青岛科技大学 大学物理讲义
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这一阶段学习的主要内容有：
1,库仑定律
12
12 12 212
0 12
1
4
qq
F e F
r??
? ? ?
vv v
2,电场强度
0q
FE
??
?
rer
Q
q
FE ?
??
2
00 π 4
1
?
??
点电荷的
电场强度
3,电场强度的叠加原理 2
0
1dd
4 π
reE E q
r?
????
vvv
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4,电偶极子的 电矩 (电偶极矩 )
0rqp
?? ?
??
?
???
n
i
iS qSEΦ
10
e
1
d
?
??5,高斯定理
BABA VlEV ??? ?
?? d 6,电势
（ 为参考电
势，值任选） BV
把单位正试验电荷从点 A移到无穷远时，静电
场力所作的功。
7,点电荷 q在电势 V处的电势能 Ep pE qV?
8,电势差 dA B A B ABU V V E l? ? ? ??
vv
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r
qV
0π 4 ?
?
9,点电荷的电势
10,电势的叠加原理
0
d
4 πP
q
V
r?
? ?
11,电场强度等于电势梯度的负值
E grad V V? ? ? ??v V V V
i j k
x y z
??? ? ?
? ? ? ???
? ? ???
vvv
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12,空间某点电场强度的大小取决于该点领域内电
势的空间变化率； 电场强度的方向恒指向电势降
落的方向； 电场线与等势面处处正交； 等势面上
移动电荷，电场力不做功； 等势面密处电场强度
大； 等势面疏处电场强度小； 导体内部电场强度
为零 ； 导体是等势体，导体表面是等势面； 导体
内部无电荷，电荷只分布在导体表面上。
13,导体表面电场强度
0?
??E
14,电容器电容
QC
U
? 对孤立导体 QC
V
?
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d
S
U
QC
0???
15,平板电容器电容
16,电容器的并联 12C C C??
17,电容器的串联
12
1 1 1
C C C
??
18,电极化强度
V
p
P
?
? ?
??
单位体积内所有分子
的电偶极矩之和。
19,介质表面极化电荷面密度 ' nP n P? ??v vg
极化电荷只分布在非均匀介质中或介质的分界面上。
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20,电介质中的电场强度
r
0
0 ' ?
E
EEE ???
21,极化电荷与自由电荷的关系
由
0
r
r 1' EE
?
? ?
?
0
r
r 1' ?
?
?? ??得到
r0( 1 )PE????
vv22,电极化强度与电场强度的关系
EP ?? 0???
：电极化率?也可写成
EED ??? ??? ?? r0
23,电位移矢量
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24,有介质时的高斯定理
?? ??
i
iS QSD 0d
??
25,电容器的电能
2
2
e
11
2 2 2
QW Q U CU
C
? ? ?
27,电场空间所
存储的能量
2
ee
1dd
2VV
W w V E V?????
26,静电场能量密度 2e
11
22
w E E D???
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中册 51页习题 8－ 4）
解：设一个电荷的电量为 q，则另一个电荷的电量为
Qq?
两个点电荷的作用力大小为
2
0
1 ( )
4
q Q qF
r??
??
当 有最大值时,F具有最大值()f q Q q??
令
d 0
d
f
q
? 得 2Qq ? 即当两个电荷的电
量均为总电量的一
半时，它们之间的
作用力最大此时, F有最大值
2
2 20
df
dq
? ? ?
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（中册 51页习题 8－ 5）
x
r
r
y
o
2
L?
2
L
A
B解：（ 1）细棒上任一线
元 dx所带的电荷在 A点产
生的电场强度为：
2
04 ( )
dqd E i
rx??
?
?
v v
则 A点的电场强度为
2
2
2
002
2
( / ) / 1
4 ( ) 4
L
L
L
L
Q L d x Q L
E i i
r x r x? ? ? ?? ?
??
?? ??
?? ???
v vv
上式整理即得：
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22
0
1
4
QEi
rL??
?
?
v v
其大小即为所要求证的结果。
（ 2）在中垂线上任意一
点 B，线元 dx所带的电荷
在 B点产生的电场强度为：
( c os si n )dE i j dE????v vv /2
22 2 2 2 2/2
0
/
4
L
L
Q L d x x r
ij
xr x r x r?? ?
