青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
一 位移 (displacement)与路程 (path)
x
y
o
B
2r
v
1r
v
A r??
21r r r? ? ?v v v
位置矢量的变化量，称为 位
移矢量,简称 位移 。如图所
示，经过时间间隔 后,位
置矢量由 变到,位移
t?
2rv1rv
L
路程,位置矢量末端运动轨
迹 的长度。常用 表示。L s?
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1| | | | ( ) ( ) ( )r r r x x y y z z? ? ? ? ? ? ? ? ?
v v v
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 1 1 1r r r x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ?注意
||rr? ? ? v
青岛科技大学 大学物理讲义
位移与路程的区别
（ B） 一般情况,位移大小不等于路程。
rs? ? ?v
（ A）位移是矢量,路程是标量。
什么情况下？sr ????
2,当 时 。0??t sr ??? ?
（ C） 两点间的路程是 不唯一的,而位移是唯一的。
1,不改变方向的直线运动 ;
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二 质点运动的速度和加速度
x
y
o
B
2r
v1
rv
A r??
s?
2 2 2| d | d d dr x y z? ? ?v于是有：
在高等数学中，我们知道曲线弧长的微分元为
2 2 2d d d ds x y z? ? ?
| d | drs?v得
1,质点运动的速度 (velocity)
r x i y j z k? ? ? vvvv
d d d dr x i y j z k? ? ? vvvv
青岛科技大学 大学物理讲义
当质点运动时，其位置矢量也随时间 t 而变化。位矢对
时间 t 的微分
d d d
d d d
r r s
t s t
??
vv
e? ? ?v vvvv
：位矢变
化方向的
单位矢量
evv
速度, 某一时刻物体运动速度的大小为该点 速率,
速度的方向为位矢变化的方向－－即轨迹切线的方向，
指向时间 t 值增大的一方。
vv
速率 (speed), 描述质点运动的快慢，即运动物
体在单位时间内经过的距离。
d / dst
平均速度
(average velocity)
r
t
?
?
v
平均速率
(average speed)
s
t
?
?
青岛科技大学 大学物理讲义
我们一般所说的速度都是指 瞬时速度 (instantaneous
velocity)
2,质点运动的加速度 (acceleration)
速度的大小等于速率，速度
是个矢量，速率是个标量。
位置矢量对时间 t的导数我们定义为速度，速度是个
矢量，速度对时间 t 的导数我们定义为 加速度, 2
2
d d d d
d d d d
rra
t t t t
??? ? ?
????
vv vvv
它是一个 反映速度变化快慢的物理量。
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三 在直角坐标系下速度与加速度的表示方式
速度
d
d
r
t
?v
vv
加速度
2
2
dd
dd
ra
tt
??v
v vv
上面的定义式并没有牵涉到具体的坐标系，也即没有
牵涉到位矢 的具体表示形式。rv
在直角坐标系中 r x i y j z k? ? ? vvvv
d d d
d d d
x y zi j k
t t t
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vvvv
2 2 2 2
2 2 2 2
d d d d
d d d d
r x y za i j k
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1,速度与加速度的表示方式
青岛科技大学 大学物理讲义
2
2
2
2
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2
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x
x
y
y
x
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z
z
v
v
vz
速度和加速度在直角坐标中的三个分量分别为
x
dx
dt
?v
y
dy
dt
?v
z
dz
dt
?v
加速度也可以分为切向分量 (tangential component)和
法向分量 (normal component)，如何分？
速度能不能分为切向分量和法向分量？有没有必要？
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3,加速度为恒矢量时
ta d
dv??? ? ??v
v v
?
?
??
0 0
dd t ta
积分可得 ta??? ??
0vv
ta yyy ?? 0vv ta xxx ?? 0vv写成分量式
?? ?? trr ttar 0 0 d)(d0 ???
?
? vtr dd v???
2,速度为常矢量时
C?v vv 0a ?v
t? 时间内物体运动的距离
st??v
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写成分量式为
2
00 2
1 tatyy
yy ??? v
2
00 2
1 tatxx
xx ??? v
jaiaa yx ??? ?? 00xyij??0v v v
vvv利用
例如：对斜抛运动，取 x 轴为水平轴,y 轴正向向
上，有
0xa ? yag??
2
00 2
1 tatrr ???? ??? v积分可得
青岛科技大学 大学物理讲义
四 二维极坐标下速度与加速度的表示方式
1,位矢的表示式
rr r e?
vv
注意：与直角坐标的单位矢量不同，沿位矢方向的单
位矢量 是一个变化的量。
re
v
2,速度与加速度的表示式
二维极坐标 (polar coordinates)下位矢的表达式为：
r
r
ded r d r er
d t d t d t
? ? ?v
vvv v
22
222
rr
r
de d ed d r dra e r
dt dt dtdt dt
? ? ? ?v
vvvvv
青岛科技大学 大学物理讲义
为了求出径向单位矢量 对时间的导数的值，我们把
径向单位矢量放回到直角坐标下进行讨论。 re
v
在直角坐标系下
c o s si nre i j???? vvv
于是有：
s in c o srde dd ij
d t d t d t
?? ??? ? ?v vv
( s i n c o s )d ij
dt
? ??? ? ?vv
定义：
s i n c o se i j? ??? ? ?vvv
有：
rde d e
dt dt ?
