青岛科技大学 大学物理讲义
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一 自由度 (degree of freedom)
kTm
2
3
2
1 2
kt ?? v?
kTmmm zyx 21212121 222 ??? vvv
单原子分子平均能量 kT213 ???
y
z
x
o
分子平均平动动能
2 2 2 21
3x y z
? ? ?v v v v
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刚 性 双 原子分子
分子平均转动动能
22
kr 2
1
2
1
zy JJ ??? ??
分子平均平动动能
2 2 2
kt
1 1 1
2 2 2Cx Cy Cz
m m m? ? ? ?v v v
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krkt ??? ??
分子平均能量
非 刚性 双 原子分子
1m2m
*C
y
z
x
自由度 分子能量中 独立的速度和坐标的二次方
项数目 叫做分子 能量自由度 的 数目,简称自由度，用
符号 表示,i
分子平均振动能量
22
v
11
22r
kx???? v
非刚性分子平均能量 k t k r v? ? ? ?? ? ?
rv,两原子相对运动速度
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平
动
转
动
振
动
单 原子分子 3 0 3
双 原子分子 3 2 5
多 原子分子 3 3 6
刚性 分子能量自由度
t r i分子
自由度 平动 转动 总
Translation
Rotation
Vibration
自由度数目 vi t r? ? ?
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六 理想气体的内能和摩尔热容
理想气体的内能,分子动能和分子内原子间的
势能之和,
RTiNE 2A ?? ?1 mol 理想气体的内能
二 能量均分定理（玻尔兹曼假设）
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
均能量都相等，均为,这就是 能量按自由度
均分定理,
kT21
分子的平均能量
kTi
2
??
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理想气体的内能mol?
2
iE R T??
dd2iE R T??理想气体内能变化
RiC V 2m,?定体摩尔热容
RiC p 2 2m,??定压摩尔热容
i
i
C
C
V
p 2
m,
m,????摩尔热容比
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实验装置
三 气体分子按速率的分布
l
l
?
?
?
?
?
?
v
v
?2??
l
Hg
金属蒸汽 显
示
屏
狭
缝 ?
?
接抽气泵
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分子速率分布图
N, 分子总数
N? 为速率在 区间的分子数,vvv ???
)/( v?? NN
o vv vv ??
S?
表示速率在 区间的分
子数占总数的百分比,NNS ???
vvv ???
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v
)(vf
o
SfNN dd)(d ?? vv
vvvv vv d
d1lim1lim)(
00
N
N
N
NN
Nf ?
?
??
?
??
????
分布函数
表示速率在
区间的分子数占总分子数的
百分比,
vvv d??
1d)(d0 ?? ?? ?0 vvfNNN归一 化条件
v vv d?
Sd
表示在温度为 的平衡
状态下，速率在 附近 单位
速率区间 的分子数占总数的
百分比,概率密度,
v
物理意义
T
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v
)(vf
o 1v
S?
2v
SfNN dd)(d ?? vv
vv d)(d NfN ?
速率位于 内分子数 vvv d??
vvvv d)(2
1
fNN ???速率位于 区间的分子数21 vv ?
vvvv vv d)()( 2
1
21 ?????? f
N
NS
速率位于 区间的分子数占总数的百分比21 vv ?
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四 麦克斯韦气体速率分布定律
反映理想气体在热动
平衡条件下，各速率区间
分子数占总分子数的百分
比的规律,
vv Nd
dNf ?)(
v
)(vf
o
2
3 2 22d 4 ( ) e d
2
m
kTNm
N k T
?
?
?
?
v
vv
麦氏 分布函数
2
3 2 22( ) 4 ( ) e
2
m
kTmf
kT
?
?
?
?
v
vv
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五 三种统计速率
pv
1） 最概然速率 (most
probable speed)
m
kT
m
kT 41.12
p ??v M
RT41.1
p ?? v
kNRmNM AA,???
v
)(vf
o pv
maxf
根据分布函数求得
气体在一定温度下分布在最概然
速率 附近单位速率间隔内的相对
分子数最多,
pv
物理意义
p
d ( )
0
d
f
?
?
vv
v
v
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N
NNNN nnii dddd 2211 vvvvv ?????? ??
2） 平均速率 (mean speed) v
N
Nf
N
N
N
??
?
?? 00
d)(d vvvv
v
M
RT
m
kT 60.160.1 ??v
v
)(vf
o0
8( ) d kTf
m?
?
???v v v v
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3） 方均根速率 (root-mean-
square speed) 2v
m
kT32 ?v M
RT
m
kT 332
r m s ??? vv
v
)(vf
o N
Nf
N
N
N
??
?
?? 0
2
0
2
2
d)(d vvvv
v
2
p vvv ??
M
RT
m
kT 60.160.1 ??v
M
RT
m
kT 22
p ??v
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同一温度下不同气
体的速率分布
2H
2O
0pv pHv v
)(vf
o
N2 分子在不同温度
下的速率分布
KT 3001 ?
1pv 2pv
KT 12 002 ?
v
)(vf
o
8 kT
m?
?vp 2 kT
m
?v 2 3 kT
m
?v
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讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念
下面哪种表述正确？
（ A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率,
（ B） 是速率最大的速度值,
（ C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值,
（ D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大,
pv
pv
pv
pv
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例 计算在 时，氢气和氧气分子的方均
根速率,rmsv
C27?
1H m o lkg0 0 2.0 ???M
1O m o lkg0 3 2.0 ???M
11 m o lKJ31.8 ?? ???R
K3 0 0?T
M
RT3
rm s ?v
13r m s sm1093.1 ????v氢气分子
1r m s sm483 ???v氧气分子
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例 已知分子数,分子质量,分布函数
求 1） 速率在 间的分子数； 2）速率
在 间所有分子动能之和,
vv ~p)(vf
N m
?~pv
vv d)(d NfN ?速率在 间的分子数vvv d??
1）
p
( ) dNf? v
v
vv
2）
p
21 ( ) d
2
m Nf??
v
v v v
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例 如图示两条 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线,从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率,
vv ~)(f
)O()H( 22 mm ??
)O()H( 2p2p vv ??
m /s2 0 0 0)H( 2p ?? v
4
2
32
)H(
)O(
)O(
)H(
2
2
2p
2p ???
m
m
v
v
m /s500)O( 2p ?? v
)(vf
1sm/ ??v2000o
p
2 kT
m
?v