???
?? ??
? ?????
vv
x
r
r
y
o
2
L?
2
L A
B
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22
0
1
2 4
QEj
r Lr??
??
?
v v
积分即得：
当 时，若 为常量，有L ?? ?
22
0
//l i m
2 4L
Q L L rEj
Lr????
??
?
v v
0022
rjerr
??
? ? ? ?
??
v v
这正是无限长均匀带电直线的电场强度。
其大小即为所要求证的结果。
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（中册 51页习题 8－ 6）
x
y
o ?
rvr?v
解：建立如图所示的坐标系，有
3
04
dqd E r
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?
v v
由于 rr???vv
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0
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4 L
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0
0
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vv
22
02
Q j
r??
??
v
(利用了 )
Q
r
?
?
?
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（中册 51页习题 8－ 7）
解：建立如图所示的坐标系
细圆环在圆心 O处产生的电
场强度为：
2 2 3 / 2
0
1 | |
4 ( )
y d qd E j
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?
v v
x
y
o
y R
?
r
/2
30
0
1 sin ( 2 )
4
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R
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/2
0
0
c o s s in
2
dj
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?
? ?
v
04
j?
?
?
v
1
2c o s s i n s i n ( 2 )? ? ??利用了
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 53页习题 8－ 16）
x P
ne
v解：设 P点的电场强度为 Ev我们把小圆孔填上同样的
带电体，设填充后 P点的
电场强度为,小圆孔填
充的带电体在 P点产生的
电场强度为,则由电场
强度的叠加原理得
1E
v
2E
v
12E E E??
v v v
无限大带电平面的
电场强度为 1 02 n
Ee?
?
?
v v
均匀带电圆盘轴线
上的电场强度为
2 22
0
1
2 n
x
xr
?
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???
v v
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12 22
02
n
xE E E e
xr
?
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?
v v v v
讨论
（ 1） 0,0xE?? v
（ 2）
0
,
2 n
x r E e?
?
?
v v
这是无限大带电
平面的结果；
这是圆形对称导致的结果；
（ 3）
0
0,
2 n
r E e?
?
??
v v
这也是无限大带
电平面的结果；
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（中册 53页习题 8－ 17）
o
o?rv r?vav
S S?
0
S
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vv
g?
24
S E dS r E???
vv g?
03
Er?
?
?
03
Er?
?
?
v v
解：设空腔某点中的电场强度
为 。假定空腔中填充了同样
的带电体，填充后空腔某点中
的电场强度为,作如图所示
的高斯面 S，由高斯定理得
0E
v
Ev
34
3V
Q d V r? ? ????
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对空腔中的填充体，作高
斯面,它在空腔中某点
产生的电场强度为：
S?
03
Er?
?
???
v v
由电场强度的叠加原理得
0
0
()
3
E E E r r?
?
??? ? ? ?
v v v vv
03
a?
?
? v
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（中册 54页习题 8－ 25）
解：（ 1）如图所示，
任一圆环在其轴线上
离圆心为 x处的电势为
22
04
L
dlV
xr
?
??
?
???
22
04
q
xr??
?
?
把内外半径分别为 R1和 R2的圆环分割成许多同心细圆环，
对每一个圆环都有
22
04
dqdV
xr??
?
?
x
vv
po
1R2R
r
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利用 2d q r d r???
得
2
1 22
0
2
4
R
R
r drV
xr
??
??
?
??
? ?2 2 2 221
02
R x R x?
?
? ? ? ?
（ 2）要质子能穿过圆环，则要求质子在圆心处的动能
0kE ?,根据机械能守恒，质子在无穷远处的
动能不能小于在圆心处的势能，即
? ?201 02 m q V x??v ? ?0 2 1
0
e
RR
m
?
?
? ? ?v
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（中册 55页习题 8－ 33）
解：在均匀电场中，电偶极子所受到的力矩为：
M p E??vvv
所受力矩的最大值即是电偶极矩与电场强度方向
一致时的值，其大小为：
256.17 10M p E N m?? ? ? ? ?
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 55页习题 8－ 34）
解：已知 100, 5 3 1 0 mr ??? 191, 6 0 2 1 0 Ce ???
(1) 电子的势能 2
04
p
eE e V
r??
? ? ? ?