??v v
显然 为单位矢量。e?v
青岛科技大学 大学物理讲义
还可以证明：
r
de d
e
dt dt
? ???
v
v
于是有：
2
2
rrd e d ed
d t d tdt
???
??
??
vv
由此得到极坐标下速度的表达式：
r
r
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er
dt
dr
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r
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22
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加速度的表达式
222
2rr
d r d r d d d
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vv
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3,径向分量与横向分量
二维矢量的 变化量 相对于位置矢量 来说，可分为互相
垂直的两分量，一是与位置矢量方向一致的分量，称
为 径向分量 (radial component)；一是与位置矢量垂直
的分量，称为 横向分量 (cross component)。
在速度与加速度的极坐标表达式中，哪一项是径向分
量，哪一项是横向分量呢？
r
r
dedr
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dt
dr
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vv
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222
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( c os si n ) ( si n c os ) 0re e i j i j? ? ? ? ?? ? ? ? ?v v v vvv gg
c o s si nre i j???? vvv
s i n c o se i j? ??? ? ?vvv
前面我们已经知道
由于
所以,和 相互垂直,指向径向,与 垂直，
指向 角增大的方向。re
v e
?
v
re
v
re
v
?
e?v
在速度与加速度的表达式中，含有 的项为径向分量，
其方向指向矢径 (位矢 )方向；含有 的项为横向分量，
其方向指向 方向，即与 垂直的方向。 e?v
re
v
e?v rev
问题：径向分量是不是法向分量？横向分量是不是切
向分量？
青岛科技大学 大学物理讲义
定义：
d
dt
?? ?
对圆周运动，
0dr
dt
?
有：
re ???vv v
2
ra r e r e ???? ? ?
v v v
2
2
dd
d t d t
??? ??
4,圆周运动 (circular motion)
它表示位矢在单位时间内转过
的角度，称为 角速度 。
(angular velocity)
它表示单位时间内角速度的变
化，称为 角加速度 。
(angular acceleration)
2 d
dr
ee
rt ?
? ? ?
vvvv
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re ???v vv
2
ra r e???
vv
速度与加速度的大小不变，但方向是改变的。速度的
方向永远指向圆周的切线方向，加速度的方向永远与
位矢的方向相反指向圆周运动的圆心。
对匀速圆周运动，速度的大小不变,角速度
的大小也不变,有：
C?v
'C? ?
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例 1 如图所示,A,B 两物体由一长为 的刚性
细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体
A以恒定的速率 向左滑行,当 时,物体 B的
速率为多少？
l
v 60? ? o
解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x
y
o
A
B
l
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v?
物体 A 的速度
iitxixA ???? vvv ???? dd
物体 B 的速度
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dBy
yjj
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vvv
vv
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y?2 2 2x = l
x
y
o
A
B
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两边求导得
0dd2dd2 ?? tyytxx
即
t
x
y
x
t
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j
t
x
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y
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d
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v
Bv
沿 轴正向,当 时y 1,7 3?
Bvv
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1d ( 1, 0 s )
da t
?? ? ?v v
解：由加速度定义
例 2 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度
为,它的加速度为
问 （ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
10 ( 1 0 m s ) j??? vvv 1( 1,0 s )aj ??? vv v
0
vv
y
o
,d)1s0.1(d t
00 ??
??? tv
v v
v
t
t
y )s0.1(
0
1e
d
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0
)( - 1,0 s
00
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（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
t)s0.1(
0
1e ??? vv
m]e1[10 )s0.1( 1 ty ????
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0
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10
-1/m s?v
0v
0 /st
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2, 3 4, 6 6, 9 9, 2
8, 9 9 7 4 9, 8 9 9 5 9, 9 8 9 9 9, 9 9 9 0
v 0/10v
/st
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0/100v 0 /1 0 0 0v 0 /10000v
t)s0.1(0 1e ??? vv m]e1[10 )0.1( 1 tsy ????
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一 位移 (displacement)与路程 (path)
x
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位置矢量的变化量，称为 位
移矢量,简称 位移 。如图所
示，经过时间间隔 后,位
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路程,位置矢量末端运动轨
迹 的长度。常用 表示。L s?
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2 1 2 2 2 1 1 1r r r x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ?注意
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位移与路程的区别
（ B） 一般情况,位移大小不等于路程。
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（ A）位移是矢量,路程是标量。
什么情况下？sr ????
