青岛科技大学 大学物理讲义
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一 点电荷电场的 电势 (electric potential)
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点电荷电场力作功 l?d
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0
0
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? 被积函数可以写成某个函数的全微分
1、被积函数可以写成某个函数的全微分的形式；
2、积分与路径无关；
3、回路积分等于 0；
三种描述等价
d0El??? vv?
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静电场力是保守力 (conservative force),静电场
是保守场 (conservative field)。 可以引入势能来描述
一个过程中电场力所作的功。
d d ( )BBAAW F r G r? ? ???v vv
定义 电势能 (electric potential energy)
()pE G r C? ? ?v
电势能的 大小 是 相对 的，电势能的 差 是 绝对 的,
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电荷 在点电荷 产生的电场中具有电势能0q q
0
04 π
p
qqEC
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取两电荷相距无穷远时电势能为 0,有
0
04 π
p
qqE
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显然
004 π
pE qV
qr ?
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与引入的电荷 无关，它反映的是电荷 产生的
电场的一种属性,把它称为电场的 电势 。0
q q
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二 任意电场的电势
由电场强度的叠加原理，任意一个带电体产生的电
场强度都可以看成是许许多多点电荷产生的电场强
度的叠加。
于是，我们仍然有：
1 静电场力做功与路径无关，静电场的回路积
分零，即
d0El??? vv?
这个结论称为 静电场的环路定理 (circuital theorem)
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p p A p BW E E E? ? ? ? ?
电荷 在 A 点的电势能0q
0 d
B
p A p B p BAE W E q E l E? ? ? ? ??
vv
以 B 点处的势能为零，得
0 d
B
p A A B AE W q E l?? ? ??
vv
把电荷 从 A 点移到 B 点，电场力作功0q
2 可以引入电势能来描述一个过程中静电场力所作
的功
pWE? ? ?
试验电荷 在电场中某点的电势能，等于把 试
验电荷 从该点移到零势能处静电场力所作的功。 0q
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3 多个点电荷在 A 点产生的电势
0 0 0
1
4 π
p A p i i
A
i
EE q
V
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0
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B
pBpA A
A
q E d l EE
V
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B
BA E d l V? ? ??
vv
以无穷远为电势零点，
带电体的电势 0
d
4 πP
qV
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? ?
以 B 点为电势零点，有
B
A AV E d l???
vv
积分区域为电
荷分布区域
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电势零点选择方法,有限带电体以无穷远处为电
势零点，实际问题中常选择地球电势为零,
? ???? ABBAAB lEVVU ?? d
电势差
物理意义 把单位正试验电荷从点 A移到无穷远
时，静电场力所作的功,
dA
A
V E l???? vv
0pE q V?
点电荷 在电势0q
V 处的电势能
若以无穷远
处电势为零
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(将单位正电荷从 移到 电场力作的功,)A B
? ???? ABBAAB lEVVU ?? d
电势差 (electric
potential difference)
电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；
某点电势大小是相对的，与电势零点的选择有关,
注意
0 0 0()A B B A B AW q V q V q U? ? ? ? ?静电场力的功
J106 0 2.1eV1 19???原子物理中能量单位
单位,伏特 ）（ V
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求电势
的方法
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q
V P
0π 4
d
?
? 利用
? 若已知在积分路径上 的函数表达式，
则
E?
lEV
V
A
A
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0
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? 点
（利用了点电荷电势,
这一结果已选无限远处为电势零点，即使
用此公式的前提条件为 有限大 带电体且选
无限远 处为电势零点,）
rqV 0π 4/ ??
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0π 4 Rx
q
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+ +
+
+
+
+
+
++
++
++ +
R r
例 1 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上,
求 圆环 轴线上距环心为 处点 的电势,
q R
x P
ld
x
P
R
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讨 论
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均匀带电薄圆盘轴线上的电势
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讨论电势在
时的渐近行为
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(点 电荷电势 )
22
0
( )
2
V x R x?
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22 1x R x ?? ? ?22/Rx? ?
2131
24
x ????? ? ? ? ? ? ???
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2
2
Rx
x
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此处还可以用
22x R x??? ? ? ?2 2 2 2
22
x R x x R x
x R x
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04 πV Q x??
2
22
R
x R x
?
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例 2 均匀带电球壳的电势,
+ ++
+ +
+
+ +
+
++
Q
R
真空中，有一总电量为,半径为 的带电球壳,Q R
试求（ 1）球壳外两点间的电势差；（ 2）球壳内两点
间的电势差；（ 3）球壳外任意点的电势；（ 4）球壳
内任意点的电势,
解
rer
qERr ??
2
0
2 π 4 ???,
01 ?? ERr ?，
（ 1）
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例 3,无限长”带电直导线的电势
解
BABA VlEV ??? ?
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P
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π2 0?
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能否选？0?
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空间 电势相等的点 连接起来所形成的面称为等势
面, 为了描述空间电势的分布，规定任意两 相邻 等势
面间的 电势差相等,
三 等势面 (equipotential surface)
在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功
0d)( 00 ????? ? babaab lEqVVqW ??
0d0 ??? ? b
aab
lEqW
??
0d000 ??? lEq ??
lE ?? d??
E?在静电场中，电场强度 总是与等势面垂直的，
即电场线是和等势面 正交 的曲线簇,
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点
电
荷
的
等
势
面
1dl
2dl
12 dd ll ?
12 EE ?
按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相
等，即等势面的 疏密程度 同样可以表示场强的大小．
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两平行带电平板的电场线和等势面
+ + + + + + + + + + + +
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一对等量异号点电荷的电场线和等势面
+