184, 3 5 1 0 ( J )?? ? ?27,2 ( e V )??
无穷远处，电子的势能为零，要把电子从原子中
拉出来，需要克服电场力作功：
27.2 ( e V )W ?
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(2) 但是，电子绕原子核运动，已经具有动能
21
2ke
Em? v由于
22
2
04
e
em
rr??
?v
2
0
1
24k
eE
r??
?? 1
2 p
E? 13.6 ( e V )?
所以，电子的电离能为：
pkE E E??13.6 ( e V )?
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 94页习题 9－ 2）
1R
2R
q
Q Qq?q?解：若知道了内球电量，所要求
的问题就很容易解决了。设内球
带电量为 q，由高斯定理：
2
04/S E dS r E q??? ? ??
vv g?
于是得：
E?v
10 ( )rR?
123
0
()
4
q r R r R
r??
??v
23
0
()
4
Qq r r R
r??
? ?v
青岛科技大学 大学物理讲义
由电场强度与电势之间的积分关系,()
r
V r E d l?? ? vv g
得
V?
1
0 1 0 2
()
44
qQ rR
RR? ? ? ?
??
12
0 0 2
()
44
qQ R r R
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2
0
()
4
qQ rR
r??
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0
0 1 0 244
qQV
RR? ? ? ?
??
由题设,于是有,10()V r R V??
青岛科技大学 大学物理讲义
解得 0 1 0 1 24/q R V R Q R????
代入电场强度的分布式，得
E?v
10 ( )rR?
10 1
1233
02
()
4
RV RQ
r R r R
r R r??
??
? ? ???
??
v
10 21
233
02
()
()
4
RV R R Q
r r R
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?? ?
????
??
v
青岛科技大学 大学物理讲义
代入电势的分布式，得
V?
01()V r R?
10 1
12
02
() ()
4
RV r R Q R r R
r R r??
?? ? ?
10 21
2
02
() ()
4
RV R R Q rR
r R r??
???
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（中册 95页习题 9－ 8）
R2
d
?? ??
E? )(π2π2 00 xdx
EEE
?
???? ??
?
?
?
?
x
xdx
xEU
Rd
R
Rd
R
d)11(
π2
d
0 ?
??? ??
??
?
?
解 设两金属线的电荷线密度为 ??
?E
?
?E
?
o x
P
x xd?
0
ln dR
R
?
??
??
单位长度的 电容 C U
??
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于是有：
0 / l n
dRC
UR
? ?? ???
把 30.50,3.26 3.26 10d m R m m m?? ? ? ?
代入即得：
124.86 10CF ???
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 96页习题 9－ 10）
1C 3C
4C2C
5C
A BDC
A C D BACC 5CCDC
等价于
解：（ 1）由电容的并联
与串联，可得：
12 12ACC C C F?? ? ?
34 8CDC C C F?? ? ?
5
1 1 1 1
A B A C C DC C C C
? ? ?
1 1 1 1
1 2 8 2 4 4
? ? ? ?
所以有 4ABCF??
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A C D BACC 5CCDC
ACU CDU DBU
（ 2）在如图所示的等
价电容电路上，由于各
电容极板上的电量相等
A C A C C D C D D B D B A B A BQ C U C U C U C U? ? ? ?
QC
U
?由 得：
所以 4A B A B
AC
AC
CUUV
C
??
6A B A BCD
CD
CUUV
C
??
2A B A BDB
DB
CUUV
C
??
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（中册 97页习题 9－ 18）
解：（ 1）平行板电容器的电容为：
0 /C S d??
充足电后两板电势差为 U，极板电荷
0 /Q C U S U d???
极板间的电场强度为 /E U d?
（ 2）插入介质
r??
S
U d
11EC
22EC
0
()r
r
d
S
? ? ?
??
??? 0
()
r
r
SC
d
??
? ? ?
??
??
1 2 0 0
1 1 1 1 1
/( ) /rC C C S d S? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
电容器的电容为：
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电容器极板上自由电荷为
0
()
r
r
SUQ CU
d
??
? ? ?
??
??
空气中的电场强度为
1
00
/
()
r
r
Q S UE
d
??
? ? ? ? ?
? ? ?
??
介质中的电场强度为
1
2 ()
rr
E UE
d? ? ? ?
