青岛科技大学 大学物理讲义
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一 矢量 (vector)
标量 (scalar quantity),只具有大小而没有方向的物理
量，我们把它称之为标量。
矢量,有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述
它，还需要用方向来描述它。例如说，我们只知道一
个人从学校门口走了 1公里，就无法确定他到了什么
地方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们就能
确定他到了什么地方了。这种 既具有大小又具有方向
的物理量，我们把它称之为矢量 。
矢量与标量的根本区别是有没有方向。
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矢量的模 (module),矢量的大小称为矢量的模。矢量
的模记为,或 。
AvA
||Av
矢量具有平移不变性 (translation invariant),把矢量在
空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质
称为矢量平移的不变性。
二 矢量的表示
在直角坐标 (rectangular coordinates)中的表示,一个
矢量,可以用它在直角坐标系中的三个投影分量
(component) 和 来表示：
Av
xyAA,zA
x y zA A i A j A k? ? ?
vv vv
,单位矢量,分别指向三个坐标轴的正向。i j kvvv、,
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在球坐标中的表示：
AA A e?
v v
其中,为矢量 的模,为指向矢量 方向的单位
矢量 (unit vector)。
A Av Aev Av
方向余弦 (directional cosine),一个矢量 与直角坐标
三个坐标轴正向的夹角 和 称为矢量 的方向
余弦。显然有：
??、
Av?
Av
c o s xA
A
? ?c os yA
A
? ?c o s zAA? ?
( c o s c o s c o s )A A i j k? ? ?? ? ? vv vv用方向余弦表示
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三 矢量的合成
1,矢量相加 (addition)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y z x y z
x x y y z z
A B A i A j A k B i B j B k
A B i A B j A B k
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
vvv v v v v v
vvv
2,矢量相减 (minus)
由于矢量 与 方向相反，大小相等，有：B?v Bv
x y zB B i B j B k? ? ? ? ?
vv vv
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矢量相减
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y z x y z
x x y y z z
A B A i A j A k B i B j B k
A B i A B j A B k
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
vvv v v v v v
vvv
矢量的加减 合称为矢量的合成 (compose,sum)
四 矢量的标积与矢积
1,矢量的标积 (scalar product)
c o sA B A B ??v vg
矢量的标积也称为矢量的 点乘,定义为
标积的定义得：
1i i j j k k? ? ?vvv v v vg g g
0i j j i i k k i j k k j? ? ? ? ? ?v v v vv v v v v v v vg g g g g g
实质是一
矢量大小
与另一矢
量在其方
向上投影
大小乘积
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矢量的标积遵守
A B B A?vvvvgg
()A B C A C B C? ? ?v v v v vvvg g g
(1) 交换率：
(2) 结合率：
2,矢量的矢积 (vector product)
矢量的矢积也称为矢量的 叉乘,定义为：
s i nA B A B e???v v v
其中 为由 和 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。ev Av Bv
由矢积的定义得：
0i i j j k k? ? ? ? ? ?vvv v v v
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i j k j k i k i j? ? ? ? ? ?v v vv v v v v v
j i k k j i i k j? ? ? ? ? ? ? ? ?v v vv v v v v v
i j k i j k i j k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?vvvv v v v v v
记忆方式
正向叉乘为正，逆向叉乘为负。
叉乘具有以下性质：
(1) 不遵守交换率,A B B A? ? ? ?vvvv
(2) 遵守分配率：
()C A B C A C B? ? ? ? ? ?v v v v vvv
(3) 平行或反平行的两矢量的矢积为 0。
注意坐
标轴的
右手螺
旋定则
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五 矢量的微积分
1,矢量的微分 (differential)
( 1 ) ( )
[ ( ) ] ( )
( 2) ( )
( 3 ) ( )
( 4) ( )
d dA dB
AB
dt dt dt
d f t A df t dA
A f t
dt dt dt
d dB dA
A B A B
dt dt dt
d dB dA
A B A B
dt dt dt
? ? ?
??
??
? ? ? ? ?
v v
v v
vv
v
vv
vvvv
g g g
vv
vv vv
　
只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
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作为 (1)式的特例，对直角坐标下的矢量：
x y zA A i A j A k? ? ?
vv vv
yx zdAdA dAdA i j k
dt dt dt dt
? ? ?
v vvv有
作为 (2)式的例子，在球坐标下的矢量：
AA Ae?
v v
A
A
dedA dA eA
dt dt dt
??
v v
v
有
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2,矢量的积分 (integral)
（ 1）对时间 t 的积分：
22
11
2 2 2
1 1 1
()
( ) ( ) ( )
tt
x y z
tt
t t t
x y z
t t t
A dt A i A j A k dt
A dt i A dt j A dt k
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
vv vv
vvv
（ 2）沿曲线 s 的线积分：
2 2 2
1 1 1
( ) ( )
x y z
ss
x y z
x y z
x y z
A d s A i A j A k d xi d y j d z k
A d x A d y A d z
? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
vvv v v v vv
gg
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六 位置矢量 (position vector)
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系,
1 参考系 (reference system)
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，
这就是运动描述的相对性, 实例
研究某一物体的运动时,如果 可以忽略其大小和形
状对物体运动的影响，就可以把物体当作是一个具
有质量的点（即 质点 ）来处理,
2 质点 (material point,mass point)
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型,
目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考虑一
些次要的因素,
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3 位置矢量 (position vector)
r?
*P
x
y
z x
z
y
o
kzjyixr ???? ???
2 2 2r r x y z? ? ? ?v
位矢 的大小 (模 )为r?
确定质点 P某一时刻在
坐标系里的位置的物理量称
位置矢量,简称位矢,在直
角坐标中，它的表达式为：
r?
式中,, 分别为 x,y,z
轴方向的单位矢量,
i? j? k?
iv
jv
kv
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rx??c o s
rz??c o s
ry??c o s
位矢 的方向余弦r?
P
P
r?
?
?
?
x
z
y
o
x
z
y
o
4 轨迹方程 (equation of locus)
)(tr?
)(tx
)(ty
)(tz
曲线的方程既可以表示为
0),,( ?zyxf
也可以用直角坐标的三个
分量表示成
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( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k? ? ? vvvv
由轨迹方程的矢量形式，我们马上可以写出曲线方程
的分量式,从分量式中消去参数,就可以得到得我
们熟悉的曲线方程 t
也可以表示成一个矢量末端的运动轨迹
0),,( ?zyxf
)(txx ?
)(tyy ?
)(tzz ?
分量式
(参数方程 )
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例如 已知螺旋线的参数方程为
c o sxa ?? s inya ?? zb??
则其矢量方程为
c o s s i nr a i a j b k? ? ?? ? ? vvvv
矢量 对自变量 的导数rv ?
s in c o sdr a i a j b k
d
??
?
? ? ? ?
v vvv
如果自变量 还是时间 的函数，有? t
si n c o sd r d d da i a j b k
d t d t d t d t
? ? ???? ? ? ? ? ? ?v vvv
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运动描述的相对性
母亲带着听话的儿子上了一辆公共汽车，汽车飞速
行驶时，母亲对儿子说：“站好了，别动。”儿子听话
的好好站着，这时若以母亲为参照系，儿子是静止的，
若以地面的观测者为参照系，小孩是运动的。 返回