齿圆锥齿轮
? 应用,传递交错轴之间的运动和动力，一般 ?=90°
? 特点：
? 轮齿分布在圆锥面上，圆柱 ?圆锥
? 大端参数标准化,GB12368-90
? 小轮常悬臂安装，刚度低
二、当量齿轮及当量齿数
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 轨迹是球面上的渐
开线，齿廓曲面为
球面渐开线曲面
1 直齿圆锥齿轮齿廓的形成
? 发生面在基圆锥上纯滚动
C
O S R
A
B
基圆锥
发生圆平面
渐开线！ 形状？球面渐开线
2 直齿圆锥齿轮的背锥
机械设计基础 —— 齿轮传动
背 锥
r
?
O1
O
?c o s
rr
v ?
3 直齿圆锥齿轮的当量齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 其齿数称为当量齿数 zV
? 齿形与大端齿形相近的直齿轮
? 背锥 ?展开成扇形齿轮 ?补足为完整
的圆柱齿轮（称为 当量齿轮 ）
? 半径
r 1
?1?
2
a
O o1
rv2
N1
O2
O1
P
O2
N2
?c o s
rr
v ?
m
rz v
v
2?
?co s
2
m
r?
?cos
z?
? 无根切最少齿轮数：
?c o sm i nm i n Vzz ?
? 当量齿轮含义：同斜齿轮
三、几何参数和尺寸计算
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 同直齿轮相同的尺寸：
? d = mz
? ha = h*am
? hf = (h*a + c*)m
? 尺寸计算见表 10-9
1 正确啮合条件
? 两个当量齿轮的模数、压力角分别相等，即两圆锥齿轮大端的模
数、压力角分别相等
? 两轮的锥距相等，锥顶重合
2 连续传动条件
? 重合度大于或等于 1（当量齿轮计算）
3 传动比
11
2
1
2
1
2
2
1 t a n1s i ns i n ??? ????? zzddnni
d 1
?1
df2
d2
da2
O
?f
?a2
2
?a1
1
?2?f2
9-15 直齿圆锥齿轮传动强度计算
一,作用力的分析
二,轮齿表面接触疲劳强度计算
三,轮齿弯曲疲劳强度计算
四,例题
机械设计基础 —— 齿轮传动
? 假定,法向力 Fn作用于齿宽中点
? 法向力分解成三个分力：
? 圆周力 Ft:
? 径向力 Fr:
? 轴向力 Fa:
机械设计基础 —— 齿轮传动
δ1 — 小齿轮分度圆锥角
dm1 — 小锥齿轮齿宽中点分度圆直径
? 各力关系：
? Ft1= ? Ft2 Fr1= ? Fa2 Fa1= ? Fr2
一、作用力的分析
111 /2 mt dTF ?
111 c o st a n ?atr FF ?
111 s i nt a n ?ata FF ?
2
1
Fr1
Fa2
Fa1Fr2
? 锥齿轮强度计算的模型：
? 锥齿轮的强度等同于齿宽中点处的当量直齿圆柱齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
二、轮齿表面接触疲劳强度计算
][)1(5.0335 1
32
HH ib
KTi
bR ?? ?
?
??
3
][)5.01(148 22
12
RHR i
KTiR
???????
锥距，不能圆整
111 s i n2 ?Rmzd ??
? 锥齿轮强度计算的模型：
? 锥齿轮的强度等同于齿宽中点处的当量直齿圆柱齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
校核公式,
设计公式,
三、轮齿弯曲疲劳强度计算
大端模数。
计算后向上圆整
成标准值
3
1][
)5.01(4
22
1
1
?
??
iz
YKTm
FR
RF
m
??
?
MP azbm YKT F
m
F
F ][
2
1
2
1 ?? ??
设计时取大值代入
按当量齿
数 zv =
z/cosδ查取
? 已知：转动方向，如图
? 求：齿轮 1,2的旋向，并画出齿轮 2,3各力的方向
机械设计基础 —— 齿轮传动
解：
例题 习题
Fr3
Ft2
Ft3
1
2
3
4F
a3
Fa2F
a1
Fr2
9-16 齿轮的构造
齿轮的结构形式, → 由直径确定
齿轮轴 － ｅ ≤(2～ 2.5)mn （轮与轴同材料）
实心齿轮
腹板式齿轮
轮幅式齿轮
组装式齿轮
机械设计基础 —— 齿轮传动
自学