??
??
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11EC
22EC
?
S
U d
2E
1
青岛科技大学 大学物理讲义
?
S
U d
2E
1EC
0 SC
d
?
?
?
?
电容器极板上自由电荷为
0 SUQ CU
d
?
?
??
?
空气中的电场强度为
1
UE
d ?
?
?
导体中的电场强度为 2 0E ?
（ 3）往电容器中插入导体，电容
器的电容变为：
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（中册 97页习题 9－ 19）
解：如图所示，由于两极板
的电势相等，可以把它看成
是两个电容器的并联。
S
1r? 2r?d1r?
/2S /2S由此得
1 2 0 1 0 2
/ 2 / 2
rr
SSC C C
dd
? ? ? ?? ? ? ?
0 12
2
rrS
d
? ?????
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（中册 99页习题 9－ 28）
拉开成
解：（ 1）由电场的能量密度公式
可求得拉开之前能量密度为
21
2e
E??w
2 2
0 2
0
1/
22e
Q C Q
dS
?
?
????
??
??
w
由于极板间的电场是均匀的，
拉开后电场强度保持不变，即能量
密度不变。
S
d
Q?
Q?
V
S
2d
Q?
Q?
2V
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22
2
0022
ee
Q Q dW V S d
SS??
? ? ? ? ? ?w
（ 2）我们假定匀速缓慢地把电容器拉开，此时拉力
就是电容器两极板之间的相互作用力，其大小为：
F Q E ??
上式中,为某一极板在另一极板处产生的电场强
度。
E?
极板上的面电荷密度为 /QS? ?
拉开后，空间体积变成了原来的 2倍，电容器的能量也
变成原来的 2倍。故能量增量为：
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2
02
QF Q E
S?
???
拉力作功
2
02
QdW F d
S?
??
外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增量
0022
QE
S
?
??
? ??求得
作如图所示的高斯面 S
S?
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这一阶段学习的主要内容有：
1,库仑定律
12
12 12 212
0 12
1
4
F e F
r??
? ? ?
vv v
2,电场强度
0q
FE
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rer
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00 π 4
1
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点电荷的
电场强度
3,电场强度的叠加原理 2
0
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4 π
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4,电偶极子的 电矩 (电偶极矩 )
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10
e
1
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??5,高斯定理
BABA VlEV ??? ?
?? d 6,电势
（ 为参考电
势，值任选） BV
把单位正试验电荷从点 A移到无穷远时，静电
场力所作的功。
7,点电荷 q在电势 V处的电势能 Ep pE qV?
8,电势差 dA B A B ABU V V E l? ? ? ??
vv
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r
qV
0π 4 ?
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9,点电荷的电势
10,电势的叠加原理
0
d
4 πP
q
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11,电场强度等于电势梯度的负值
E grad V V? ? ? ??v V V V
i j k
x y z
??? ? ?
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vvv
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12,空间某点电场强度的大小取决于该点领域内电
势的空间变化率； 电场强度的方向恒指向电势降
落的方向； 电场线与等势面处处正交； 等势面上
移动电荷，电场力不做功； 等势面密处电场强度
大； 等势面疏处电场强度小； 导体内部电场强度
为零 ； 导体是等势体，导体表面是等势面； 导体
内部无电荷，电荷只分布在导体表面上。
13,导体表面电场强度
0?
??E
14,电容器电容
QC
U
? 对孤立导体 QC
V
?
青岛科技大学 大学物理讲义
d
S
U
QC
0???
15,平板电容器电容
16,电容器的并联 12C C C??
17,电容器的串联
12
1 1 1
C C C
??
18,电极化强度
V
p
P
?
? ?
??
单位体积内所有分子
的电偶极矩之和。
19,介质表面极化电荷面密度 ' nP n P? ??v vg
极化电荷只分布在非均匀介质中或介质的分界面上。
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20,电介质中的电场强度
r
0
0 ' ?
E
EEE ???
21,极化电荷与自由电荷的关系
由
0
r
r 1' EE
?
? ?
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0
r
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?
?? ??得到
r0( 1 )PE????
vv22,电极化强度与电场强度的关系
EP ?? 0???
：电极化率?也可写成
EED ??? ??? ?? r0
23,电位移矢量
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24,有介质时的高斯定理
?? ??
i
iS QSD 0d
??
