青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
一 角动量 (angular momentum)定理
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,
力的空间累积效应 功、动能、动能定理,
由转动定律 MJ ??v v
d d (
dd
JM J J
tt
??? ?? ? ?vvv v
定义角动量 LJ ??v v
力矩的时间、空间积累效应又如何呢？
青岛科技大学 大学物理讲义
角动量定理
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LM
d
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?
作用于刚体的合力对 定轴 的力
矩,等于刚体对该轴的 角动量 随时
间的 变化率,
刚体定轴转动的角动量定理也可以描述为
12
2
1
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－－冲量矩 等于角动量的增量,tMt
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2
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对单个质点绕定轴 Z做圆周运动，有
2 ZZL J m r e rm e r p??? ? ? ? ?v v v v v vv
力矩的时间积
累效应
青岛科技大学 大学物理讲义
? 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
? 内力矩不改变系统的角动量,
? 守 恒条件 0M ?v
若 不变,不变；若 变,也变，但 不变,J
? ? ?JL ?J
0M ?v LJ ???v v 常量，则若
讨论
exin MM ???? 在 冲击 等问题中 ?? L 常量
二 刚体定轴转动的角动量守恒定律
青岛科技大学 大学物理讲义
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力矩的功
三 力矩作功
四 力矩的 功率
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力作功我们熟悉，力矩也作功？它和力作功有什么
区别？ 力矩作功实质上就是力作功，在刚体定轴
转动时可用力矩表示。 dd
dd
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青岛科技大学 大学物理讲义
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五 转动动能
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六 刚体绕定轴转动的动能定理
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合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体
转动动能的增量,
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合外力为零，质点系的动量守恒
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外力作功与非保守内力作功之和等
于零时，质点系的机械能守恒
作用于刚体的合力对定轴的力矩等
于零时，刚体的角动量守恒
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LM
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动量守恒、机械能守恒和 角动量守恒的条件
青岛科技大学 大学物理讲义
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圆
锥
摆
子
弹
击
入
杆
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以子弹和杆为系统
机械能 不 守恒,
角动量守恒；
动量 不 守恒；
以子弹和沙袋为系统
动量守恒；
角动量守恒；
机械能 不 守恒,
圆锥摆系统
动量 不 守恒；
角动量守恒；
机械能守恒,
讨 论
子
弹
击
入
沙
袋
细
绳
质
量
不
计
青岛科技大学 大学物理讲义
例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质
量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动, 小球开始
时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 ),
然后从 A 点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求
小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球下滑的过程中
只有保守力作功，机械能守
恒，有
21s in
2
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RR
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于是有
青岛科技大学 大学物理讲义
例 2 一质量 的登月飞船,在离
月球表面高度 处绕月球作圆周运动,飞船
采用如下登月方式, 当飞船位于点 A 时,它向外侧短
时间喷气,使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与
OB 垂直, 飞船所喷气体相对飞船的速度为
,已知
月球半径 ;
在飞船登月过程中,月球的
重力加速度视为常量
.
试问登月飞船在登月过程
中所需消耗燃料的质量
是多少?m?
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B
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青岛科技大学 大学物理讲义
解 设飞船在点 A 的
速度,月球质量 mM,
由万有引力和牛顿定律 0v
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求 所需消耗燃料的质量,m?
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得
当飞船在 A点以相对速度
向外喷气的短时间里,飞船的
质量减少了 Δm而为,并获得
速度的增量,使飞船的速度
变为,其值为 v
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u
质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用,角动量守恒'm
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飞船在 A点喷出气体后,在到
达月球的过程中,机械能守恒
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例 3 质量很小长度为 l的均匀细杆,可绕过其中心 O
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平
位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处,并
背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为
m.问,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率
向细杆端点爬行?
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解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞
前后系统角动量守恒
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由角动量定理
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青岛科技大学 大学物理讲义
例 4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N弹了起来,设
跷板是匀质的,长度为 l,质量为,跷板可绕中部支撑点 C
在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷
板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多
高?
l l/2
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B
M
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解 碰撞前 M 落在
A点的速度
21
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碰撞后的瞬间,M、
N具有相同的线速度
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把 M,N和跷板作为
一个系统,角动量守恒
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例 5 一质量为,半径为 R 的圆盘，可绕一垂
直通过盘心的无摩擦的水平轴转动, 圆盘上绕有轻绳，
一端挂质量为 m 的物体, 问物体在静止下落高度 h 时，
其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计,
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解,在物体下落的过程中，只有保守力作功，机械能守恒
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2
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得
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例 6 一长为 l,质量为 的竿可绕支点 O自由
转动, 一质量为,速率为 的子弹射入竿内距支
点为 处，使竿的偏转角为 30o, 问子弹的初速率为
多少?
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解 把子弹和竿看作一个系统,
子弹射入竿的过程系统角动量守恒
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射入竿后，以子弹、细杆和
地球为系统,机械能守恒,
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一 角动量 (angular momentum)定理
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,
力的空间累积效应 功、动能、动能定理,
由转动定律 MJ ??v v
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定义角动量 LJ ??v v
力矩的时间、空间积累效应又如何呢？
青岛科技大学 大学物理讲义
角动量定理
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矩,等于刚体对该轴的 角动量 随时
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力矩的时间积
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青岛科技大学 大学物理讲义
? 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
? 内力矩不改变系统的角动量,
? 守 恒条件 0M ?v
若 不变,不变；若 变,也变，但 不变,J
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讨论
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二 刚体定轴转动的角动量守恒定律
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力矩的功
三 力矩作功
四 力矩的 功率
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六 刚体绕定轴转动的动能定理
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作用于刚体的合力对定轴的力矩等
于零时，刚体的角动量守恒
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动量守恒、机械能守恒和 角动量守恒的条件
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机械能守恒,
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例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质
量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动, 小球开始
时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 ),
然后从 A 点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求
小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球下滑的过程中
只有保守力作功，机械能守
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例 2 一质量 的登月飞船,在离
月球表面高度 处绕月球作圆周运动,飞船
采用如下登月方式, 当飞船位于点 A 时,它向外侧短
时间喷气,使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与
OB 垂直, 飞船所喷气体相对飞船的速度为
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质量减少了 Δm而为,并获得
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例 3 质量很小长度为 l的均匀细杆,可绕过其中心 O
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平
位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处,并
背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为
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例 4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N弹了起来,设
跷板是匀质的,长度为 l,质量为,跷板可绕中部支撑点 C
在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷
板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多
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把 M,N和跷板作为
一个系统,角动量守恒
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例 5 一质量为,半径为 R 的圆盘，可绕一垂
直通过盘心的无摩擦的水平轴转动, 圆盘上绕有轻绳，
一端挂质量为 m 的物体, 问物体在静止下落高度 h 时，
其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计,
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例 6 一长为 l,质量为 的竿可绕支点 O自由
转动, 一质量为,速率为 的子弹射入竿内距支
点为 处，使竿的偏转角为 30o, 问子弹的初速率为
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