2,当 时 。0??t sr ??? ?
（ C） 两点间的路程是 不唯一的,而位移是唯一的。
1,不改变方向的直线运动 ;
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二 质点运动的速度和加速度
x
y
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B
2r
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在高等数学中，我们知道曲线弧长的微分元为
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| d | drs?v得
1,质点运动的速度 (velocity)
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当质点运动时，其位置矢量也随时间 t 而变化。位矢对
时间 t 的微分
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：位矢变
化方向的
单位矢量
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速度, 某一时刻物体运动速度的大小为该点 速率,
速度的方向为位矢变化的方向－－即轨迹切线的方向，
指向时间 t 值增大的一方。
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速率 (speed), 描述质点运动的快慢，即运动物
体在单位时间内经过的距离。
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平均速度
(average velocity)
r
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我们一般所说的速度都是指 瞬时速度 (instantaneous
velocity)
2,质点运动的加速度 (acceleration)
速度的大小等于速率，速度
是个矢量，速率是个标量。
位置矢量对时间 t的导数我们定义为速度，速度是个
矢量，速度对时间 t 的导数我们定义为 加速度, 2
2
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它是一个 反映速度变化快慢的物理量。
青岛科技大学 大学物理讲义
三 在直角坐标系下速度与加速度的表示方式
速度
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加速度
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上面的定义式并没有牵涉到具体的坐标系，也即没有
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1,速度与加速度的表示方式
青岛科技大学 大学物理讲义
2
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加速度也可以分为切向分量 (tangential component)和
法向分量 (normal component)，如何分？
速度能不能分为切向分量和法向分量？有没有必要？
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3,加速度为恒矢量时
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积分可得 ta??? ??
0vv
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2,速度为常矢量时
C?v vv 0a ?v
t? 时间内物体运动的距离
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写成分量式为
2
00 2
1 tatyy
yy ??? v
2
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1 tatxx
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jaiaa yx ??? ?? 00xyij??0v v v
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例如：对斜抛运动，取 x 轴为水平轴,y 轴正向向
上，有
0xa ? yag??
2
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1 tatrr ???? ??? v积分可得
青岛科技大学 大学物理讲义
四 二维极坐标下速度与加速度的表示方式
1,位矢的表示式
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vv
注意：与直角坐标的单位矢量不同，沿位矢方向的单
位矢量 是一个变化的量。
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2,速度与加速度的表示式
二维极坐标 (polar coordinates)下位矢的表达式为：
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为了求出径向单位矢量 对时间的导数的值，我们把
径向单位矢量放回到直角坐标下进行讨论。 re
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在直角坐标系下
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于是有：
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定义：
s i n c o se i j? ??? ? ?vvv
有：
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显然 为单位矢量。e?v
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还可以证明：
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于是有：
2
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由此得到极坐标下速度的表达式：
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3,径向分量与横向分量
二维矢量的 变化量 相对于位置矢量 来说，可分为互相
垂直的两分量，一是与位置矢量方向一致的分量，称
为 径向分量 (radial component)；一是与位置矢量垂直
的分量，称为 横向分量 (cross component)。
在速度与加速度的极坐标表达式中，哪一项是径向分
量，哪一项是横向分量呢？
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c o s si nre i j???? vvv
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前面我们已经知道
由于
所以,和 相互垂直,指向径向,与 垂直，
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在速度与加速度的表达式中，含有 的项为径向分量，
其方向指向矢径 (位矢 )方向；含有 的项为横向分量，
其方向指向 方向，即与 垂直的方向。 e?v
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问题：径向分量是不是法向分量？横向分量是不是切
向分量？
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定义：
d
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对圆周运动，
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有：
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2
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4,圆周运动 (circular motion)
它表示位矢在单位时间内转过
的角度，称为 角速度 。
(angular velocity)
它表示单位时间内角速度的变
化，称为 角加速度 。
(angular acceleration)
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re ???v vv
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速度与加速度的大小不变，但方向是改变的。速度的
方向永远指向圆周的切线方向，加速度的方向永远与
位矢的方向相反指向圆周运动的圆心。
对匀速圆周运动，速度的大小不变,角速度
的大小也不变,有：
C?v
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例 1 如图所示,A,B 两物体由一长为 的刚性
细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体
A以恒定的速率 向左滑行,当 时,物体 B的
速率为多少？
l
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解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x
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物体 A 的速度
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物体 B 的速度
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y?2 2 2x = l
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两边求导得
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即
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沿 轴正向,当 时y 1,7 3?
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?60??
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1d ( 1, 0 s )
da t
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解：由加速度定义
例 2 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度
为,它的加速度为
问 （ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
10 ( 1 0 m s ) j??? vvv 1( 1,0 s )aj ??? vv v
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（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
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