25,电容器的电能
2
2
e
11
2 2 2
QW Q U CU
C
? ? ?
27,电场空间所
存储的能量
2
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1dd
2VV
W w V E V?????
26,静电场能量密度 2e
11
22
w E E D???
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中册 51页习题 8－ 4）
解：设一个电荷的电量为 q，则另一个电荷的电量为
Qq?
两个点电荷的作用力大小为
2
0
1 ( )
4
q Q qF
r??
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当 有最大值时,F具有最大值()f q Q q??
令
d 0
d
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q
? 得 2Qq ? 即当两个电荷的电
量均为总电量的一
半时，它们之间的
作用力最大此时, F有最大值
2
2 20
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dq
? ? ?
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 51页习题 8－ 5）
x
r
r
y
o
2
L?
2
L
A
B解：（ 1）细棒上任一线
元 dx所带的电荷在 A点产
生的电场强度为：
2
04 ( )
dqd E i
rx??
?
?
v v
则 A点的电场强度为
2
2
2
002
2
( / ) / 1
4 ( ) 4
L
L
L
L
Q L d x Q L
E i i
r x r x? ? ? ?? ?
??
?? ??
?? ???
v vv
上式整理即得：
青岛科技大学 大学物理讲义
22
0
1
4
QEi
rL??
?
?
v v
其大小即为所要求证的结果。
（ 2）在中垂线上任意一
点 B，线元 dx所带的电荷
在 B点产生的电场强度为：
( c os si n )dE i j dE????v vv /2
22 2 2 2 2/2
0
/
4
L
L
Q L d x x r
ij
xr x r x r?? ?
???
?? ??
? ?????
vv
x
r
r
y
o
2
L?
2
L A
B
? ?
青岛科技大学 大学物理讲义
22
0
1
2 4
QEj
r Lr??
??
?
v v
积分即得：
当 时，若 为常量，有L ?? ?
22
0
//l i m
2 4L
Q L L rEj
Lr????
??
?
v v
0022
rjerr
??
? ? ? ?
??
v v
这正是无限长均匀带电直线的电场强度。
其大小即为所要求证的结果。
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 51页习题 8－ 6）
x
y
o ?
rvr?v
解：建立如图所示的坐标系，有
3
04
dqd E r
r??
??
?
v v
由于 rr???vv
? ?3
0
c o s s in
4 L
dlE r i r j
r
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??
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v vv
? ?
0
0
c o s s in
4
i j d
r
??
? ? ?
??
? ? ??
vv
22
02
Q j
r??
??
v
(利用了 )
Q
r
?
?
?
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 51页习题 8－ 7）
解：建立如图所示的坐标系
细圆环在圆心 O处产生的电
场强度为：
2 2 3 / 2
0
1 | |
4 ( )
y d qd E j
yr??
??
?
v v
x
y
o
y R
?
r
/2
30
0
1 sin ( 2 )
4
R r R dEj
R
? ? ? ? ?
??
?????v v
/2
0
0
c o s s in
2
dj
??
? ? ?
?
? ?
v
04
j?
?
?
v
1
2c o s s i n s i n ( 2 )? ? ??利用了
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 53页习题 8－ 16）
x P
ne
v解：设 P点的电场强度为 Ev我们把小圆孔填上同样的
带电体，设填充后 P点的
电场强度为,小圆孔填
充的带电体在 P点产生的
电场强度为,则由电场
强度的叠加原理得
1E
v
2E
v
12E E E??
v v v
无限大带电平面的
电场强度为 1 02 n
Ee?
?
?
v v
均匀带电圆盘轴线
上的电场强度为
2 22
0
1
2 n
x
xr
?
?
??
?? ??
???
v v
青岛科技大学 大学物理讲义
12 22
02
n
xE E E e
xr
?
?
? ? ? ?
?
v v v v
讨论
（ 1） 0,0xE?? v
（ 2）
0
,
2 n
x r E e?
?
?
v v
这是无限大带电
平面的结果；
这是圆形对称导致的结果；
（ 3）
0
0,
2 n
r E e?
?
??
v v
这也是无限大带
电平面的结果；
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 53页习题 8－ 17）
o
o?rv r?vav
S S?
0
S
QE d S
?
??
vv
g?
24
S E dS r E???
vv g?
03
Er?
?
?
03
Er?
?
?
v v
解：设空腔某点中的电场强度
为 。假定空腔中填充了同样
的带电体，填充后空腔某点中
的电场强度为,作如图所示
的高斯面 S，由高斯定理得
0E
v
Ev
34
3V
Q d V r? ? ????
青岛科技大学 大学物理讲义
对空腔中的填充体，作高
斯面,它在空腔中某点
产生的电场强度为：
S?
03
Er?
?
???
v v
由电场强度的叠加原理得
0
0
()
3
E E E r r?
?
??? ? ? ?
v v v vv
03
a?
?
? v
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 54页习题 8－ 25）
解：（ 1）如图所示，
任一圆环在其轴线上
离圆心为 x处的电势为
22
04
L
dlV
xr
?
??
?
???
22
04
q
xr??
?
?
把内外半径分别为 R1和 R2的圆环分割成许多同心细圆环，
对每一个圆环都有
22
04
dqdV
xr??
?
?
x
vv
po
1R2R
r
青岛科技大学 大学物理讲义
利用 2d q r d r???
得
2
1 22
0
2
4
R
R
r drV
xr
??
??
?
??
? ?2 2 2 221
02
R x R x?
?
? ? ? ?
（ 2）要质子能穿过圆环，则要求质子在圆心处的动能
0kE ?,根据机械能守恒，质子在无穷远处的
动能不能小于在圆心处的势能，即
? ?201 02 m q V x??v ? ?0 2 1
0
e
RR
m
?
?
? ? ?v
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 55页习题 8－ 33）
解：在均匀电场中，电偶极子所受到的力矩为：
M p E??vvv
所受力矩的最大值即是电偶极矩与电场强度方向
一致时的值，其大小为：
256.17 10M p E N m?? ? ? ? ?
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 55页习题 8－ 34）
解：已知 100, 5 3 1 0 mr ??? 191, 6 0 2 1 0 Ce ???
(1) 电子的势能 2
04
p
eE e V
r??
? ? ? ?
184, 3 5 1 0 ( J )?? ? ?27,2 ( e V )??
无穷远处，电子的势能为零，要把电子从原子中
拉出来，需要克服电场力作功：
27.2 ( e V )W ?
青岛科技大学 大学物理讲义
(2) 但是，电子绕原子核运动，已经具有动能
21
2ke
Em? v由于
22
2
04
e
em
rr??
?v
2
0
1
24k
eE
r??
?? 1
2 p
E? 13.6 ( e V )?
所以，电子的电离能为：
pkE E E??13.6 ( e V )?
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 94页习题 9－ 2）
1R
2R
q
Q Qq?q?解：若知道了内球电量，所要求
的问题就很容易解决了。设内球
带电量为 q，由高斯定理：
2
04/S E dS r E q??? ? ??
vv g?
于是得：
E?v
10 ( )rR?
123
0
()
4
q r R r R
r??
??v
23
0
()
4
Qq r r R
r??
? ?v
青岛科技大学 大学物理讲义
由电场强度与电势之间的积分关系,()
r
V r E d l?? ? vv g
得
V?
1
0 1 0 2
()
44
qQ rR
RR? ? ? ?
??
12
0 0 2
()
44
qQ R r R
rR? ? ? ?
? ? ?
2
0
()
4
qQ rR
r??
? ?
0
0 1 0 244
qQV
RR? ? ? ?
??
由题设,于是有,10()V r R V??
青岛科技大学 大学物理讲义
解得 0 1 0 1 24/q R V R Q R????
代入电场强度的分布式，得
E?v
10 ( )rR?
10 1
1233
02
()
4
RV RQ
r R r R
r R r??
??
? ? ???
??
v
10 21
233
02
()
()
4
RV R R Q
r r R
r R r??
?? ?
????
??
v
青岛科技大学 大学物理讲义
代入电势的分布式，得
V?
01()V r R?
10 1
12
02
() ()
4
RV r R Q R r R
r R r??
?? ? ?
10 21
2
02
() ()
4
RV R R Q rR
r R r??
???
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 95页习题 9－ 8）
R2
d
?? ??
E? )(π2π2 00 xdx
EEE
?
???? ??
?
?
?
?
x
xdx
xEU
Rd
R
Rd
R
d)11(
π2
d
0 ?
??? ??
??
?
?
解 设两金属线的电荷线密度为 ??
?E
?
?E
?
o x
P
x xd?
0
ln dR
R
?
??
??
单位长度的 电容 C U
??
青岛科技大学 大学物理讲义
于是有：
0 / l n
dRC
UR
? ?? ???
把 30.50,3.26 3.26 10d m R m m m?? ? ? ?
代入即得：
124.86 10CF ???
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 96页习题 9－ 10）
1C 3C
4C2C
5C
A BDC
A C D BACC 5CCDC
等价于
解：（ 1）由电容的并联
与串联，可得：
12 12ACC C C F?? ? ?
34 8CDC C C F?? ? ?
5
1 1 1 1
A B A C C DC C C C
? ? ?
1 1 1 1
1 2 8 2 4 4
? ? ? ?
所以有 4ABCF??
青岛科技大学 大学物理讲义
A C D BACC 5CCDC
ACU CDU DBU
（ 2）在如图所示的等
价电容电路上，由于各
电容极板上的电量相等
A C A C C D C D D B D B A B A BQ C U C U C U C U? ? ? ?
QC
U
?由 得：
所以 4A B A B
AC
AC
CUUV
C
??
6A B A BCD
CD
CUUV
C
??
2A B A BDB
DB
CUUV
C
??
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 97页习题 9－ 18）
解：（ 1）平行板电容器的电容为：
0 /C S d??
充足电后两板电势差为 U，极板电荷
0 /Q C U S U d???
极板间的电场强度为 /E U d?
（ 2）插入介质
r??
S
U d
11EC
22EC
0
()r
r
d
S
? ? ?
??
??? 0
()
r
r
SC
d
??
? ? ?
??
??
1 2 0 0
1 1 1 1 1
/( ) /rC C C S d S? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
电容器的电容为：
青岛科技大学 大学物理讲义
电容器极板上自由电荷为
0
()
r
r
SUQ CU
d
??
? ? ?
??
??
空气中的电场强度为
1
00
/
()
r
r
Q S UE
d
??
? ? ? ? ?
? ? ?
??
介质中的电场强度为
1
2 ()
rr
E UE
d? ? ? ?
??
??
r??
11EC
22EC
?
S
U d
2E
1
青岛科技大学 大学物理讲义
?
S
U d
2E
1EC
0 SC
d
?
?
?
?
电容器极板上自由电荷为
0 SUQ CU
d
?
?
??
?
空气中的电场强度为
1
UE
d ?
?
?
导体中的电场强度为 2 0E ?
（ 3）往电容器中插入导体，电容
器的电容变为：
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 97页习题 9－ 19）
解：如图所示，由于两极板
的电势相等，可以把它看成
是两个电容器的并联。
S
1r? 2r?d1r?
/2S /2S由此得
1 2 0 1 0 2
/ 2 / 2
rr
SSC C C
dd
? ? ? ?? ? ? ?
0 12
2
rrS
d
? ?????
青岛科技大学 大学物理讲义
（中册 99页习题 9－ 28）
拉开成
解：（ 1）由电场的能量密度公式
可求得拉开之前能量密度为
21
2e
E??w
2 2
0 2
0
1/
22e
Q C Q
dS
?
?
????
??
??
w
由于极板间的电场是均匀的，
拉开后电场强度保持不变，即能量
密度不变。
S
d
Q?
Q?
V
S
2d
Q?
Q?
2V
青岛科技大学 大学物理讲义
22
2
0022
ee
Q Q dW V S d
SS??
? ? ? ? ? ?w
（ 2）我们假定匀速缓慢地把电容器拉开，此时拉力
就是电容器两极板之间的相互作用力，其大小为：
F Q E ??
上式中,为某一极板在另一极板处产生的电场强
度。
E?
极板上的面电荷密度为 /QS? ?
拉开后，空间体积变成了原来的 2倍，电容器的能量也
变成原来的 2倍。故能量增量为：
青岛科技大学 大学物理讲义
2
02
QF Q E
S?
???
拉力作功
2
02
QdW F d
S?
??
外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增量
0022
QE
S
?
??
? ??求得
作如图所示的高斯面 S
S?
